Tasas de Rendimiento, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

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CAPÍTULO III

TASAS DE

RENDIMIENTO Y

DESCUENTO

___________________________________

3. 1. TASAS DE RENDIMIENTO Y DESCUENTO

3.1.1.- Conceptos básicos y ejercicios:

La tasa de interés se refiere: A la valoración del costo que implica la posesión del dinero, producto de un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos financiados^1.

LA TASA DE RENDIMIENTO SE REFIERE A LA TASA QUE EL

INVERSIONISTA ESPERA OBTENER DE SUS INVERSIONES, CLARO ESTÁ,

ANTES DE LA CARGA TRIBUTARIA.

Si buscamos los componentes que son base para la determinación de la tasa de rendimiento que ofrecen los instrumentos de inversión, podríamos decir: que la tasa de rendimiento debiera exceder a la tasa de mercado en proyectos de riesgo.

DEBIERA CONSIDERARSE ENTRE OTRAS COSAS: la tasa real, la inflación acumulada en el lapso de tiempo de la inversión, el grado de riesgo:

Como función lineal, situaríamos a la tasa de rendimiento como:

Tr  [ i  if  pl  pr )

Donde:

Tr= tasa de rendimiento

i= interés real

if= inflación acumulada

pl= prima de liquidez

pr= prima de riesgo

β= beta del activo

(^1) Disponible en Website http://www.definicion.org/tasa-de-interes [consultado el 300107]

Esta pudiera ser una fórmula para determinar una tasa de rendimiento acorde a la inversión.

Se despejairt

Teorema (2)

i t

i

i

d

d rt

Si se sustituye el teorema 2 en 1……………….. Se obtiene el teorema 3

i t

P V

d

cete  nom 

Ejemplo de ello, lo podemos situar en el cálculo del siguiente paquete:

Un inversionista adquiere Cetes con un rendimiento anual del 14.7%. La colocación está fechada el 31 de Marzo del 2006 y la fecha de vencimiento es el 28 de abril del mismo año (28 días por madurar el valor nominal de $10.00).

Recordemos que los Cetes se adquieren a descuento en los mercados primario y secundario.

Se solicita calcular el valor de adquisición

a): calcular el principal a través deirt

b): calcular el precio a partir de id

c): calcular el precio a partir del teorema 3

) 360

( 1 i t P V rt cete^ nom 

 Pcete. (.^ * )

 

10 000 1 0 147^28 360

Pcete. (.

^ 10 000  1011433333333

$9.886959104 (a)

i t

i

i

rt

rt d

) 360

( 1 0.^147 *^28

1. 147 

id  ( 1. 0114333333 )

id  =

0.1453 » 14.53% (b)

Con la tasa de descuento (14.53%) se calcula el precio del Cete en su adquisición.

Su valor par, hasta su maduración es de $10.00, por eso es que se compra a descuento

i t

P V

d

cete  nom  )

Pcete  10 *( 1 

Pcete  10 *( 1  0. 0113011111 ) Pcete  10 *( 0. 9886988889 ) =

9.886988889 (c)

3.1.2.- TASAS DE INTERÉS

• Conceptos básicos y ejercicios: Tasa nominal y tasa efectiva: La tasa nominal es la tasa pasiva sin capitalizar. La tasa efectiva es la que resulta de capitalizar la tasa nominal, la cual depende de los períodos de capitalización (diario, semanal, mensual, semestral o anual).

Veamos en la siguiente tabla un ejercicio de forma comparada

Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización Capitalización mensual (n=12) Capitalización semestral (n=2) Tasa nominal anual Tasa efectiva anual Tasa nominal anual Tasa efectiva anual 6.00 6.1678 6.00 6. 9.00 9.3807 9.00 9. 12.00 12.6825 12.00 12. 15.00 16.0755 15.00 15. 18.00 19.5618 18.00 18. 24.00 26.8242 24.00 25. 27.00 30.6050 27.00 28. 30.00 34.4889 30. 00 32. 33.00 38.4784 33.00 35. 36.00 42.5761 36.00 39.

Ejemplo Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal con capitalización semestral del 36%.

En este caso sustituyendo en la Fórmula 1 se tiene que:

) 1  * 100 39. 24 % 2

(^1 2  

TE  

Ahora otro Ejemplo

Calcule la tasa efectiva anual con capitalización mensual si se tiene una tasa nominal diaria del 0.09%.

En este caso sustituyendo en la Fórmula 1 se tiene que:

12 12

1 (.00930) 1 * 1.027 1 * (1.376719054) 1 37.6719054%

TE TE TE TE

       

3.1.3.- Tasa real

Representa la utilidad neta de una inversión de capital en una entidad financiera. Es decir, la tasa real es el rendimiento por encima de la inflación que se paga o se recibe en operaciones financieras. Está determinada en función de la tasa efectiva y de la tasa inflacionaria, tal y como se muestra en la Fórmula 2.

• 100 1 

 

 

  TI

TE TI TR Fórmula 2

En donde:

TR = Tasa real, TE = Tasa efectiva, TI = Tasa inflacionaria

REALICEN LA SIGUIENTE ACTIVIDAD EN CLASE PARA FOMENTAR LA

PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO.

Desarrollar los siguientes Ejercicios:

Calcule las tasas efectivas de las tasas nominales descritas de la siguiente Tabla:

Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización

Capitalización mensual Capitalización quincenal

Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

1.00 1. 2.00 2. 3.55 3. 14.78 14. 18.68 18. 68 24.50 24. 26.00 26.

Ahora con:

Capitalización bimestral (n=6) Capitalización trimestral (n=4)

Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización Capitalización bimestral Capitalización trimestral

Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

1.00 1. 2.00 2. 3.55 3. 14.78 14. 18.68 18. 24.50 24. 26.00 26.

3. 1 .4.- EJERCICIOS: Ahora considere una inflación mensual estimada durante el año del 0.5% (resuelva los ejercicios de la tabla)

Tasa nominal, efectiva y real Capitalización bimestral Capitalización trimestral Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

Tasa real Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

Tasa real

EJERCICIO RESUELTO DE EJEMPLO:

Tasa nominal anual del 14.78%

Primeramente se calcula la Tasa efectiva, para ello se requiere conocer la tasa bimestral. (14.78/12)*2=2.463333 bimestral ó .1478/6= 2.

Formula: *^100 1 

 

 

  TI

TE TI TR

En donde:

TE = Tasa efectiva, TN = Tasa nominal, m= capitalización, n= períodos de capitalización

) 1  * 100 6

. 1478 (^1 (^6  

TE ^  TE ( 1. 02463333 )^6  1  * 100

TE ( 1. 15720652 ) 1  * 100  15. 720652 %

Ahora se calcula la Tasa real

En donde: TR = Tasa real?, TE = Tasa efectiva 15.720652, TI = Tasa Inflacionaria 0.5% mensual * 12=6% anual

• 100 1 

 

 

  TI

TE TI TR * 100 1 0. 06

. 15720652. 06 

 

 

 TR 

TR  0. 09170426  * 100  9. 170426 %

Como visualizar este cálculo en un simulador financiero:

Finalmente se tiene

Tasa nominal, efectiva y real Capitalización bimestral Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

Tasa real

14.78% 15.72% 9.17%

TE=15.72% (^) TR=9.17%

El problema que se le viene al Banco de la ilusión es…………. Que sus clientes le están cancelando sus cuentas, para irse con el Banco de las transas…. pudiera ser traición, pero no……..

¡Debemos cuidar nuestro dinero! … ¿no cree Usted?

Como resolver este problema

Pastor (1999), sugiere utilizar el procedimiento de las tasas efectivas. Es por ello, que calculamos la tasa efectiva del “Banco de las transas” que es nuestra competencia directa.

Para ello, podemos utilizar las siguientes fórmulas

) 1  * 100 15. 8650415 4

1. 15 ( 1 4    

 TE  

Ó

 ( 1  )  1 m f i ( 1 0. 0375 ) 1 4 f    f  0. 158650415

Entonces como el primer Banco ofrece una tasa del 14.2% capitalizable mensualmente, ahora debemos encontrar la tasa que capitalizable mensualmente, rinde la tasa efectiva del 15.865% cuya capitalización es trimestral

Con ello se daría respuesta a la pregunta…. ¿Qué tasa anual capitalizable mensualmente, debe pagar el Banco A, que le permita igualar los rendimientos del Banco B?

Ahora nos damos a la tarea de encontrar la tasa requerida, o sea, la tasa nominal que capitalizable mensualmente, sea equivalente a la tasa efectiva del 15.865%, ésta última, correspondiente a la tasa anual del 15% capitalizable trimestralmente que ofrece el Banco B

Los datos son:

Como tasa nominal ( i ), se toma la tasa efectiva (ie) y a partir de la

fórmula del monto compuesto:

n

n

i

S 

 1  Ahora tenemos que

12

i

Despejemos i elevando a la potencia en que se desea capitalizar la tasa

equivalente.

( 1. 15865 )^1 /^12

  i Esto nos da……… ( 1. 15865 )^0.^08333333333

( 1. 012346896 )

Si la unidad esta sumando…….. Pasa restando y queda la siguiente expresión:

i

i  12 * 0. 012346896  0. 148162752

Ahora hay que sugerirle al Banco de la ilusión que ofrezca una tasa anual capitalizable mensualmente de por lo menos 14.82% (redondeada), que es equivalente a la tasa nominal del 15% capitalizable trimestralmente, y equivalente a su tasa efectiva del 15.865%

Otra alternativa que presenta el Dr. Pastor, para identificar tasas equivalentes, a partir de las tasas nominales que ofrecen los bancos que se comparan es:

a).- igualar los rendimientos de ambas tasas en el plazo más reciente en el que puedan coincidir. b).- No se requiere calcular tasa efectiva

c).- Ubicar las capitalizaciones que ofrecen los bancos…. ( Es común que

sea a 28 días, mensual, trimestral)

3.1.6. EJERCICIOS CON SIMULADOR FINANCIERO.

Para mostrar el uso de un simulador financiero, y para mayor comprensión del tema, a continuación se muestra en un cuadro un conjunto de tasas nominales, de las cuales se calculará su tasa efectiva y su tasa real. Para ello consideraremos diferentes periodos de capitalización y se tomará el interés ordinario de 360 días.

Para todos los casos se tomará como índice de inflación el 3.4% anual, para el cálculo de la tasa real.

Se pide calcular su tasa efectiva y tasa real:

TASA NOMINAL, EFECTIVA y REAL CON DISTINTO PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN Capitalización quincenal Capitalización mensual Capitalización bimestral TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual) 11.00% 11.00% 11.00% 12.55% 12.55% 12.55% 13.30% 13.30% 13.30% 14.00% 14.00% 14.00% 15.75% 15.75% 15.75%

De las formulas: Tasa Efectiva y Tasa Real se tiene que

(^1 ) ^1 ^ *^100

  n

m

Tn

TE

y

TI

TE TI

TR

Con el simulador financiero:

Se toma como ejemplo la tasa nominal del 12.55% misma que se calculará su tasa efectiva y la tasa real con tres tipos de capitalización en interés ordinario (360 días).

Para la primera de las tasas (efectiva) se utiliza un simulador en Excel y para la segunda (real) un simulador diseñado en Visual Basic.

TASA NOMINAL, EFECTIVA y REAL CON DISTINTO PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN Capitalización quincenal Capitalización mensual Capitalización bimestral TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual) 12.55% 12.55% 12.55%

Primer caso (Tasa Efectiva): Quincenal

(^1 ) ^1 ^ *^100

  n

m

Tn

TE



 

360/

24

TE

TE

TE

TE

 ^   

Mensual

(^1 ) ^1 ^ *^100

  n

m

Tn

TE



 

360/

12

TE

TE

TE

TE

 ^   

Bimestral

(^1 ) ^1 ^ *^100

  n

m

Tn

TE



 

360/

6

TE

TE

TE

TE

Bimestral

TE= Tasa Efectiva TE= TN= Tasa Nominal TN= n= Número de periodos de capitalización n=

Monto Interés Compuesto Tasa Real Anualidades Amortizaciones Depreciación Línea Recta

Notación

TASA EFECTIVA

Tasa Efectiva

Menú Interés Simple Fondo de Amortización Depreciación por Unidad Prod.

13.

CALCULAR

12. 6 %%

%% LIMPIAR

1 1 * 100   

   

         ^ n n TE TN

Segundo caso (Tasa Real): Quincenal

• 100 1 

 

 

  TI

TE TI TR

TE TI

TR

TI

TR

TR

TR

Mensual

• 100 1 

 

 

  TI

TE TI TR

TE TI

TR

TI

TR

TR

TR

Bimestral

• 100 1 

 

 

  TI

TE TI TR

TE TI

TR

TI

TR

TR

TR

En resumen se tiene:

TASA NOMINAL, EFECTIVA y REAL CON DISTINTO PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN Capitalización quincenal Capitalización mensual Capitalización bimestral TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real (anual) 12.55% 13.33 44 % 9.60 77 % 12.55% 13.29 76 % 9.57 21 % 12.55% 13.22 48 % 9.501 79 %

Para su comprobación, ahora

Con un simulador en Excel y Visual

Basic

Quincenal

TR = TE = (^) 13.33449.6077 %% TI = 3.4 %

1 *^100 

 

    TI TR TE TI

TR = TASA REAL TE= TASA EFECTIVA TI= TASA INFLACIONARIA