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Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena. Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
∫f(x)=∫f(g(t))g'(t)dt+k
Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).
INTEGRACIÓN POR
CAMBIO DE VARIABLE
TÉCNICAS DE
INTEGRACIÓN
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra. Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces: u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:
∫u.dv=u.v-∫v.du
INTEGRACIÓN POR
PARTES
Si el integrando es una función racional de senos y cosenos de la forma R(senx, cosx), entonces la integral se reduce a la integral de una función racional de "t" mediante un cambio de variable. 1 ) Función racional de senx y cosx, impar en sex x, es decir R(-senx, cosx) = -R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente: cos x = t 2 ) Función racional de senx y cosx, impar en cos x, es decir R(senx, -cosx) = -R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente: sen x = t 3 ) Función racional par en senx y cosx, es decir R(-senx, -cosx) = R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente:
INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
4 ) En cualquier caso, cambio general. Se aplica el cambio siguiente
POTENCIAS DE
SENOS Y COSENOS
Si n es impar, es decir, n = 2k+ 1 , factorizamos el integrando, por ejemplo:
sen^nx dx = sen^2k+1x dx = (sen^2x)k sen^x dx
Utilizamos la identidad sen^2x+cos^2x= 1 y tomamos el siguiente cambio de variable:
En caso de potencias del seno: u=cosx En caso de potencias del coseno: u=senx
Si n es par, es decir, n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo:
sen^nx = sen^2kx = (sen^2x)^k cos^nx = cos^2kx = (cos^2x)^k y utilizamos las identidades trigonométricas:
sen2x = [ 1 - cos(2x)] / 2 cos2x = [ 1 +cos(2x)] / 2
Si en el integrando aparece un radical de la forma:
SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
tomamos el cambio de variable: x = a sen θ, con a > 0 ; θ = arcsenx
Si en el integrando aparece un radical de la forma:
omamos el cambio de variable siguiente: x = a tan θ, con a > 0 θ = arctanxx
Si en el integrando aparece un radical de la forma:
tomamos el cambio de variable siguiente: x = a sec θ, con a > 0 θ = arcsec(x/a) si x>a θ = 2p-arcsec(x/a) si x<-a
