Operaciones con vectores y matrices - Prof. 14, Apuntes de Administración de Empresas

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TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

(^1) Vectores. Operaciones con vectores. (^2) Matrices. Operaciones con matrices. (^3) Matriz inversa.

Vectores. Operaciones con vectores

¿Qué es un Vector?

Concepto de vector como segmento orientado: Dados dos puntos A y B ∈ Rn^ definimos el vector AB como el segmento orientado que une A con B.

A

B

Un vector se representa por una flecha en un sistema de coordenadas y queda totalmente determinado por su longitud, su dirección y sentido.

Ejemplos

1

1

Ejemplos

(^1) Economía (lo veremos en el Tema 5) Dada una función de producción que depende de dos factores, la dirección de máximo crecimiento viene dada por un VECTOR.

El VECTOR GRADIENTE nos indica la dirección (proporción) en que tenemos que aumentar ambos factores para obtener el máximo crecimiento. La longitud del vector gradiente nos indica la cantidad total a incrementar de ambos factores.

Representación de vectores

1

1 (a,b)

a

b

Definición de vector en R^2

Por lo que acabamos de decir, podemos identificar un vector en R^2 con un par ordenado de números reales, esto es, un elemento de R^2 : v = (a, b) Los números a y b se denominan las componentes del vector. A cada vector v le corresponde un único punto en el plano. Esta correspondencia es reversible. Por ello, nos referiremos bien al vector v , bien al punto P = (a, b), según el contexto. El conjunto de todos los vectores es

R^2 = {(x 1 , x 2 )/x 1 , x 2 ∈ R} = {(x, y ) ∈ R^2 }

Ejemplos

(^1) v 1 = ( 1 , 1 )

‖v 1 ‖ =

(^2) v 2 = (− 1 , − 1 )

‖v 2 ‖ =

(− 1 )^2 + (− 1 )^2 =

(^3) v 3 = ( 3 , − 1 )

‖v 3 ‖ =

32 + (− 1 )^2 =

Operaciones con vectores en R^2

Sean u = (x 1 , x 2 ) y v = (y 1 , y 2 ) dos vectores de R^2 y α ∈ R. (^1) Suma de vectores:

u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) (^2) Producto de un vector por un escalar:

αu = (αx 1 , αx 2 ) (^3) Producto escalar:

u · v = x 1 y 1 + x 2 y 2

Interpretación geométrica de las operaciones

x 1 x 2 x 1 +x 2

y 1

y 2

y 1 +y 2

y

x (^) x 1 2x 1

y 1

2y 1

v

2v

SUMA PRODUCTO POR UN ESCALAR

u

v

u+v

Interpretación geométrica de las operaciones

x (^1) x 2

y

y

y

x

DIFERENCIA

u

v

u-v

u-v

(-1) v = -v

Ejemplos: Operaciones con vectores

(^1) El vector ( 4 , 6 ) es un múltiplo escalar de ( 2 , 3 ) ya que ( 4 , 6 ) = 2 ( 2 , 3 ).

(^2) El vector ( 3 , 8 ) no es un múltiplo escalar de ( 2 , 3 ) ya que no existe un número real α tal que ( 3 , 8 ) = α( 2 , 3 ) pues si ( 3 , 8 ) = α( 2 , 3 ) entonces α = 32 y α = 83.

(^3) Dados los vectores u = ( 3 , 4 ) v = (− 1 , 0 )

u + v = ( 3 − 1 , 4 + 0 ) = ( 2 , 4 ) u − v = ( 3 + 1 , 4 − 0 ) = ( 4 , 4 ) 2 u = ( 2 × 3 , 2 × 4 ) = ( 6 , 8 )

NOTA

Sean u = (a, b) y α ∈ R. El vector αu es un vector con la misma dirección que u, con módulo |α|‖u‖ y

Si α = 0 entonces αu = 0 (el vector nulo) Si α > 0 entonces αu tiene el mismo sentido que u Si α < 0 entonces αu tiene sentido contrario a u

Vectores en Rn. Operaciones en Rn.

Vectores en Rn

Rn^ = {(x 1 , x 2 , ..., xn)/xi ∈ R para todo i = 1 , ..., n} Rn^ es el conjunto de los vectores de n componentes.

OPERACIONES en Rn Sean u = (x 1 , x 2 , ..., xn) y v = (y 1 , y 2 , ..., yn) dos vectores de Rn^ y α ∈ R. (^1) Suma de vectores: u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ..., xn + yn) (^2) Producto de un vector por un escalar: αu = (αx 1 , αx 2 , ..., αxn) (^3) Producto escalar: u · v = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + xnyn

Ejemplos de operaciones en Rn.

(^1) Sean u = ( 1 , 3 , 5 ) y v = ( 1 , − 1 , 0 ) dos vectores en R^3. Entonces

u + v = ( 1 + 1 , 3 − 1 , 5 + 0 ) = ( 2 , 2 , 5 )

3 u = ( 3 , 9 , 15 ) u · v = 1 × 1 + 3 × (− 1 ) + 5 × 0 = 1 − 3 + 0 = − 2 (^2) Sean u = ( 1 , 0 , 3 , 4 ), v = ( 0 , − 3 , − 1 , 2 ) dos vectores en R^4. Entonces

u + v = ( 1 + 0 , 0 + (− 3 ), 3 + (− 1 ), 4 + 2 ) = ( 1 , − 3 , 2 , 6 )

u − v = ( 1 − 0 , 0 − (− 3 ), 3 − (− 1 ), 4 − 2 ) = ( 1 , 3 , 4 , 2 ) 4 v = ( 0 , − 12 , − 4 , 8 ) u · v = 1 × 0 + 0 × (− 3 ) + 3 × (− 1 ) + 4 × 2 = 0 + 0 − 3 + 8 = 5