¡Descarga Tema 1 Camp elèctric y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Capítol 1: Camp elèctric 1
CAPÍTOL 1 CAMP ELÈCTRIC
1.1 Càrrega elèctrica 1.2 Llei de Coulomb 1.3 Camp elèctric 1.4 Representació d’un camp vectorial: línies del camp elèctric 1.5 Distribucions contínues de càrrega 1.6 Camp elèctric de distribucions contínues de càrrega 1.7 Dipol elèctric 1.8 Flux d’un camp vectorial 1.9 Flux del camp elèctric: llei de Gauss 1.10 Càlcul del camp elèctric a partir de la llei de Gauss 1.11 Circulació d’un camp vectorial 1.12 Circulació del camp elèctric
Aquest capítol és el primer dels tres dedicats a la part de l’electromagnetisme denominada electrostàtica i que tracta sobre la interacció de les càrregues elèctriques en repòs. Les forces entre les càrregues s’estudien introduint el concepte de camp elèctric, camp que és anomenat electrostàtic quan en un context general es vol precisar que correspon a càrregues en repòs.
1.1 CÀRREGA ELÈCTRICA
La matèria està constituïda per àtoms, i aquests per electrons, protons i neutrons. Aquestes partícules s'exerceixen forces atractives degudes a la interacció gravitatòria que s'atribueix a la seva massa. A més, els electrons i els protons s'exerceixen forces molt més intenses que corresponen a l'anomenada interacció electromagnètica i que s'atribueix a la seva càrrega elèctrica. Les forces entre electrons i entre protons són repulsives. Les forces entre un electró i un protó són atractives. A l'electró se li atribueix una càrrega de signe negatiu i al protó una càrrega de signe positiu. El neutró no interactua, no té càrrega, es diu que és neutre. Les forces entre dos electrons, dos protons o un electró i un protó tenen la mateixa intensitat. D'això es dedueix que les càrregues de l'electró i del protó són iguals, només difereixen en el signe. S'escriuen respectivament -e, +e, sent e>0 l'anomenada càrrega elemental. És remarcable aquesta igualtat si es té en compte que, en canvi, les masses de les dues partícules són molt diferents. Un objecte material té un nombre molt gran d'àtoms, i per tant d'electrons i de protons. Si té igual nombre d'electrons que de protons, la seva càrrega total, dita també la seva càrrega neta o simplement la seva càrrega, és nul·la. Si estan a més uniformement repartits, macroscòpicament els efectes d'ambdós es compensen i l'objecte es comporta com si no tingués càrregues, l'objecte és neutre. Ara bé, si té més electrons que protons, predomina l'efecte dels electrons, i l'objecte té una càrrega negativa que correspon a la de l'excés d'electrons. En el cas oposat, té una càrrega positiva que correspon a la de l'excés de protons.
2
En certs materials, com els metalls, part dels electrons es poden moure lliurement, són els materials conductors. En altres materials, com el vidre, els electrons estan lligats als àtoms i no es poden moure lliurement, són els materials aïllants o dielèctrics. Propietats de la càrrega elèctrica:
- La càrrega elèctrica és un atribut de les partícules, és quelcom intrínsec, no quelcom que se’ls hi pugui posar o treure.
- Existeixen dos tipus de càrregues elèctriques, positives i negatives. Les càrregues del mateix signe s’exerceixen forces repulsives i les càrregues de signe diferent s’exerceixen forces atractives.
- La càrrega elèctrica està quantitzada. Els valors de la càrrega elèctrica són múltiples de la càrrega elemental e.
- La càrrega elèctrica es conserva. En tot sistema tancat la suma algebraica de les càrregues positives i negatives es manté constant. Al Sistema Internacional (SI) la unitat de càrrega elèctrica és el coulomb * i el seu símbol és C. El coulomb és una unitat derivada de l’ampere, A (unitat d’intensitat de corrent elèctric que serà definida al capítol 5), i 1 C = 1 A·s. Una càrrega de 1 C és molt gran, per això s’utilitzen sovint els submúltiples μC, nC i pC. A més e = 1,602·10-19^ C. Als experiments típics d’electrostàtica es treballa amb càrregues de l’ordre de pC-nC molt superiors a la càrrega elemental. Per això, macroscòpicament la quantització de la càrrega no resulta observable.
1.2 LLEI DE COULOMB
Si es tenen dues càrregues puntuals† en repòs i al buit, experimentalment s’observa que sobre cada càrrega actua una força
- dirigida segons la recta que uneix las càrregues,
- repulsiva si les càrregues són del mateix signe i atractiva si són de signe diferent,
- proporcional al valor de les càrregues, i
- inversament proporcional al quadrat de la distància entre les càrregues. Aquest enunciat constitueix la llei de Coulomb i es pot expressar matemàticament mitjançant rˆ r
F =kqq 2 12 12
onF 12
és la força que la càrrega q 1 exerceix sobre la càrrega q 2 , (^) rˆ 12 és el vector unitari corresponent
al vector r 12 que va de la posició de q 1 a la posició de q 2 ( (^) rˆ 12 r 12 /r 12 ), i k una constant de
proporcionalitat, k=8,99·10^9 Nm^2 C-2. Al SI k s’escriu com k=1/(4πεo), sent εo= 8.845x10-12^ N-1m- (^2) C (^2) ‡, amb la qual cosa
- En honor a Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806). † Càrregues d’objectes de dimensions molt petites comparades amb la distància que els separa. ‡ En comptes de N-1m-2C^2 habitualment s’escriu F/m, sent F el símbol de farad, unitat que es definirà al capítol 3.
4
Per a les altres càrregues, procedint anàlogament, o bé considerant la simetria, resulta:
(aˆ aˆ) a
)q 4
F =^1
2 x y
2 (^2) o
, ( aˆ aˆ) a
)q 4
F =^1
2 x y
2 (^3) o
( aˆ aˆ ) a
)q 4
F =^1
2 x y
2 (^4) o
a
)q 2
F F F F =^1
2
2 (^1 234) o
1.3 CAMP ELÈCTRIC
La interacció entre dues càrregues puntuals q 1 i q 2 pot ser considerada des de dos punts de vista:
a) Acció directa a distància
La força sobre la càrrega q 2 és deguda directament a la càrrega q 1.
2 12 12
1 2 0 (^12) r rˆ
qq 4
F =^1
b) Creació i acció del camp
- La càrrega q 1 causa una modificació a l’espai que l’envolta, i es diu que crea un camp.
- El camp creat per la càrrega q 1 actua sobre la càrrega q 2 i causa la força sobre ella. Llavors, si la llei de Coulomb s’escriu
2 12 2 12
1 (^12 ) rˆ )q r
q 4
F =(^1
el terme entre parèntesi només depèn de la càrrega q 1 i de la posició de la càrrega q 2 respecte a ella, no del seu valor, i la força sobre q 2 és proporcional a q 2. Per això, aquest terme podria representar l’efecte de creació del camp, i s’identificarà amb la intensitat del camp elèctric, o
simplement camp elèctric ,E 12
En el cas de dues càrregues puntuals, la càrrega q 1 crea doncs el camp elèctric
2 12 12
1 (^12 ) rˆ r
q 4
E =^1
i el camp elèctricE 12
actua sobre la càrrega q 2 produint la força (Figura 1.2)
2 12 12
1 2 0 (^12 212) r rˆ
qq 4 F =q E =^1
Es considera que el camp que crea una càrrega existeix independentment de que hi hagi o no
una altra càrrega al seu entorn. Així, el camp elèctricE
que una càrrega q situada al punt M crea al punt P és
rˆ r
q 4
E =^1
sent rˆ^ r/r, i r^ el vector de posició de P respecte de M. Tanmateix, l’única forma de verificar
Capítol 1: Camp elèctric 5
que existeix el camp elèctric és col·locar una càrrega i veure que sobre ella actua una força.
Per altra banda, si en un punt P en què existeix un camp elèctricE
es col·loca una càrrega q,
sobre la càrrega actua una forçaF qE
Observeu que el camp elèctric en cada punt de l’espai es pot obtenir col·locant en cada punt
una càrrega q i mesurant la forçaF
que actua sobre ella. El camp elèctric és simplement
q
E F
i aquesta és l’expressió que defineix en general per a qualsevol sistema de càrregues el camp elèctric. El camp elèctric en un punt de l’espai és la força que per unitat de càrrega actua sobre una càrrega de prova suficientment petita (en valor i dimensions) col·locada en el punt. Aquesta càrrega ha de tenir un valor petit per tal que al col·locar-la al punt no s’alteri el sistema i per tant el camp elèctric que es vol mesurar. Quan en cada punt de l’espai hi ha definit el valor d’una magnitud vectorial, es té un camp vectorial, i el camp elèctric és un exemple de camp vectorial. El camp elèctric és molt útil per descriure com interacciona un sistema de càrregues. Si es coneix el camp elèctric que crea en una regió de l’espai, resulta fàcil saber quina serà l’acció sobre una càrrega o càrregues col·locades en aquesta regió, sense necessitat de conèixer ni les posicions ni els valors de les càrregues del sistema. En el cas d’un sistema de càrregues puntuals val el principi de superposició dels camps elèctrics, que és una conseqüència del principi de superposició de les forces elèctriques. En efecte, si hi ha N càrregues qi (i=1,2,...,N) als punts Mi i al punt P es col·loca una càrrega q, la força sobre aquesta càrrega, en termes dels vectors (^) r^ ique tenen origen a Mi i final a P, serà
rˆ r
qq 4
F =^1
2 i i
N i (^0) i= 1
^
i com queE F/q
, resulta rˆ r
q 4
E =^1
2 i i
N i 0 i= 1
^
Figura 1.
Capítol 1: Camp elèctric 7
A les proximitats d'una càrrega les línies tenen una configuració radial. Als punts molt allunyats d'un sistema de càrregues, les línies tenen una configuració radial si la càrrega total del sistema és no nul·la. Les línies no són mai tancades. Aquestes propietats es poden justificar tenint en compte les propietats del camp elèctric que seran estudiades als apartats 1.9 i 1.12 d'aquest capítol.
1.5 DISTRIBUCIONS CONTÍNUES DE CÀRREGA
Encara que a nivell microscòpic la càrrega es distribueix de forma discreta, a nivell macroscòpic la càrrega es pot considerar distribuïda de forma contínua, i l'estat de càrrega d'un cos es caracteritza mitjançant la densitat volúmica de càrrega ρ (càrrega per unitat de volum) que en general varia d'un punt a un altre de la distribució. Si a la distribució es considera un punt, i al seu entorn un volum Δv, aquest conté una càrrega (càrrega neta) Δq. Llavors la densitat volúmica de càrrega ρ en el punt és
dv =dq Δv
Δ q ρ =Δ limv 0
sent Δv molt petit a escala macroscòpica però encara molt gran a escala microscòpica. La càrrega total Q de la distribució es calcula integrant dq = ρ dv en tot el volum v de la distribució
Q= dv v
^
Les distribucions en què ρ és constant es denominen uniformes o homogènies, i en elles
Q= dv= dv v v v
^ ^ ^ ,
v
Q
sent v el volum de la distribució de càrrega*.
Exemple 1.3 Càlcul de la càrrega Q d’una esfera de radi a que té una densitat volúmica de càrrega uniforme ρ.
Si ρ és constant, Q dv v v
, i com que a^3
v ^4 , resulta
a^3 3
Q^4
Exemple 1.4 Càlcul de la càrrega Q d’una esfera de radi a que té una densitat volúmica de càrrega ρ Cr , sent C una constant i r la distància al centre de l’esfera
v v v
Q dv Crdv C r dv
- Noteu que “volum” i “v” s’utilitzen per designar dos conceptes diferents. Quan es diu distribució de càrrega en un volum, o es posa v sota del signe integral, el volum es refereix a la regió de l’espai on es troba la distribució. En canvi, el dv de la integral o la v que apareix a l’última fórmula es refereixen al volum com magnitud física (i per tant mesurable) que indica l’extensió d’un volum (regió de l’espai).
8
Per calcular aquesta integral convé descompondre l’esfera en elements de volum per als quals r sigui constant. Aquests elements són capes esfèriques concèntriques de radi r i gruix dr (Figura 1.4). El volum d’una d’aquestes capes és dv 4 πr^2 dr , i per tant la càrrega de l’esfera serà
a 0
4
a
0
a 3 4 0
2 v
C a 4 Q C rdv C r 4 r dr 4 C r dr 4 Cr
En general, un cos carregat es pot tractar com una distribució volúmica de càrrega de densitat ρ. No obstant això, certes distribucions, depenent de les seves dimensions i les distàncies als punts on s'observen els seus efectes, es poden tractar com distribucions superficials, distribucions lineals o elements puntuals. Es poden considerar com a càrregues puntuals aquelles distribucions de càrrega en què les seves dimensions són molt petites en comparació amb la distància des d'on s'observen els seus efectes. En canvi, si el cos carregat té una dimensió molt menor que les altres dues, es pot assimilar a una superfície S amb una distribució superficial de càrrega. Aquesta estarà caracteritzada per la densitat superficial de càrrega σ (càrrega per unitat d'àrea) definida per
dS
=dq
sent dq la càrrega corresponent a un element de superfície d’àrea dS*. La càrrega de la distribució serà llavors
Q= dS S
^
Si el cos carregat té dues dimensions molt més petites que l’altra, pot ser assimilat a una línia L amb una distribució lineal de càrrega, caracteritzada per la densitat lineal de càrrega λ (càrrega per unitat de longitud) definida per
d = dq
sent dq la càrrega corresponent a un element de línia de longitud d. La càrrega de la distribució serà llavors Q= d L
^
- Noteu que amb la lletra S es designarà tant la superfície (regió de l’espai) com la seva àrea (magnitud física).
Figura 1.
10
d r
rˆ 4
E =^1
(^0) L^2
Exemple 1.5 Càlcul del camp elèctric que un anell de radi a i càrrega Q distribuïda uniformement crea en un punt del seu eix Els vectors dels camps elementals que creen en un punt de l’eix els diversos elements de longitud de l’anell formen un con. Per tant, la suma de les components perpendiculars a l’eix serà nul·la i caldrà considerar només les components dels camps en la direcció de l’eix (Figura 1.8)
La component dEz del camp dE
creat per l’element de longitud
d és dEz dEcos
0 2 4 πε 0 r^2
λd 4 πε r dE dq
sent
i 2 πa λ Q_. Per tant_
z (^40) r 2 dE d cos
Per a tots els punts de l’anell l’angle α i la distància r són constants. El camp total serà doncs
2 z 0 2 z 0 L z^ z 4 r aˆ aˆ Qcos 4 r E dEaˆ^2 a cos
i tenint en compte que r a^2 z^2 i a z
z r cos z (^2) 2 , resulta
Figura 1.
Figura 1.
Capítol 1: Camp elèctric 11
aˆ (a +z )
Qz 4
E =^1
2 23 z 0
expressió que és vàlida per a valors de Q i de z positius i negatius.
1.7 DIPOL ELÈCTRIC
Un dipol elèctric és un sistema de dues càrregues de diferent signe i igual valor absolut. Es consideraran càrregues puntuals q 1 <0 i q 2 >0, amb q 1 = -q 2 = -q (q>0), i distants (^) .
a) Acció d’un camp elèctric sobre un dipol
Quan un dipol es troba en un camp elèctric uniformeE
, sobre les càrregues actuen sengles forcesF 1 q 1 E
iF 2 q 2 E
, tals queF 1 F 2
. Aquestes forces donen una força resultant nul·la F F 1 F 2 0
, i un moment resultant (^) ^ no nul si les forces, tot i sent paral·leles, no estan dirigides sobre la mateixa recta. Els moments corresponents a cada força, prenent un punt de referència arbitrari O, seran (Figura 1.9)
1 r 1 F 1 , 2 r 2 F 2 r 2 F 1
i el moment resultant
1 2 (^ r 1 r 2 ) q 1 E q E
que es pot escriure com p E
sent
p q l'anomenat moment del dipol. Aquest és un vector que va de la càrrega negativa a la positiva i només depèn de paràmetres propis del dipol (càrrega i separació de les càrregues).
El moment del parell de forces que actua sobre el dipol és un vector perpendicular al moment del dipol i al camp elèctric. Per l’acció de ^ el dipol tendeix a girar per posar el seu moment p^ en
la direcció i sentit del campE
Noteu que per determinar l'acció que el camp elèctric uniforme exerceix sobre el dipol és suficient conèixer el moment del dipol, i no cal conèixer els valors particulars de les càrregues i de la seva separació. Si el camp elèctric no és uniforme, les forces sobre les dues càrregues del dipol ja no
verifiquen queF 1 F 2
, i llavors actua una força resultant i un moment resultant. En aquest cas,
Figura 1.
Capítol 1: Camp elèctric 13
superfície és S i la travessen N línies, serà N/S = k Λ, per tant Λ S = N / k i (^) N/k. El flux del camp a través de la superfície és doncs proporcional al nombre de línies que travessen la superfície, i si es pren k=1, llavors el valor absolut del flux és igual al nombre de línies que travessen la superfície.
b) Camp uniforme i superfície plana no perpendicular al camp
Si en aquest cas també es considera que el flux a través de la superfície coincideix amb el nombre de línies del camp que la travessen, el flux a través de la superfície d’àrea S (Figura 1.11) coincidirà amb el flux a través de la superfície d’àrea S’ projecció de la superfície anterior en la direcció perpendicular al camp S'Scos A la superfície plana se li pot associar el vector superfícieS
que té direcció perpendicular a la superfície, mòdul l’àrea S de la superfície, i com sentit, el sentit en què es travessa la superfície.
El vector superfície se sol expressar en termes del vector unitari nˆ de manera que S Snˆ
Llavors el flux es pot escriure
·S ·nˆS
i per tant coincideix amb el producte de la component (projecció) del camp en la direcció perpendicular a la superfície per l’àrea.
c) Camp no uniforme i superfície no plana
En aquest cas es pot descompondre la superfície S en elements de superfície d’àrea dS, amb
un vector associatdS nˆdS
, per tal que
pugui considerar-se uniforme sobre ells (Figura 1.12).
El flux de
a través de la superfíciedS
serà d ·dS·nˆdS
El flux a través de la superfície S s’obtindrà sumant (integrant) els fluxos corresponents a tots els elements de superfície, és a dir
·dS ·nˆdS
S^ S^
Si la superfície S és tancada, la integral anterior s’escriu ·dS ·nˆdS S S
i en aquest cas el sentit en què es travessa la superfície, i per tant el del vector superfície, es pren
Figura 1.
14
sempre per conveni cap a l’exterior del volum delimitat per la superfície.
Exemple 1.6 Flux del camp de velocitats en un fluid
En un fluid (líquid o gas) en moviment les velocitats de les partícules del fluid als diferents punts constitueixen un camp vectorial, l’anomenat camp de velocitats. Si la velocitat v^ del fluid és uniforme, el flux a través d’una superfície plana perpendicular a la velocitat i d’àrea S , travessada en el sentit de la velocitat, és
v·dS vdS v ds vS S S S
Aquest flux es pot relacionar amb el volum de fluid que travessa la superfície. En efecte, en un interval de temps Δt les partícules que travessen la superfície S són les contingudes en un cilindre de base S i altura vΔt , el volum del qual és ΔV=SvΔt_. Per tant_ vS=ΔV/Δt i Φ=ΔV/Δt_. El flux del camp de velocitats a través de la superfície és doncs el cabal (volum de fluid que per unitat de temps travessa la superfície)._
1.9 FLUX DEL CAMP ELÈCTRIC: LLEI DE GAUSS
El flux del camp elèctric d’una càrrega puntual q a través d’una superfície esfèrica S de radi R amb centre O en la posició de la càrrega (Figura 1.13), com que rˆ nˆ, és
o
2 o^2 S o^2 S o^2 S
4 R^ q 4 R dS q 4 R nˆ·nˆdS q 4 R E· dS q
Figura 1.
Figura 1.
16
Noteu que encara que el camp és el creat per totes les càrregues del sistema, el flux del camp a través de la superfície tancada depèn només de la càrrega total de l'interior, sense que influeixin en el flux (però sí en el camp) les càrregues de l’exterior. La llei de Gauss és una conseqüència de la llei de Coulomb, i en particular del fet que la força entre dues càrregues depengui del quadrat de la distància. Observeu que la primera expressió del flux que s’ha calculat no resultaria tan simple si la dependència amb la distància fos segons un exponent diferent de menys dos.
1.10 CÀLCUL DEL CAMP ELÈCTRIC A PARTIR DE LA LLEI DE GAUSS
La llei de Gauss permet calcular de forma senzilla el camp elèctric creat per distribucions de càrrega que presenten suficient simetria. Per a això cal procedir de la manera següent: Determineu si la distribució de càrrega presenta suficient simetria. Cal que la densitat sigui només funció de la distància a un punt (simetria esfèrica), o bé a un eix (simetria cilíndrica), o bé a un pla (simetria plana).
Determineu la direcció del camp elèctric a partir de consideracions de simetria. Considereu com a superfície gaussiana una superfície tancada que passi pel punt en el qual es vol determinar el camp, i que en tots els seus punts el camp sigui perpendicular a la superfície i tingui el mateix mòdul, o bé que compleixi aquesta condició en una part de la superfície i en la part restant el camp sigui tangent a la superfície. Calculeu el flux del camp elèctric a través de la superfície gaussiana. Calculeu la càrrega continguda dins del volum delimitat per la superfície gaussiana. Apliqueu la llei de Gauss a la superfície gaussiana i deduïu el valor del camp elèctric. Les superfícies gaussianes per calcular el camp elèctric en el cas de sistemes de càrregues amb simetria esfèrica són superfícies esfèriques, i en el cas de sistemes amb simetria cilíndrica o plana són superfícies de cilindres.
Exemple 1.7 Càlcul del camp elèctric creat per una esfera de radi a carregada uniformement amb densitat volúmica
La distribució de càrrega té simetria esfèrica i es podrà doncs aplicar la llei de Gauss per calcular el camp elèctric que crea. El camp tindrà direcció radial com s’indica a la Figura 1. que mostra la composició dels camps creats per les parelles d’elements de volum simètrics. L’única component del camp, Er, només dependrà de la distància r al centre de l’esfera, i serà
E Er (r)aˆr
, sent aˆr el vector unitari en la direcció radial. La superfície gaussiana, S , per calcular el camp elèctric en un punt situat a la distància r del
centre, serà una superfície esfèrica concèntrica de radi r_. Sobre_ S , E
i dS aˆrdS
són paral·lels i
per tant E· dSErdS
. El flux del camp elèctric a través de S , tenint en compte que Er és constant
a S , serà
Capítol 1: Camp elèctric 17
S
r^2 S
r S
E· dS Er ds E ds E 4 r
Llavors es pot aplicar la llei de Gauss, Φ=Qi/εo , a la superfície gaussiana S considerant per separat el cas en què el punt és exterior a l’esfera, r>a , i el cas en què és interior, r<a_._
Si r > a :^3 (^00) v (^0) v 0
i (^) a 3
Q (^1) dv dv 4 i
o
2 3 r (^3) E 4 r^4 a
o^2
3 r (^3) r E a
2 r o
3 aˆ 3 r E a
^ ,
2 r o
aˆ 4 r
E Q
Si r < a :^3 0 0 v 0 v 0
i (^) r 3
Q (^1) dv dv 4 i i
o
2 3 r (^3) E 4 r^4 r
o
r (^3) E r
, r o
aˆ 3 E r
^ ,
3 r o
aˆ 4 a E Qr
Les expressions del camp elèctric s’han escrit també en termes de la càrrega total de l’esfera Q=4πa^3 ρ/3 per posar de manifest que el camp és igual al que crearia una càrrega puntual al centre de l’esfera de valor igual al de la càrrega continguda dins del volum delimitat per la superfície gaussiana. A la Figura 1.17 es mostra la representació gràfica del mòdul del camp en funció de la distància al centre de l’esfera. Remarqueu que el camp és màxim a la superfície de l’esfera.
Figura 1.
Figura 1.
Capítol 1: Camp elèctric 19
z o
aˆ z
z 2
E
A la Figura 1.19 es mostra la dependència de la component del camp en la direcció z perpendicular a la superfície quan σ>0_. Observeu la discontinuïtat del camp quan es travessa la superfície._
1.11 CIRCULACIÓ D’UN CAMP VECTORIAL
La circulació Γ d’un camp vectorial uniforme
al llarg d’una línia recta de longitud ℓ en la direcció del camp, té com valor absolut el producte del mòdul del camp Λ per la longitud ℓ, i és positiva o negativa segons que la recta es recorri en el sentit del vector camp, o en sentit contrari. Per tant Γ= (^) Λℓ. Si la direcció del camp forma un angle α amb la recta, llavors la circulació és el producte de la longitud de la recta ℓ per la component del camp en la direcció de la recta Λcosα, és a dir Γ=Λℓcosα. Si en la direcció de la recta i el sentit de recorregut es considera un vector unitari ˆ,
llavors
cos · , sent ˆ
En el cas general d’un camp no uniforme
i una línia no recta L (Figura 1.20), es pot descompondre la línia en petits elements (segments) de longitud dℓ, associar a cadascun el vector
tangent
d ˆd , i considerar la circulació elemental
d ·d ·ˆd que coincideix doncs amb el producte de la component (projecció) del camp en la direcció de l’element de línia per la longitud de l’element. Llavors la circulació del camp al llarg de la línia (anomenada també camí) L serà
L L
·d ·ˆ d
Figura 1.
Figura 1.
20
Quan la circulació s’estableix al llarg d’una línia tancada L, s’escriu
·d ·ˆd
L^ L^
Observeu que el signe de la circulació depèn del sentit en què es recorre la línia.
Exemple 1.9 Circulació d’un camp de forces
Si el camp vectorial és un camp de forces F
, la circulació de F
al llarg d’una línia L és
L
Γ F· d
, i coincideix amb el treball realitzat per la força actuant al llarg de la línia.
1.12 CIRCULACIÓ DEL CAMP ELÈCTRIC
El treball que realitza la forçaF
que un camp elèctricE
fa sobre una càrrega puntual q quan aquesta es mou entre dos punts seguint una línia (o un camí) L és
L
W F· d
i com queF qE
resulta W q E·d qΓ L
És a dir la circulació del camp elèctric al llarg de L coincideix amb el treball que realitza la força que el camp fa sobre una càrrega unitat quan aquesta es mou al llarg de L. Això confereix a la circulació del camp elèctric un clar significat físic. A continuació s’estudien les seves propietats. La circulació del camp elèctric creat per una càrrega puntual q en el punt O, al llarg d’una línia L amb inici al punt A i final al punt B (Figura 1.21), serà
r
aˆ·d 4
E·d q L
r 2
L^ 0
i com queaˆ^ r ·ddr
, resulta
0 A B
r 0 r
r
r
2 0 r
r
q r
q r
dr 4
q B A
B A
La circulació del camp elèctric només depèn doncs de la posició dels punts inicial i final, i no de la línia L. Per tant, serà igual per a qualsevol línia que uneixi els dos punts.
Figura 1.
