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TASAS DE INTERÉS COMPUESTO
ESTRUCTURA DE UNA TASA DE INTERÉS COMPUESTO
Las tasas a interés simple, solo presentan el factor porcentual y el periodo de tiempo
en que se aplica la tasa, ya que no se permite capitalizaciones del interés (renta fija):
Ejemplo:
is = 6% semestral is = 12% anual is = 1% mensual
El Valor Futuro se obtiene al final del plazo de la operación, agregando los intereses
al Valor presente inicial.
En cambio, una tasa de interés compuesto, si permite capitalizaciones de intereses,
por lo que consta de la siguiente estructura:
Periodo 1 (P 1 ): Periodo sobre el cual actúa la tasa de interés compuesto (como en
interés simple)
Periodo 2 (P 2 ): Periodo de capitalización de intereses
Ejemplos:
- 12% anual, capitalizable mensualmente
- 2% mensual, convertible mensualmente
- 5% semestral, compuesta anualmente
TASA EFECTIVA (i)
Cuando el periodo de la tasa de interés (P 1 ) de la operación está dado en las mismas
unidades de tiempo que el período de capitalización (P 2 ) se la llama tasa efectiva a
interés compuesto.
Si la tasa es efectiva se puede omitir la palabra capitalizable y el periodo de
capitalización (P 2 )
Si la tasa es efectiva y anual, se puede omitir también el periodo de la tasa (P 1 )
Ejemplos:
anual capitalizableanualmente i
trimestralcapitalizabletrimestralmente i trimestral
mensual capitalizablemensualmente i mensual
periododelatasa periododecapitaliza ción
periododelatasa periododecapitalización
periododelatasa periododecapitalización
TASA NOMINAL (j)
Cuando el periodo de la tasa de interés (P 1 ) está dado en unidades de tiempo distintas
a las del período de capitalización (P 2 ) se denomina tasa nominal a interés
compuesto.
Si el periodo de la tasa (P 1 ) es anual, se puede omitir.
Ejemplos:
j anual compuestotetra anualmente compuestotetra anualmente
j mensual convertiblesemestralmente
j trimestralcapitalizablebimestralmente
periododelatasa periododecapitaliza cion
periododelatasa periododecapitalización
periododelatasa periododecapitalización
TASAS EQUIVALENTES A INTERÉS COMPUESTO
Son aquellas que, para un mismo capital y plazo, producen igual valor futuro.
CONVERSIÓN DE TASAS A INTERÉS COMPUESTO
DE NOMINAL A EFECTIVA PARA EL PERIODO DE
CAPITALIZACIÓN
Dada una tasa nominal 𝑥% 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 1 , 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 2 , se encuentra una
tasa efectiva equivalente para el periodo 2, mediante la siguiente fórmula:
i (^) ef. anual m
ief. anual 0 , 24
Respuesta: ief. anual 24 %
Ejemplo:
Dada una tasa del 6% semestral capitalizable bianualmente, hallar mediante la
fórmula anterior la tasa efectiva equivalente.
Desarrollo
j 6 % semestralcapitalizablebianualmente
Periodo1 = semestral
Periodo2 = bianual
i (^) ef. bianual m
ief. bianual 0 , 24
Respuesta: ief. bianual 24 %
Ejemplo:
Dada una tasa del 2.5% (5,8 meses), capitalizable cada (0,54 semestres), encontrar la
tasa efectiva equivalente.
j 2 , 5 %( 5 , 8 meses ) capitalizable ( 0 , 54 semestres )
Periodo1 = 5,8 meses = 0,97 semestres
Periodo2 = 0,54 semestres
i 0 (^) , 54 semestres m
i 0 , 54 semestres 0. 0139
Respuesta: i 0 , 54 semestres 1 , 4 %
DE EFECTIVA A EFECTIVA
Se puede escribir una fórmula general para encontrar a partir de cualquier tasa
efectiva ( i ) conocida, otra tasa efectiva ( i? ) desconocida.
Ejemplo:
Dada la tasa 𝑖trimestral=3 %, encontrar la tasa efectiva equivalente mensual.
i = 3% trimestral (conocida)
i?= x% mensual (desconocida)
Desarrollo
Recordando el concepto de tasas equivalentes, para calcular una tasa efectiva
equivalente a otra dada, se considera que con el mismo capital (P) y después de un
mismo intervalo de tiempo, ambas tasas deben producir el mismo monto (F):
F 1 = F obtenido con la tasa efectiva trimestral durante un año;
n 1 = # de capitalizaciones trimestrales durante un año = # de trimestres por año
F 2 = F obtenido con la tasa efectiva mensual
n 2 = # de capitalizaciones mensuales durante un año = # de meses por año
Aplicando el concepto de tasas equivalentes: F 1 = F 2
1 1 1
n F P itrimestral 2 2 1
n F P imensual
F 2 = F 1
3
1
12
4
2
1
2
1
2 1
2 1
mensual
mensual
mensual
n
n
mensual trimestral
n
n
mensual trimestral
n trimestral
n mensual
n trimestral
n mensual
i
i
i
i i
i i
i i
P i P i
𝐦 − 𝟏
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = #𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖, 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑖?
Ejemplo:
Dada una tasa del 6% semestral capitalizable bianualmente, hallar la tasa efectiva
cada 79 días que sea equivalente a la tasa nominal anterior.
Desarrollo
I. j 6 % semestralcapitalizablebianualmente
Periodo1 = semestral×
Periodo2 = bianual
. ^
semestres
semestre i (^) efbianual m
ief. bianual 0 , 24
× II. ief. bianual 0 , 24 ief. cada 79 días ?
720
79
. 79
720
79
. 79.
efcada días
efcada días efbianual
i
días
días i i m
Respuesta: 2 , 39 % ief. cada 79 días
Ejemplo:
Dada una tasa del 23% trimestral capitalizable cada 20 días, hallar la tasa efectiva
cada 15 días que sea equivalente a la tasa nominal anterior.
Desarrollo
I. j 23 % trimestralcapitalizablecada 20 días
Periodo1 = trimestral
Periodo2 = cada 20 días
. 20 ^
días
días i (^) efcada dias m
ief. cada 20 días 0 , 05111
II. ief. cada 20 días 0 , 05111 ief. cada 15 días ?
4
3
. 15
4
3
. 15. 20
efcada días
efcada días efcada días
i
días
días i i m
Respuesta: 3 , 81 % ief. cada 15 días
Otra manera más directa de resolverlo (requiere práctica):
Ejemplo:
Dada una tasa del 2,5% cada 1,8 semestres capitalizable cada 4,2 bimestres, hallar
la tasa efectiva anual que sea equivalente a la tasa nominal anterior.
Desarrollo
I. j 2 , 5 % cada 1 , 8 semestrescapitalizablecada 4 , 2 bimestres
Periodo1 = cada 1,8 semestres
Periodo2 = cada 4,2 bimestres
meses
meses i (^) efcada bimestres m
Respuesta: ief. cada 4 , 2 bimestres 0 , 0194
II. ief. cada 4 , 2 bimestres 0 , 0194 ief. anual ?
8 , 4
12 .
8 , 4
12
.. 4 , 2
ef anual
ef anual efcada bimestres
i
meses
meses i i m
Dada una tasa del 23% trimestral capitalizable cada 20 días, hallar la tasa efectiva cada 15 días que sea equivalente a la tasa nominal anterior.
j= 0,23 trimestral, cap 20 dias =0,23 (90 días), cap 20 dias 1 trimestre =90 días
- i20dias= 0,23/( 90 /20) i15dias= ((1+(0,23/( 90 /20))^( 15 / 20 ))- i20dias= 0.05111111 i20días
- i15dias= (1+i20dias)^( 15 / 20 ) - i15dias= 0. i15dias= 0.0380935 i15dias= 3.81% i15dias= 3.81%
𝑖𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 = ሺ 1 + 0. 02 ሻ
1 (^90) − 1 = 0. 00020053
II.
día
días m
j i (^) efdiariamente
𝑗 = 60 𝑥 0. 00020053
Respuesta: j 1 , 32 % bimestralcapitalizablediariamente
Ejemplo:
Determine la tasa nominal cuatrimestral capitalizable cada 3,4 semestres que sea
equivalente a la tasa efectiva anual del 7%.
Desarrollo
I. j = x% cuatrimestral, capitalizable cada 3.4 semestres
Periodo1 = cuatrimestral.
Periodo2 = cada 3,4 semestres.
j=i(3,4 semestres) x 0,
𝑖 3. 4 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = ሺ 1 + 0. 07 ሻ
3 , 4 (^2) − 1 = 0. 1218955414
II. Ahora:
meses
meses m
j i (^) efcada semestres
𝑗 = 0. 1218955414 𝑥 0. 196078
Respuesta: j 2 , 38 % cuatrimestralcapitalizablecada 3 , 4 semestres
DE NOMINAL A NOMINAL
Recordemos:
2
m dePeriodos contenidosenun Periodo
m
j
i
tasa efectiva
periododela
efdelperiodo
Entonces:
j = iP2. m
Esta conversión se puede dividir en tres pasos:
III. Obtener la tasa efectiva de acuerdo al periodo2 de la tasa nominal dada.
IV. Encontrar la tasa efectiva específica de acuerdo al periodo2 de la tasa nominal
a encontrar mediante la conversión de tasa efectiva a efectiva.
V. Se multiplica por el número de capitalizaciones que tenga la tasa nominal
solicitada, utilizando la fórmula:
m # dePeriodos 2 , contenidosenunPeriodo 1
Ejemplo:
Dada una tasa nominal anual del 12% capitalizable mensualmente, encontrara la
tasa equivalente trimestral capitalizable semestralmente.
Estructuro la tasa nominal que busco: j= iP2 x m
j= isemestral x (1/2)
imensual= 0,12/12 = 0,
isemestral=0,
j=3,076% trimestral, cap. Semestralmente
Otra manera más directa de resolverlo (requiere práctica):
Ejemplo:
Determine la tasa nominal trimestral capitalizables bianualmente que sea
equivalente a la tasa nominal del 29% cada año y medio, capitalizable cada 98 días.
Desarrollo
I. 𝑗 = 29% 𝑎 ñ 𝑜 𝑦 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 98 𝑑 í 𝑎𝑠
𝑖 138 𝑑 í 𝑎𝑠 =
II. Tasa efectiva bianual
720
III.
𝑗 = % 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑏𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑗 = 0. 4576639 𝑥
1
8
= 0. 05720
Respuesta: 𝑗 = 5 ,72% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑏𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
