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Capítulo I UNIDADES FISICAS - ANALISIS DIMENSIONAL ERRORES EN LAS MEDIDAS A) UNIDADES Y SISTEMAS FORMULARIO EQUIVALENCIA ENTRE UNIDADES FUNDAMENTALES EXPRESADAS EN EL SISTEMA INTERNACIONAL (SI) O GIORGL. LoNGITUD MAsaA ] decímetro (dm) = 10" m L gramo (g) = 107 kg 1 centímetro (cm) = 10 m 1 tonelada métrica (t) = 10% kg 1 milímetro (mm) = 10 m 1 libra-masa (Ibm) = 0,4536 kg [micro = 10% m 1 slug = 14,59 kg ds a 1 ton, long (2240 lb) = 1016 kg 1 milimicra (mu) = 10% m A en 1 ton, short (2000 lb) = 907,2 kg 1 amgotctn (4) =4"a l unidad de masa ató- . q r13 1 unidad X (uX)—= 10" m mica (0) = 1,61 X 10” kg 1 fermi (fm) =10% m l unidad técnica de 1 decámetro (dam) = 10 m masa (utm) = 9,806 kg ó = y 1 hectómetro (hm) 10? m TIEMPO 1 kilómetro (km) = 10% m l año (a) = 3,1156 X 10 s l año luz = 0,965 X 10! m : í 207 10 1 día (d) = 86400 s paresloS) => "hon (h) = 3600 s E = Y voii” edo) ii 1 minuto (min) =60s 1 pie (ft) = 0,3048 m ] pulgada (in) = 2,54 X 10? m INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA 1 yarda (yd) = 0,9144 m LUEEI= 3,336 X 10" A * Esta es la milla terrestre. La milla marina equivale a 1852 m. 13 SISTEMAS DE UNIDADES MAGNITUDES SISTEMA FUNDAMENTALES UNIDADES Longitud (L) Metro Si Masa (M) Kilogramo (GIORGI) Tiempo (7) Segundo Intensidad (4) Amperio Longitud (L) Centímetro UEE Masa (M) Gramo (cGs en mecánica) Tiempo (7) Segundo Permitividad (e) e =1/4 7 Longitud (L) Metro TÉCNICO Fuerza (F) Kilopondio Tiempo (7) Segundo Longitud (L) Pie ABSOLUTO Masa (M) Libra-masa INGLES Tiempo (7) Segundo Intensidad (4) Amperio Problema 1. Teniendo en cuenta la equivalencia entre las unidades fundamentales (véase el formulario), determinar los factores de conversión de: 1. km/h a mile/h 2. lb/fé a g/cm? 3. t: m/s? a slug * yd/s? Solución y) 1 km _ 10 M _ 103 mile _ 0,6215 mile h h 1609 h h 2) lb - 0,4536 kg » 0,/4536X10B_ g _ 0016 £ fe 0,3048? m* — 0,30482 X 105 cm?” cm? 3) tom kg: m 10> slug « yd slug + yd 1 = 10 $ = > Sl 14,59 Xx 09144 $ ?90són > Problema 2. Pasar al si las siguientes unidades: 1. 1 yarda/s 2. 1 milla/h 1 N = 105 dyn > lesteno = 210? N 1 kp=9,8 N > =10_ p=3 l esteno 79 A kp B) ANALISIS DIMENSIONAL FORMULARIO ECUACION DIMENSIONAL DE UNA MAGNITUD $ EN BASE L, M, T: [S] = MT" CONDICIONES DE EQUIDIMENSIONALIDAD (HOMOGENEIDAD) de una magni- tud tal que: [S] = L'MT* cuando viene expresada en función de otras tres P, O y R por la fórmula: [S] = PYUQPRS siendo: [P]=19M TA ax, + ax + ax =a [Q] =L*M*T* > dyx, + bo + bix = db [R] =L%M*T" CjX, E 0x7 + 03% = 0 Problema 5. 1. Conocida la ecuación de dimensiones de la velocidad [»] = LT”' determinar las de la aceleración a y la fuerza F, sabiendo que: [a] =[v]/[1] y que [F] = [MJ] [a], siendo tel tiempo y M la masa. 2. Determinar la ecuación de dimensiones de la constante de gravitación universal que interviene en la conocida Ley de Newton: F=G MM '/r? (My M' masas; F= fuerza; r= distancia entre los cuerpos). 3. Determinar la ecuación de dimensiones del número rr. 4. Determinar la ecuación de dimensiones de un seno, un coseno y una tangente. 5. Determinar la ecuación de dimensiones de la energía (W) sabiendo que: [W] = [F] [r] 6. Determinar la ecuación de dimensiones de la constante de tensión superficial (0) sabiendo que: [o] = [W]/[4], (4: superficie). 7. Determinar la ecuación de dimensiones del coeficiente de viscosidad (y) sabiendo que: [n] =[F] [1/14] DJ. 8. Determinar la ecuación de dimensiones del número de Reynolds (R), sabiendo que [v] = [KR] [n1Lo] [r] (o: densidad). Solución Ps S =MLT? Giorgi: A e 1) Sistema Ea T . b] LT" Pr Técnico: ll=7 == =1T [F]=F : Giorgi: (0120109 cc =DM"'T* 2) Sistema (MILI MM Técnico: [6] UA” Sr = LTOF" (A Dé C: longitud de la circunferencia 210_ 1, Y =D | petongitad del diámetro Pl 4) n=2 tengas Y ses F br] L E _H_L sl di ii Problema E- 5 e E qu [aga] = ai” Giorgi: [W] = [F] (r] = MLT *L = MIT ? 5) Sistema Técnico: [W] =([F] [+] = FL di _M_MBTA Giorgi: [0] = ma” 6) Sistema Técnico: «MM = ES =FL" ico: la=73 =p. + di CEMIS MEA. as Giorgi: Ms 461 = A T 7) Sistema . [Fr] FL a : = = = Fl Técnico: En] an ir LT Do _(rJleJ(r]_LTOUMLOL_ Giorgi: [R]= bn] == 8) Sistema AAA Técnico: AL ni APT El número de Reynolds es adimensional. Solución 1) Como: [F] =MLT* de acuerdo con esto: L unidad (GiorG1) de fuerza= 1 N= 1 kg:m- 1 unidad (Ccs) de fuerza = 1 dyn=1g-cm-s | unidad (A1) de fuerza = 1 pdl = 1 lb - ft -s* luego: 1 lb fi oa Pl 1 dyn=10N = 7,233 X 10% pdl 1 1 pdl = ——— N=0,13825 N = 13825 pd 7,233 382 3825 dyn 2) Como: [Y] =ML*T "A" de acuerdo con esto: 1 unidad (GiorGI) de potencial =1 V=1kg-m*-s*-A* 1 unidad (UEE) de potencial = 1 g - cm? - 5” + (ugg1)" 1 unidad (ar) de potencial = 1 lb + ft? + s”? + A” luego: ¡qe . ur E 0 10* 3336100 EM -S (UEEI) +s* 1 = — UEE de Potencial 300 > -m* 1 lo fé lb- fe? ma E D = = = 23,73 s? 0,4536 X 0,3048? A-s* Ars! o lb ft? lo-fi? 1 vez de Potencial = 300 V = 300 X 23,73 y =7119 7 A-s A-s 1-1? 4 s 1 ra = 0,042 V = 1,4 X 10 * vee de Potencial Problema 8. Sabemos que el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre (20) es 9,8 m/s”. ¿Cual es la aceleración de la gravedad expresada en el sistema absoluto inglés? 19 Solución 1 unidad (s1) de aceleración = 1 m/s* MistT” > 1 unidad (a1) de aceleración = 1 ft/s? £i/s* = 3,2808 ft/s* => |g0=98m/s*=9,8 X 3,2808 ft/s* = 32,15 ft/s* 1 m/s? = Problema 9. En las gasolineras inglesas los aparatos de medida de presión de neumáti- cos de coche se miden en pdl/in * (poundal/ pulgada”). Si queremos hinchar la rueda de nuestro coche, a la presión de 1,8 kp/cm?. ¿Qué presión debe solicitarse en Inglaterra para obtener este resultado? Solución Sabemos que: [A] b1== [4] y que por la definición del kilopondio se obtiene: 1 kp=98N y como: 1 kp/cm* = 9,8 X 10* N/m* tendremos que: 1,8 kp/cm?= 1,8 X 9,8 X 10*N/m* en el problema 7 veíamos que: 1 N = 7,233 pdl y como: 2 1 im? 1m= ——, in 2,54* x 10 la presión que debe solicitarse será: p=18X98X 10* X 7,233 X 2,54? X 10” =823 pdl/in* Problema 10. Determinar la ecuación de dimensiones del momento de inercia y comprobar la homogeneidad de las siguientes fórmulas físicas: N=la Ni= A(lw) Ne=A > lo [V= momento del par; / = momento inercia; = tiempo; y, w y a«:son respectivamente el ángulo de giro, la velocidad angular y la aceleración angular]. Solución Para la solución tenemos que determinar la ecuación de dimensiones de un ángulo, de una velocidad angular y una aceleración angular. ij= Ed 2 v= M_ Lp sa l. [radio] L [A] Pr” ma .. .| = A arm WI?*ZML*T? 2 [Y] [ipg1=1[*]10]lg] =LML?LT*? =ML"T? Problema 12. Teniendo en cuenta el problema 6, demostrar la homogeneidad de las siguientes fórmulas fisicas: 1. w=v:=%. ¡=PR R Solución D [W] =ML"T” [Vr] =ML'T*A“"AT=ML'T? p MEL TOA? , ] a T=ML*T? E ES [Re] = A ML?T?A *T=ML*T? 2) [B]=MT"4" | yl |- MLTTATA =MTUA" L 3) (M=alr* 1 1 1 = ls = = =LT" Len ] [1103 MULPTAMPLR TIAS LAT Problema 13. Suponiendo que el período de oscilación de un péndulo simple (T'= tiempo que tarda en dar una oscilación) depende exclusivamente de la longitud del hilo (1), de la masa (M) de la partícula que oscila y de la aceleración de la gravedad (g) y que en la fórmula del período no intervienen más que las magnitudes indicadas, en producto entre sí (elevadas a exponentes diversos) y ligadas por un coeficiente numérico, deducir las leyes a que obedece el período de oscilación de dicho péndulo. Solución La fórmula del péndulo tendrá que ser de la forma: T=K'M g 22 Siendo la ecuación de dimensiones de g (aceleración), LT”, se debe verificar para que la igualdad anterior sea homogénea: T=LML TY =L "MT? y por tanto: x+2=0 »=0 2 =1 y de aquí: 1 1 1==— En ie s=0 Luego la ecuación será: 2 > 1 T=KI"Mg"” => kia) == £ (el período es independiente de la masa; la hipótesis hecha en el enunciado, no es cierta.) Problema 14. Sabiendo que la velocidad de salida de un líquido por un pequeño orificio practicado en la pared de una vasija es proporcional a la distancia vertical (k) del centro del orificio a la superficie libre del líquido y a la aceleración de la gravedad (£); dudamos si tal velocidad es proporcional también a la masa específica o densidad absoluta del líquido. Deseamos resolver nuestra duda y hallar la forma de la función: v=f(h, g, p). Solución Hagamos: v=K'Pp (K = constante abstracta de ecuación dimensional 1). [vJ=LT"" [A4]=L [g]=1T? [po] =ML? Igualemos las ecuaciones de dimensiones de primero y segundo miembro LE SEDES SAT los exponentes de las mismas magnitudes simples, habrán de ser iguales en el primero y segundo miembro, por lo que obtenemos el sistema de ecuaciones: Valores que sustituidos en el de v, dan: y=Kn"g"=K Vhg Hemos obtenido la forma de la función y deducido que la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en la pared de una vasija, es independiente de la densidad de tal líquido. Problema 15. Sabemos que la energía disipada en forma de calor (Q) por el efecto Joule en una resistencia eléctrica depende de la intensidad de corriente que la atraviesa (1), de la resistencia (R) y del tiempo (1) que circula la corriente por ella. Calcular la forma de la función: Q=f(1,R, 1) 23 en la que k, m y a son constantes conocidas. Se trata de calcular el error relativo de a una vez calculados los de b y c. Tomemos logaritmos neperianos en la expresión anterior: db Ina= Ink +nInb— mInc > PC a b Cc sustituyendo las diferenciales por incrementos finitos, haciendo positivos todos los términos del segundo miembro: quedando, así, determinado el error máximo de a en función de los de b y c. Se ha dado signo + a todos los términos del segundo miembro puesto que la probabilidad de errores accidentales por exceso y defecto es la misma y de esta manera nos colocamos en las condiciones más desfavorables (sin com- pensaciones de errores) obteniendo el máximo error relativo. ACOTACION DE ERRORES: En una medida directa, el valor de la magnitud problema está comprendido entre los valores máximo y mínimo obtenidos al realizar varias determinacio- nes experimentales. Las cifras comunes de tales medidas extremas, pueden considerarse ciertas. En el caso de las medidas indirectas nos pondremos en las condiciones más desfavorables, para obtener los valores extremos; es decir si: b 2 Cc 3 a=k calcularemos el valor máximo de la medida de a, empleando el valor máximo experimental de b y el mínimo de c; para obtener el mínimo valor de la medida de a, emplearemos el mínimo de b, y el máximo de c; a estará comprendida entre los dos valores obtenidos y las cifras comunes de ellos, pueden considerarse como ciertas. Problema 16. 1. Enla medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 km, 300 m. ¿Qué error relativo es mayor? 2. ¿Qué preferirías ganar, dos pesetas por cada cinco duros o el 8 %? Solución > Los dos son iguales. 2) 8X25 5; 8% de 25 ptas = wm = 2 ptas > La ganancia es la misma Problema 17. Como medida de un radio de 7 dm hemos obtenido 70,7 cm. Calcular: - El error absoluto. . El error relativo. . Elerror absoluto y relativo en la medida de la longitud de la circunferencia de tal radio. . El error absoluto y el relativo en la medida del área del círculo. |. El error absoluto y el relativo en la medida del volumen de la esfera de 7 dm de radio. UnA UN ma Solución D) 4Ax=707-—70=0,7 cm dd E = vd 0,01 1% Y (1%) Ax=2m(70,7 — 70) =210,7= 1,41 cm 3) PR 1% 270 140 > qa Ax= (70,7? — 70?) = 98,497 cm? 4) PESA ee ÓN 4 3 El Ax= 3 170,7” 70”) = 13857, 66 cm 5) 3 3 > q 70» Es 5 (3%) 4 , m0 3 Problema 18. Midiendo una longitud con una cinta de agrimensor cometemos errores del 0,5 %. ¿Cuál es el error absoluto y el relativo en la medida del área de un terreno rectangular de 100 X 50 m? Solución A = ab InA = Ina + Inb Aa da da do | y MM 1 E ÓN E Ab de =1% 300 = 0 > |[A4=50m? Ad da Ab A =05% ATA SS Ss SE luego: A av AT A + — a — P v T y como: 01 3 AS Ap= 1 mm de Hg= —— atm AV=1cm*=10*1 T=398"K obtenemos: 78 0,1 107 AT —— +—==> ”>|AT=065*XK| == T= 398 + 0,65 "K 76x 12" 192 398 Problema 22. Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo obteniendo los siguientes resultados expresados en gramos: 12,372 12,373 12,372 12,371 12,370 12,374 12,372 12,372 12,371 12,373 calcular el error de la media aritmética. Solución Núm. de la pesada x en gramos XX en Mg (—Xm)* q 12,372 0 0 2 12,373 +1 1 E 12,372 0 0 4 12,371 ==] 1 5 12,370 -2 4 6 12,374 +2 4 ze 12,372 0 0 8> 12,372 0 0 9 12,371 =] 1 10% 12,373 +1 1 n(n—1)=10X9=90 x= 12,372 8 Xx)? =12 + 0,36 mg 12 Ax=zw+ El resultado de nuestras pesadas es: m= 12,372 + 0,00036 que corresponde a un error relativo: ue 0,00036 X 100 12,372 %=+3x10*% Problema 23. Enla medida de una longitud hemos determinado los siguientes valores: 1,32 cm 1,30 cm 1,32 cm 1,33 cm 1,32 cm 1,31 cm 1,32 cm 1,31 cm 1,331 cm 1,31 cm Hallar el error de la media aritmética y los errores relativos de las medidas del área y volumen de un cuadrado y un cubo que tenga por arista tal longitud. 28 Solución Número 4d Xi Xm x en décimas p de la deseallimetro en centésimas medida PS de milímetro (%:—Xm)* E 132 +3 25 ze 131 e 25 Ea 130 13 225 42 132 + $ 25 se 132 +3 25 6- 131 — $ 25 Te 133 +15 25 8> 131 =p 25 92 132 +5 25 102 131 = y 25 n(n—1)=90 X= 131,5 lÉ (x,— xn) =650 E, [6 xn)! 650 . dl=ée=t ——— =i == 2,687 centésimas de mm nn—1) » dA dl A=P => In4=2Il >= —=2— A li AA Al 2,687 h =2—=2 =4087Xx 10" => A ! 1315 " av dl V=P = InNV=3n > —=3— v l Ar AL. 3.44 3 5 e —=3—=" 2-7 4087X107=613X 107 = v 1 2 A 2 Problema 24. Al determinar el valor de la expresión: x = 7a?/b se han hallado para a y b los siguientes valores: valores de a Acotar el valor de x 2,2000 2,1990 2,2010 2,1985 Solución 2,201* Valor máximo de x=7 ———= 8,2729 2,1985" Valor mínimo de x=7 —=8,2517 4,1002 valores de b > 8,2729 >x > 8,2517 4,1000 4,0990 4,1001 4,1002 29 (p = precisión; D = longitud de una división de la regla; 1 = número de divisiones del nonius que tienen la misma longitud que 1 — 1 divisiones de la regla). 0,5 n= 0,01 [ Se tomarán 49 divisiones de la regla y se dividirán en 50 partes iguales en el nonius. | Problema 3. Un limbo circular está dividido en medios grados y se le aplica un nonius construido de forma que 29 divisiones del limbo se han dividido en 30 partes iguales en el nonius. ¿Cuál es su precisión? Solución D 0j5grados 30 minutos n 30 30 = 1 minuto Problema 4. El paso de rosca de un palmer es de medio milímetro y su cabeza tiene 50 divisiones. ¿Cuál es el espesor de un objeto si se han dado 6 vueltas y 23 divisiones? Solución D p=- n D: paso de rosca. n: número de divisiones del tambor. 0,5 mm p= = 0,01 mm s0 luego el espesor (e) será: [e=6X05+23 X 0,01 = 3,23 mm | ProblemaS5. Las patas de un esferómetro forman un triángulo equilátero de lado 8,65 cm. Aplicando el aparato a una superficie esférica, la medida de su flecha es de 0,1 cm. Calcular en litros la capacidad de la esfera. Solución El radio de la circunferencia que pasa por los puntos en que se apoyan las patas del esferómetro es: l 8,65 v3 v3 El radio de la esfera viene dado por la fórmula: Pr 0143 2f — 2X01 =5cm R= = 125 cm 31 32 El volumen de la esfera es: 4 K= E R'=8181231 cm? = 8181 1 Problema 6. Supongamos que el aplicar un esferómetro a un casquete esférico, la medida de la flecha —f— es la tercera parte de la longitud del lado —/— del triángulo equilátero que forman los puntos de apoyo de esferómetro, Demostrar que el radio de la esfera es de doble longitud que la flecha —f—. Solución ! == P ey O pr E e | A. A 3 Problema7. Considerando como cierta la definición de metro en función del cuadrante del meridiano terrestre, calcular: 1. El número de km del radio terrestre. 2. Dibujar en escala de 1/10*, un círculo máximo terrestre. 3. ¿Qué relación hay entre la longitud de un meridiano terrestre y la de la circunferencia dibujada? 4. En el dibujo que has realizado ¿cuántas veces es menor el árca de tal círculo, que la de un círculo máximo de la Tierra? 5. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de la Tierra comparado con el volumen de la esfera cuyo círculo máximo has dibujado? Solución 1) El radio terrestre vale; y = 4x 10” 2x10* m= km 27 T > 1 2) El radio de la circunferencia terrestre en escala TE será: R 2Xx107 02 20 10 = =—a 3) Circunferencia terrestre: Co = 21Ro € >) s . . Li Ra = =10 Circunferencia de la representación: C= SE A Ce 4) Area de un círculo máximo: Av = Ri As t6 . Ra y? — =10 Area de la representación: A=w" mE A 
