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TÉCNICAS DE CONTEO
1) Regla de la multiplicación: Si una operación se puede llevar a cabo en n 1 formas y, si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en n 2 formas y, para cada una de ellas se puede realizar una tercera operación en n 3 formas y así sucesivamente hasta nn formas, entonces las posibilidades totales vienen dadas por:
P = n 1 ∗ n 2 ∗ n 3 … nn =∏
i = 1 i = n
Ej.: Una lotificadora ofrece a los posibles compradores a elegir entre una casa Tudor, Rústica, Colonial o Tradicional en el estilo de la fachada y; entre una planta, dos plantas y desniveles en el plano de la construcción. ¿De cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? Como n 1 = 4 y, n 2 = 3, entonces, el comprador puede elegir entre P=4x3=12 casas posibles.
- Permutación de n elementos diferentes tomados todos a la vez sin repetición: Son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Su forma es:
Pn = n!
Ej.: Si tenemos el conjunto de letras {a,b,c,d,e} y queremos saber de cuántas formas los podemos ordenar mientras tomamos una de estas a la vez, entonces identificamos el número de elementos n=5 y determinamos que estas se pueden ordenar de P 5 = 5! = 120 formas distintas. Para este ejemplo, entendemos que una forma puede ser {a,b,c,d,e}, otra {a,c,d,e,b} otra {e,d,c,b,a}, etc. Solo importa que estén presentes. 3) PERMUTACIONES CIRCULARES: Este tipo de permutación se da cuando queremos ordenar n elementos de forma circular. Su forma es:
Pcn =( n − 1 )!
Ej.: Si queremos ordenar los elementos {A,B,C,D} alrededor de un circulo, ¿de cuántas formas lo podemos hacer? Identificamos n=4 y, deducimos que podemos ordenarlos de Pc4 = (4-1)! = 3! = 6 formas 4) Permutación de n elementos diferentes, tomando r a la vez sin repetición: Esto sucede cuando tenemos una cantidad de espacios n, en donde vamos a ubicar r elementos. Su forma es:
nPr =
n!
( n − r )!
Ej. 1: ¿De cuántas formas podemos sentar a 6 alumnos en un salón con 25 escritorios? Identificamos los espacios n=25 y el número de elementos a ordenar r=6. Las formas posibles son 25 P 6 =25!/19! Ej. 2: ¿Cuántos números de 2 cifras sin repetición se pueden formar con los dígitos 8,2,5,4,7? Identificamos el total de elementos n=5 y el número de elementos a ordenar r=2. Las formas posibles son 5 P 2 =5!/3!
5) Permutación de n elementos, tomando todos a la vez con repetición: Esto sucede cuando tenemos r elementos, los cuales constan de n posibles estados. Se denota por:
P = n
r Ej.: Sabemos que el Sistema Braille consta de 6 puntos los cuales pueden estar en dos estados: en relieve o no, entonces, ¿cuántos símbolos podemos representar con este? Identificamos los posibles estados de cada punto r=2, y los espacios r=6, por lo cual sabemos que las posibilidades dentro del sistema Braille son P=2^6 =64 posibilidades 6) Permutaciones con elementos repetidos en el conjunto: Sucede cuando tenemos un conjunto dentro de cual se repiten varios elementos. Está dado por:
Pn
a , b ,c … k
n!
a! ∗ b! ∗ c! ∗ … ∗ k!
Ej. 1: En una urna hay 6 elementos, 3 azules, 2 rojos y 1 amarillo, lo que se desea es ordenar los elementos, ¿de cuántas formas se puede hacer? Identificamos el total de elementos n=6 y cada elemento a=azul=3, b=rojo=2, c=amarillo=1; por lo que sabemos que el total de formas es P=6!/(3!2!1!)=60 formas. Ej. 2: ¿De cuántas formas se puede ordenar la palabra MISSISSIPPI? Identificamos el total de elementos n=11 y los elementos a=M=1, b=I=4, c=S=4, d=P=2; por lo que sabemos que el total de formas es P=11!/(1!4!4!*2!) 7) Combinación de n elementos diferentes, tomando r a la vez sin repetición: A diferencia de las permutaciones, aquí no importa el orden en el que estén los elementos, es decir {abc} = {cba}. Su forma viene dada por:
nCr =
n!
r! ( n − r )!
Ej.: En una urna se tienen 7 bolas de diferentes colores. ¿De cuántas formas se pueden sacar 3 bolas de diferentes colores? Aquí no importa cual se saca primero. Supongamos que las diferentes bolas son de colores: amarillo, morado, verde, anaranjado, negro, rojo y azul. Si sacamos tres bolas, podríamos obtener: amarillo-morado-verde, que es igual a sacar morado–amarillo–verde o, verde–amarillo–morado o, morado-verde-amarillo; aquí el orden no importa, lo que importa
es sacar los 3 colores. Por lo tanto, el total de posibilidades son 7 n 3 = 7!/(3!(7-3)!) = 35
8) Combinación de n elementos diferentes, tomando r elementos a la vez con repetición: Como en el ejemplo anterior, pero ahora podemos repetir los elementos, es decir, si queremos ordenar las letras {a,b,c}, podríamos ordenarlas por ej. En {a,b,c}, {a,a,b}, {a,a,a}, etc. Para esto debemos identificar el total de datos n y el grupo de elementos r que se tomará/ordenará. Su forma es:
nCr =
( n + r − 1 )!
r! ( n − 1 )!
a) Comenzamos identificando los espacios n=4 gerentes y los elementos r=10 bonos, por lo que: 4 C 10 =(4+10-1)!/(10!3!) =286 formas b) Ahora seguimos teniendo los mismos espacios n=4 gerentes, pero cambia lo que repartimos, los bonos, por lo que r=6; por lo tanto 4 C 6 =(4+6-1)!/(6!3!) =84 formas Ej.:
