Ley de los Grandes Números: Convergencia de Probabilidades, Diapositivas de Estadística

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Clase 26 Ley de

los Grandes

Números

Ley de los Grandes

números

Ley débil de los grandes números,

ley fuerte de los grandes

números

Convergencia

▰ Sobre convergencia tenemos los siguientes tipos:

▻ Convergencia en probabilidad 𝑋

𝑛

𝑃

𝑋, se aplica en el teorema de Ley

Débil de los Grandes Números.

▻ Convergencia casi segura 𝑋

𝑛

𝑐.𝑠

𝑋, se aplica en el teorema de Ley Fuerte

de los Grandes Números

▻ Convergencia en distribución 𝑋

𝑛

𝐷

𝑋, se aplica en el teorema de límite

central

Definición de convergencia

▰ Recordemos las convergencias:

▻ Convergencia en Distribución.- Sea Xn una sucesión de variables aleatorias con sus

respectiva sucesión de Función de Distribución Acumulada Fn; sea X una variable

aleatoria, Xn converge en Distribución a la variable X, si y solo sí:

lim

𝑛՜∞

𝑛

▻ Convergencia en Probabilidad.- Sea Xn una sucesión de variables aleatorias, definido

sobre un espacio de probabilidad, se dice que converge en probabilidad a la variable

aleatoria X, si y solo sí, para todo ϵ > 0 , lim 𝑛՜∞

𝑛

▻ Convergencia casi segura.- Sea Xn una sucesión de variables aleatorias, definido

sobre un espacio de probabilidad, se dice que converge casi seguramente a una

variable aleatoria X, si solo sí, para todo ϵ > 0 , lim

𝑛՜∞

𝑛

Teorema de Ley de los grandes números

▰ Sea Xn una sucesión de variables aleatorias,

independiente e idénticamente distribuidas, tales que

𝐸 𝑋𝑖

< ∞, 𝑦 𝐸 𝑋𝑖 = 𝜇, 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑉 𝑋𝑖 = 𝜎

,

entonces:

ത

𝑋

𝑛

՜

𝜇

para todo ϵ > 0 , lim

𝑛՜∞

𝑛

Demostración

Sea X 1 ,X, 2 ,Xn.. Una sucesión de V.A iid, con 𝐸 𝑋𝑖

2

< ∞, 𝑦 𝐸 𝑋𝑖 = 𝜇, 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑉 𝑋𝑖 = 𝜎

2

. Sea además

𝑥 ҧ 𝑛

=

1

𝑛

σ

𝑖= 1

𝑛

𝑥 𝑖

, entonces para todo ϵ > 0 , lim

𝑛՜∞

(𝑃(

ത 𝑋 𝑛

− 𝑢 ≥ 𝜖)) = 0 , lo cual significa que

ത 𝑋 𝑛

՜

𝑃

𝜇

Recordemos el Teorema de la Desigualdad de Chebyshev, para una V.A con media 𝜇 y varianza 𝜎

2

.

𝑃 𝑋 − 𝑢 ≥ 𝑘 ≤

1

𝑘

2

Tomemos a 𝜖 =

𝑘𝜎

𝑛

𝜖 𝑛

𝜎

2

𝑛𝜖

2

𝜎

2

𝑃 𝑋 𝑛

− 𝑢 ≥ 𝜖 ≤

1

𝑛𝜖

2

𝜎

2

=

𝜎

2

𝑛𝜖

2

lim

𝑛՜∞

𝑛

2

2

n crece al infinito

Ejemplo: Rstudio

vn=seq(1:100)

re=rep(0,length(vn))

for(j in 1:length(vn))

{ n=vn[j]

acu=

for(i in 1:n)

{ L=sample(c(1,0),10,replace=T,prob=c(0.5,0.5))

nc=sum(L)

acu=acu+nc

}

prom=acu/n

re[j]=round(prom,2)

}

re

plot(vn,re, type="l")

abline(h=5)

Ejemplo: Dados

Experimento de lanzamiento de un dado de 6 caras, los posibles valores que se toman son

{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, todos equiprobables con valor 1 / 6.

Si el dado se lanza n veces el dado, determinar la cantidad de veces que sale cada cara.

La probabilidad teórica:

X: el número de la cara que se obtuvo en el lanzamiento del dado

P(X= 1 )= 1 / 6

Si el dado se lanza 100 veces, cuál es la cantidad promedio de veces que se obtuvo la cara 1

E[x]=np= 100 *( 1 / 6 )= 16 (aproximadamente)

Vamos a simular el lanzamiento para valores de n grandes y analicemos la convergencia

𝑛

𝑃

Referencias

▰ Probabilidad y Estadística: Fundamentos y Aplicaciones (2010) Autor:

Gaudencio Zurita, Segunda Edición. Editorial Centro de Publicaciones

ESPOL, Ecuador.

▰ Probabilidad y Estadística Básica para Ingenieros, con soporte de

MATLAB (2007) Autor: Luis Rodríguez. Libro virtual. Sitio web

Departamento de Matemáticas, ESPOL, Ecuador.

▰ Estadistica Matemática con aplicaciones (2002) Autores: Dennis

Wackerly, William Mendenhall y Richard Scheaffer, Séptima Edición.