¡Descarga tema 2 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
TEMA 2. Cinemàtica de la partícula
2.1. Conceptes fonamentals
La mecànica és la part de la física que
estudia el moviment dels cossos. Es
distingixen tres branques:
♦ Cinemàtica: descriu el moviment sense ocupar-se de les seues causes ♦ Dinàmica: relaciona el moviment amb les forces que intervenen ♦ Estàtica: estudia cossos en repòs sotmesos a sistemes de forces.
Galileo Galilei (1564-1642)
2.1.1. Moviment rectilini en una dimensió. Velocitat
Anem a estudiar dos casos distints: Cas A: un cotxe es mou per una carretera recta a velocitat constant Cas B: deixem caure una pedra des d'una torre.
Si mesurem l'espai recorregut, e, en metres, en funció del temps, t, en segons,
obtenim una taula que podem representar gràficament amb el temps en l'eix de les
ics (abcisses) i l'espai en el de les ies (ordenades):
CAS A
La velocitat mitjana entre els instants t = 2 i t = 3 s es calcula com l'espai
recorregut durant eixe interval de temps dividit pel temps que ha emprat, és a dir
3 2 3 2
v = x - x^ = 90 - 60^ = 30m t - t 3 - 2 s
Velocitat mitjana = ∆ ∆
v = x t
on ∆ x = desplaçament i ∆ t = interval de temps.
La velocitat instantània en l'instant t = 3 s serà igualment
v = vinstantanea = 30 m^ = 108 km=tg α s h
CAS B
La velocitat mitjana entre els instants t = 2 i t = 4 s es calcula com l'espai
recorregut durant eixe interval de temps dividit pel temps que ha emprat, és a dir
v 2,4= 80 - 20^ = 30m 4 - 2 s
t(s) e(m) 0 0 1 30 2 60 3 90 4 120
t (s) e (m) 0 0 1 5 2 20 3 45 4 80
2.1.3. Acceleració
L'acceleració és la variació amb el temps de la velocitat instantània. Cas A: a = 0 (perquè la velocitat és constant).
Cas B: a = d v d t
= 10 m/s^2 (ja que v(t) = 10 t).
En general a = d v d t
2 2
d x d t
Amb la qual cosa v(t) = (^) ∫a(t) dt és la funció velocitat.
Si a = constant (per exemple, la gravetat), llavors v(t) = v 0 + a·t, on v 0 és la
velocitat inicial o velocitat en el instant t = 0.
e(t) = (^) ∫ v(t) dt = (^) ∫ (v + a t) dt 0 = e 0 + v 0 t + ½ a t 2
En la superfície de la Terra, acceleració = gravetat = g = 9,8 m/s^2 Tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració = g, excepte pel fregament. El pes no és el mateix que la massa. El pes és la força amb què la Terra atrau
a un cos de massa m. Per tant, el pes es mesura en Newtons. P = m g.
Quan ens pesem en la bàscula i mesura 55 quilos, vol dir que la nostra massa
és 55 kg, però realment pesem 550 N ⇒ pes = força = m g
Exemple 1. Una persona llança verticalment i cap amunt un objecte des d'una
altura de 2 m i desitja que abast un balcó situat a 8 m del sòl.
a) Calcula la v a la que ha de llançar-lo b) Calcula la v a la que cau quan torna a passar pel punt de llançament c) Calcula el temps que tarda a caure a terra.
a) v = v 0 - g·t ⇒ 0 = v 0 - g·t ⇒ v 0 = g·t e = e 0 + v 0 t + ½ a t 2 ⇒ 8 = 2 + v 0 t - ½ g t 2 ⇒ com t = g/v 0 ⇒ 6 = v 02 /g- ½ g v 02 /g^2 = v 02 /2g ⇒ v 0 = 12g = 10,84 m/s b) v = - v 0 = - 10,8 m/s
c) 0 = 2 + 10,8 t – 4,95 t 2 ⇒ t = −^ ±^ + −
10,8 10,8^2 4·9,
t 1 = - 0,17 s (no pot ser negatiu) i t 2 = 2,38 s, és el resultat.
Exemple 2. La posició d'un cos que oscil·la sobre un moll ve donada per
l'equació x = 0,1 sin t 5
(tot en el SI).
a) Representa ics en funció de t per a 0 < t < 60 s b) Calcula v(t) i representa-la. Calcula la vmax c) Calcula a(t) i representa-la.
b) v(t) = d x d t
cos t 5
vmàx ⇒ d v(t) d t
sin t 5
⇒ t 5
= 0, 2 π, 4 π ...
⇒ t = 0, 10 π, 20 π...
c) a(t) = d v(t) d t
sin t 5
Exemple 3. Una persona va amb cotxe i al vore un objecte frena fins a parar-
se amb a = - 5 m/s^2. Calcula la distància de frenada si
a) la v = 15 m/s b) la v = 30 m/s
t (s) x (m) 0 0 5 0, 10 0, 15 0, 20 -0, 25 -0, 30 -0, 10 p 0
En general el moviment es pot descriure amb el vector posició G r (t) = x
G
i + y
G
j + z
G
k on x, y i z son f(t). S'anomena vector desplaçament ∆
G
r =
G
r (t 2 ) -
G
r (t 1 )
(no és distància recorreguda).
⇒ ∆
G
r = x 2
G
i + y 2
G
j + z 2
G
k - (x 1
G
i + y 1
G
j + z 1
G
k ) =
(x 2 - x 1 )
G
i + (y 2 - y 1 )
G
j + (z 2 - z 1 )
G
k
orientat de P 1 a P 2.
El vector velocitat mitjana durant l'interval
temporal ∆t = t 2 - t 1 serà
G v =
G
∆ r ∆ t
té igual direcció que ∆
G
r.
Es definix el vector velocitat instantània com la
velocitat mitjana en un interval temporal molt xicotet:
G v = (^) ∆ →
G
0 lim ∆^ r t ∆ t
G
d r d t Es pot observar que
G
v = v
JJG
u T.
On
JJG
u T és un vector unitari tangent a la trajectòria.
En components: G v =
G
d r d t
= d d t
(x
G
i + y
G
j + z
G
k ) = d x d t
G
i + d y d t
G
j + d z d t
G
k = vx
G
i + vy
G
j + vz
G
k
on
G
v ,
G
r , x, y, z, vx, vy, vz , son funcions del temps.
2.2.2. Acceleració
En el moviment de la partícula des de P 1 fins a P 2 , es definix l'acceleració
mitjana:
G a =
G
∆ v ∆ t
JJG JJG
2 1 2 1
v v t t
La direcció de
G
a no coincidix, en general, ni amb la de^
JJG
v 1 ni amb la de^
JJG
v 2. L'acceleració apunta sempre cap a la concavitat de la trajectòria:
Acceleració instantània
G
a =^ ∆ →
G
0 lim ∆^ v t ∆ t
G
d v d t G a = d vx d t
G
i + y
d v d t
G
j + d vz d t
G
k = ax
G
i + ay
G
j + az
G
k
Per a qualsevol moviment:
G
v = v
JJG
u T G a =
G
d v d t
= d d t
( v
JJG
u T ) = d v d t
JJG
u T +
JJG
d u T d t
v (*)
⇒ apareixen dos termes perquè la velocitat pot canviar tant en mòdul ( d v d t
com en direcció (
JJG
d u T d t
Si la trajectòria és rectilínia
G
a = d v d t
JJG
u T ; si la velocitat és constant,
G
a = 0.
Si la trajectòria és corba, sempre
G
a ≠ 0, divers o no v.
El terme d v d t
JJG
u T és tangent a la trajectòria i el seu mòdul és el canvi amb el
temps del mòdul de v. S'anomena component tangencial.
El terme v
JJG
d u T d t
porta la direcció de
JJG
d u T d t
que és perpendicular a
JJG
u (^) T perquè
JJG u T ·
JJG
u T = 1 ⇒ 2
JJG
u T
JJG
d u T d t
JJG
u T ⊥
JJG
d u T d t S'anomena component normal o centrípeta. Vegem el seu mòdul:
∆
JJG
u (^) T = 2 sin ∆ θ d t
≈ 2 ∆^ θ d t
= ∆ θ (perque si ∆ θ→ 0 ⇒ sin ∆ θ = ∆ θ). JJG ∆ u T ∆ t
= ∆^ θ ∆ t
= ∆s/R ∆ t
= v R
JJG
d u T d t
= v R
JJG
u N
On
JJG
u N és el vector normal unitari i cap a dins. R és el radi de curvatura.
y = 10 sin15^0 ·t - 1 2
9,8 t 2 ⇒ y = x tg15^0 - 1 2
2 2 2 0
x 10 cos 15
que és l’equació
de la paràbola.
La vessant (o costat) de la muntanya serà l’equació de la recta y = x tg 130^0 Els punts de tall entre ells:
x tg 130^0 = x tg15^0 - 1 2
2 2 2 0
x 10 cos 15
que té dos solucions: x = 0 o
tg15^0 - tg 130^0 = 9,8 x 2 0 200 cos 15
⇒ x = 27,79; y = - 33,
d = x +y^2 2 = 43,2 m
2.3. Moviment circular
Considerem el cas en què la trajectòria és una
circumferència. La velocitat és perpendicular al radi.
La distància recorreguda serà s = R θ
v = d s d t
= R d^ θ d t
ja que R és constant.
ω = d^ θ d t
≡ velocitat angular (en rad·s-1^ ).
De forma que v = ω R en mòdul.
Es pot expressar ω com a vector la direcció del
qual és perpendicular al pla del moviment, amb la regla
del caragol (o vis) o mà dreta.
Si triem un sistema amb z perpendicular al
moviment (vore figura):
ϖ
JG
= d^ θ d t
G
k
R = r sin γ ⇒ v = ω r sin γ ⇒
G
v = ϖ
JG
G
r
Moviment circular uniforme
Quan ϖ
JG
és constant tenim el moviment circular uniforme. És periòdic. El període T és el temps que empra a donar una volta. La freqüència ν és el nombre de voltes (revolucions) per unitat de temps.
Si en un temps t dóna n voltes ⇒ T = t n
; ν = n t
ν = 1 T
en s-1^ o hertz (Hz) o rev. per s (rps).
Si ω és constant ⇒ (^) ∫ (^0)
θ θ dθ^ =∫^ ϖ
t 0 dt^ ⇒^ θ^ =^ θ^0 +^ ω^ t^ comparable a x = x^0 + v t.
En una volta completa t = T i θ = 2 π ⇒ 2 π = ω T ⇒ ω =^2 π T
= 2 π ν
Acceleració angular
Quan ω depèn del temps, es definix l'acceleració angular
G
α G α =^ ϖ
JG
d d t
2 2
d θ d t
G
k (perquè la direcció d’ ϖ
JG
és constant).
Quan
G
α és constant (moviment circular uniformement accelerat)
