MATEMÁTICAS EMPRESARIALES
(ALGEBRA LINEAL)
Curso 2012-2013
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS
Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad II
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Tema 1 - Estructura el espacio vectorial, Apuntes de Matemática Empresarial
Asignatura: matematicas empresariales, Profesor: Antonio Ibarra, Carrera: ADE + Turismo, Universidad: URJC
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 29
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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES
(ALGEBRA LINEAL)
Curso 2012-
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS
Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad II
TEMA 1.
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
1.Definición: Espacio Vectorial. Sean los conjuntos:- K, con estructura de cuerpo, a sus elementos los llamaremos escalares y denotaremos con las letras: a, b, α, β,…
Se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, escrito {V, K}, si-^ V, cuyos elementos llamaremos vectores y denotaremos como:^ u ,^ v , w ... en él se definen las dos operaciones siguientes y se cumplen una serie de propiedades: Ley de composición u operación interna Interna significa que asigna a cada par de vectores de V otro vector de V. La operación se denota (+) y se denomina “suma de vectores”. V × V → V ( u , v )→ u + v El Conjunto V con la operación interna suma, {V, +}, debe verificar las siguientespropiedades: a- Propiedad asociativa: ( u + v )+ w = u +( v + w ) b- Propiedad conmutativa: u + v = v + u c- Elemento neutro: ∃ 0 ∈ V /∀ u ∈ V : 0 + u = u d- Elemento opuesto: ∀ u ∈ V / ∃− u ∈ V / u +(− u )= 0 Nota: las propiedades a, c y d caracterizan la estructura de Grupo, si además se verificala propiedad “b”, se dice que es Grupo Abeliano.
Operación externa Externa significa que asigna a cada elemento de V y otro de K (conjunto con estructura de cuerpo), un vector de V.La operación se denota por “ • ”y la denominaremos “producto (de vector) por escalar” V × K → V
( u ,λ )→λ• u = λ u
Además, los conjuntos V y K con las operaciones de “suma de vectores” y “productopor escalar” deben verificar las siguientes propiedades:
a- Distributiva respecto de la suma de vectores: λ ( u + w )=λ u + λ w
b- Distributiva respecto a la suma de escalares: (λ + μ) u =λ u + μ u
c- Pseudo asociativa o asociativa mixta: ( λμ ) u =λ( μ u )
d- El elemento neutro del cuerpo K es también el elemento neutro de la operación externa: 1 u = u
5. Definición: Dependencia e independencia lineal de vectores Sea S = { v 1 , v 2 ,..., vp }∈ V - S es un conjunto de vectores linealmente independientes si
λ 1 v 1 + ... +λ p vp = 0 ⇒λ 1 =...= λ p = 0
- S es un conjunto de vectores linealmente dependiente o conjunto ligado ⇔
∃∗λ i ≠ 0 /λ 1 v 1 +...+ λ pv p = 0
Observaciones :
- Relación D.L y C.L: { v (^) (^) 1 ,..., vp } son L.I ⇔ Ningún vi es C.L del resto. { v (^) (^) 1 ,..., vp } son L.D ⇔ Algún vi es C.L del resto.
- Cualquier conjunto de vectores que contenga alcualquier conjunto de vectores. 0 será L.D. ya que 0 es C.L. de
- Cualquierproporcionales será L.D. conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales o
Interpretación geométrica.
- EnTres o más vectores en ℜ^2 para que un par de vectores sea L.I. basta que no sean proporcionales. ℜ (^2) serán necesariamente linealmente dependientes.
- (^) En ℜ (^3) para que una terna de vectores sea L.I, basta con que no sean coplanarios. Cuatro o más vectores en ℜ^3 serán necesariamente linealmente dependientes. 6. Teorema de unicidad de coordenadas Si { v (^) 1 ,..., vp }es un conjunto de vectores L.I. y el vector x es combinación lineal de los vectores { v (^) 1 ,..., vp }entonces sus coordenadas λ 1 ,..., λ p ∈ ℜson únicas. Demostración:
Supongamos que ∃ λ i ∈ℜ, i = 1 , 2 ,... p tal que x = λ 1 v 1 +...+ λ p vp y que
∃ β i ∈ℜ, i = 1 , 2 ,... p tal que x = β 1 v 1 +...+ β p vp.
Restando las dos igualdades tenemos:
Es decir, una combinación lineal de vectores igualada al vector nulo. Cómo los vectores^0 =^ (λ^1 −β^1 ) v^1 +...+(λ p^ −β p ) vp =γ^1 v^1 +...+^ γ pv^ p ,
{ v (^) 1 ,..., vp }son L.I., todos los coeficientes de la combinación lineal deben ser iguales a
cero por definición y en consecuencia: λ k − β k = 0 ⇒λ k = β k con k = 1 ,...., p de
manera que λ 1 , λ 2 ,..., λ p son únicas.
7. Definición: Sistema Generador (S.G.) { v (^) 1 , v 2 ,..., vn }es un sistema generador de un espacio vectorial V ⇔ ∀ u ∈ V :
∃λ 1 ,..... λ n ∈ K tal que u = λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +...+ λ n vn.
Ejercicio Demuestre que el conjunto de vectores {( − 1 , 2 ),( 1 , 1 ),( 3 , 5 )}es un S.G. en {ℜ 2 ,ℜ}. Halle las coordenadas de ( 0 , 1 ).
8. Definición : Base de un espacio vectorial
B = { v 1 (^) ,..., vn } ⊂ V es una BASE del espacio vectorial V ⇔ ((^12 )) sonsonSL. G. I
Puesto que una base es un sistema generador, todo vector del espacio queda precisado Observaciones : mediante sus coordenadas en relación a la base, al ser tal especificación única puestoque los vectores de la base son linealmente independientes. La elección de una base equivale entonces a escoger un sistema de referencia conrespecto al cual situar los elementos de dicho espacio. En definitiva: Base = Sistema de referencia del espacio vectorial. Demuestre que el conjunto de vectores Ejercicio {( − 1 , 2 ),( 1 , 1 )}es una base de ℜ 2. Halle las coordenadas de ( 0 , 1 ) y ( 3 , 5 ).
9. Teoremas relativos a las bases Teorema 1. Todo sistema generador contiene una base: Observación eliminar los vectores que sean combinación lineal de otros, de modo que sólo queden: De todo sistema generador se va a poder extraer una base: bastará los linealmente independientes. Teorema 2. “n” vectores, entonces cualquier conjunto de “n” vectores linealmente independientes Supongamos un espacio vectorial en el que existe una base formada por que podamos encontrar constituirá una base. Teorema 3 “n” vectores, entonces el máximo número de vectores linealmente independientes que. Supongamos un espacio vectorial en el que existe una base formada por pueden encontrarse en ese espacio es “n”. Observación “n” vectores, entonces todas las bases tienen “n” vectores.: Supongamos un espacio vectorial en el que existe una base formada por
- Si E es una base de ℜ n , entonces Dim (ℜ n^ )= n.
- x^ r =( x 1 ,..., xn )=( x 1 ,..., xn ) E Represente gráficamente el vector Ejercicio (^) ( 0 , 1 )en la base {( − 1 , 2 ),( 1 , 1 )}y en la base canónica.
12. Matrices y espacios vectoriales Rango de una matriz (determinante de submatrices cuadradas).: es el mayor orden de los menores no nulos de la matriz
Teorema: (vectores (^) filaEl rango de una matriz coincide con el máximo numero de líneas o vectores columna) linealmente independientes (que no son combinación lineal de otros) que hay en la matriz.
Ejemplo:
Calcular el rango de
A
Nota: Rg ( A )= Rg ( At ) 1 ≠ 0 ⇒ Rg ( A )≥ 1
c 1 c 2 c 2 es combinación lineal de c 1 : se elimina c 2 y se sustituye por c 3 (puede comprobarse que c 2 = 2 c 1 ).
(^5) ≠ 0 ⇒ Rg ( A )≥ 2 c 1 y c 3 son linealmente independientes
c 1 c 3
c 1 c 3 c 4 c 4 es combinación lineal de c 1 y c 3 (puede comprobarse que c 4 = c 1 + c 3 ). De manera que: Rg ( A )= Rg ( c 1 , c 3 ) = Rg ^1257 = 2
Aplicaciones vectoriales del cálculo del rango
- Conocer el máximo número de vectores linealmente independientes de entre unconjunto de ellos.
- Saber si un vector es, o no, combinación lineal de un conjunto de vectoresdados.
Demuestre mediante matrices que el conjunto de vectores Ejercicio {( (^) − 1 , 2 ),( 1 , 1 ),( 3 , 5 )}es L.D. y que el conjunto {( − 1 , 2 ),( 1 , 1 )}es una Base.
13. Expresiones matriciales Asumiendo conformidad de órdenes, simplificar las expresiones: Ejemplo ( 1 ) 21 ( 1 ) (^2) )( ) ( )
b A B A B
a AB AB
- − −
− − −
y despejar la matriz X en las siguientes igualdades:
ef AXXt (^) ABXB t B
d X A B
c A X B
b AB X A
a AX B BX A
−
−
−
1
1
1
S = L { ( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 ) }={( a , a , a )∈ℜ^3 / a ∈ℜ} Todos Observación los conceptos ya vistos en relación con los espacios vectoriales: bases, coordenadas, etc., son inmediatamente extensibles a los subespacios vectoriales ya queun subespacio vectorial no deja de ser un espacio vectorial. En particular, una base de un subespacio vectorial S ⊂ V ,formado exclusivamente por vectores linealmente independientes. S será cualquier sistema generador de Las ecuaciones que expresan cada componente del vector del Subespacio a partir de suscoordenadas (escalares) en relación a la base escogida, se denominan Ecuaciones Paramétricas número de estas ecuaciones, esto es, el nº de vectores de la base. del Subespacio, siendo obviamente la dimensión del subespacio el
Ejemplo {( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 ) }es sistema generador de^ S^ pero no es base.^ Dim^ (^ S )=^1.
Relación entre Subespacio Vectorial y sistema homogéneo de ecuaciones. El conjunto de soluciones S = { x =( x 1 ,..., xn )= Xt ∈ℜ n } de un sistema homogéneo: AX = 0 , A ∈ Mm × n , X ∈ Mn × 1 , 0 ∈ Mm × 1 es un subespacio vectorial de ℜ n. Al conjunto de ecuaciones que forman el Sistema homogéneo Ecuaciones Cartesianas del S.V. AX = 0 se le denomina
Demostración: Si ellas: X 1^ y^ X^^2 son dos soluciones del sistema homogéneo^ AX^ =^0 , cualquier C.L. de λ X 1 + μ X 2 , es también solución del Sistema:( ) ( ) ( ) 0 0 0
En consecuencia, el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo verifica la CN y S A^ λ^ X^1 +μ X^2 =λ AX^1 +μ AX^2 =λ⋅ +^ μ⋅ =. de Subespacio Vectorial. Determinación de Dim ( S ), S = { x ∈ℜ n / AX = 0 } Rg ( A ) =número de ecuaciones no redundantes en el sistema homogéneo AX = 0 , o equivalentemente,definitiva, el número de variables no libres, esto es, que no se pasan junto al término número de columnas en A que son linealmente independientes. En independiente al resolver el sistema. Por otro lado, puesto que Dim ( S )= número de componentes libres de un vector cualquiera deecuación se tiene que: S , y puesto que cada componente no libre o restringida requiere una Dim ( S )= n − Rg ( A )
Ejemplo S = L {( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 ) }= L {( 1 , 1 , 1 )}={ x ∈ℜ^3 / x =λ ( 1 , 1 , 1 )=(λ,λ,λ), λ∈ℜ}, donde 1 1
^ =
DimS = Rg Rg
Por otro lado, puesto que S = { ( a , a , a )∈ℜ^3 / a ∈ℜ}, el número de componentes libres es de una, en consecuencia Dim ( S )= 1. Escribiendo S como: S = { x =( x 1 , x 2 , x 3 )∈ℜ^3 / x 1 = x 2 = x 3 } ⇒ xx^12 = = xx^23 ⇒ xx^12 −− xx^23 = = (^00) se tiene que: Dim ( S )= n − rg ( A )= 3 − rg ^10 − +^110 − 1 = 3 − rg ^10 +− 11 = 3 − 2 = 1 Dejando como componente libre, por ejemplo a x 2 , el subespacio estará formado por todos los vectores delibres) sea igual ℜ^3 tales que su primera y tercera componentes (variables noa la segunda (variable libre), esto es,
S = { x =( x 1 = x 2 , x 2 , x 3 = x 2 )} ⊂ℜ^3 , o equivalentemente xx 21^ −− x x^23 = = (^00) .
Ejercicio En ℜ 4 se consideran los subespacios S 1 (^) = L {( 1 , 0 , 1 , 2 ),( 0 , 1 ,− 1 , 1 )}y
x y z t
y z t
x y z t S x r^. Obtenga las ecuaciones cartesianas de S 1 y las
ecuaciones paramétricas de S (^) 2.
=
mn
n
n
m m DECOORDENADAy fx S
m a
a
a
a a
a a
a a
y
y
y ... ... ... ...^2
1
1 2
21 22
11 12
()ENR
2
1
r^123 r m^ {
m m mn n
n n
COORDENADADExENR S n y a x a^ x
y a x a x x
x
x
n
K
L
K
r
1 1
21 1 111 1 ...
Observaciones
- A ∈ Mm × n es la matriz asociada a f respecto de las bases consideradas (bases
- canónicas)Las columnas de A son las imágenes de los vectores de la base canónica del espacio inicial: f ( e 1 ),..., f ( en ). En consecuencia, puesto que la imagen de
- cualquier vector es única,Podemos reducir el análisis de las propiedades de^ A^ es única. f al estudio de su matriz
- asociadaLas aplicaciones lineales son la forma más sencilla de expresar la relación entre^ A. una variable (o un vector de variables independientes: m variables) dependiente y un conjunto de n En particular, el modelo o función y = f ( x 1 , x 2 ,K , xn )= a 1 x 1 + a 2 x 2 +K+ anxn puede ser expresado como Y 1 (^) x 1 = A 1 xnXnx 1 , con Y 1 (^) x 1 =[ y ], A 1 (^) xn = [ a 1 K an ]y
n
nx x
x X (^) 1 M^1. Es decir, como la aplicación lineal (forma lineal) f : ℜ n →ℜde matriz asociada A 1 xn.
Ejemplo Dada la aplicación lineal f : ℜ^3 →ℜ^2 , tal que f ( x 1 , x 2 , x 3 )= ( x 1 (^) − x 2 , x 1 + x 3 ), su expresión matricial es de la forma:
A { X {^ Y
y
y x
x
x y x x
y x x
y y y f x x x x x x x
^ =^
== −^ +^ ⇒ ^ − ^ ⋅
×^2
1 3
2
1 2 1 3
1 1 2
1 , 2 1 2 3 1 2 1 3
23
Puede comprobarse que f ( e r 1 )= ( 1 , 1 ), f ( e r 2 )=(− 1 , 0 ), f ( e r 3 )=( 0 , 1 ).
Ejemplo La aplicación lineal tal que: f ( e 1 )= e 2 + e 3 , f ( e 2 )= 2 e 2 , f ( e 3 )= e 1 + e 3 es expresada en
forma matricial como f : ℜ^3 →ℜ^3 , con matriz asociada
A. Las
ecuaciones de dicha aplicación lineal son:
^ ⇒
^ ⋅
^ =
3 1 3
2 1 2
1 3 3
2
1 3
2
y x x
y x x
y x x
x
x y
y
y Y AX
2. Definición: Matriz Diagonal Una matriz cuadrada se dice que es una matriz diagonal si todos los términos fuera de ladiagonal principal son cero. (Algunos de los elementos de la diagonal principal podrían eventualmente ser cero, también) 3.Definición: Matrices Semejantes Dos matrices cuadradas A y B son semejantes si representan a la misma aplicación lineal (o equivalentemente si existe una matriz regular P que verifica: (^) B = P −^1 AP ). Relación entre dos matrices semejantes: A y B La aplicación lineal (endomorfismo) f : ℜ n →ℜ n es tal que Ynx (^) 1 = AnXnx 1. Después de realizar el cambio de variable biunívoco ( P regular) en ℜ n : YX^ == PPY X^ ′ ′, f queda expresada en términos de las nuevas variables como Y = AX ⇒ PY ′= APX ′⇒ Y ′=( P −^1 AP ) X ′⇒ Y ′= B X ′, con B = P −^1 AP. El problema de la diagonalización de una matrizmatriz semejante B =Λ que sea diagonal, y se facilite el A consiste en determinar, si existe, una análisis de f. Ello implica dar con una matrizintroducir los conceptos de autovector y autovalor. P (si es que existe), de manera que Y ′^ =Λ X ′, y ello requiere 4. Propiedades de las matrices semejantes
- Si A y B son matrices semejantes ( ∃ P / B = P −^1 AP ), entonces tienen el mismo polinomio característico ( traza y determinante ), y rango., por tanto coinciden sus raíces o autovalores , coeficientes
a i n a
a
a a
a a A (^) i ii nn
n
n ... ,^1 ,^2 ,..., 0 0 ...
2
1 22
11 12 ⇒ = =
= λ
7. Si λ i es autovalor de A , λ^2 es autovalor de A^2. Además todos los
- autovectores deLos autovalores de^ A^ también lo serán de A y de At son los mismos.^^ A^2.
Ejemplo
Sea
^ −
A ,
los autovalores resultan de la ecuación:
= − [ − − + ]= ⇒ = =
2
1 doble simple
P A I
El conjunto de autovectores asociados a λ = 2 es S ( λ = 2 )={ x ∈ℜ^3 / x =( X 1 , 0 , 0 )}, ya que: S ( λ= 2 )= { x ∈ℜ^3 /( A − 2 I ) X = 0 } {
^ =
^ −
3 2
2 2 3
2 3
2
3
2 3 1
x x
x x x
x x
x
x
x
x x
donde Dim S ( λ 1 = 2 )= n − rg ( A − 2 I )= 3 − 2 = 1 ⇒ 1 variablelibre: x 1 , y siendo, por ejemplo, una base: B λ (^) = 2 ={( 1 , 0 , 0 )}.
El conjunto de autovectores asociados a λ = 3 es S ( λ= 3 )={ x ∈ℜ^3 / x =( x 2 , x 2 ,− 2 x 2 )} ya que: S ( λ 2 = 3 )= { x ∈ℜ^3 /( A − 3 I ) X = 0 } =
{ { (^)
^ =
^ −
2 3
2 3 3 1 2 3
2 3 1 x x
x x
x x x x
x
x x
= { x ∈ℜ^3 / (^) xx^13 == − x^22 x 2
con Dim S ( λ = 3 )= n − rg ( A − 3 I )= 3 − 2 = 1 ⇒ 1 variablelibre: x 2 , y siendo, por ejemplo, una base: B λ (^) = 3 ={( 1 , 1 ,− 2 )}.
8. Teorema: Existencia de matriz diagonal semejante A P es diagonalizabletendrá por columnas la base de autovectores y la matriz diagonal ⇔ existe una base formada por autovectores. En tal caso, la matriz B =Λ estará formada por los autovalores asociados (en el mismo orden que sus autovectoresasociados en P ).
En la práctica: 1.2. Cálculo de los autovalores deCálculo de las dimensiones de cada subespacio vectorial de autovectores: A. si (^) ∑∀ iDim ( S ( λ i (^) ))= n ⇒∃Base de autovectores ⇒ Existe Λ si (^) ∑∀ iDim ( S ( λ i ))< n ⇒No existe Λ
- Si A es diagonalizable, su matriz diagonal semejante es:
λ n
λ
λ ...
2
1
Ejemplo
La matriz
^ −
A , no es diagonalizable.
Ejemplo
Sea
A
expresión que permite obtener la potenciase tendría que: k − ésima de la matriz A. Así, por ejemplo, 1 100
100
100 100 1
^ ⋅
^ ⋅
^ =
9. Definición: Matriz Simétrica A ∈ M n es simétrica ⇔ A = At ,o equivalentemente si a (^) ij = aji i , j = 1 , 2 ,..., n. Ejemplo
A
10.Teorema: Diagonalización de matrices simétricas Toda matriz simétrica es diagonalizable.
11. Aplicación: Procesos Secuenciales Lineales Dado un cierto sistema o proceso, cuyo estado o fase inicial puede ser expresado
mediante el vector
0
10 0 ... x n
x x^ r^ , buscamos conocer su estado
nh
h h x
x x ... r 1 en la fase o
momento h, conocido x^ r 0 y la matriz de transición A ∈ Mn , la cual permite pasar de un estado al inmediatamente siguiente de forma lineal: X (^) h = AXh − 1 = A ( AXh − 2 )= A^2 Xh − 2 =...= AhX 0.
Si A es diagonalizable, ∃ P ∈ Mn y Λ ∈ Mn tal que Λ = P −^1 AP ⇒ Λ k^ = P −^1 AkP y por tanto: (^) − 1 A k = P Λ kP En tal caso, resulta que X (^) h = AhX 0 = P Λ hP^ −^1 X 0 , donde Λ h^ = diag ( λ 1 h ,..., λ n^ h ) y P = ( c 1 ,..., cn )la matriz cuyas columnas son una base de autovectores.
Ejercicio Una agencia de transportes tiene su flota de camiones repartidos en dos ciudadesDe los camiones que hay en A , al principio de cada mes, los 2/3 vuelven a A al final del A y B. mismo mes y el resto aa) Si la flota permanece constante e inicialmente hay la mitad en cada ciudad, B. De los que hay en B las ¾ partes vuelven a B y el resto a A.
b) hállense los porcentajes que hay en cada ciudad después de un año.Hállese el porcentaje de camiones en cada ciudad al cabo de infinitos meses.
- Solución – Llamando x (^) A , t y xB (^) , t al porcentaje de camiones al final del mes t ( principios del mes t+1) en la ciudad A y en la ciudad B, respectivamente, se tendrá :
0
,, ,, 11 1 2 2 2 , , 1 , 1
A X
xx xx X A X A A X A X x x x
x x x
t
BAtt BAtt t t t t Bt At Bt
At At Bt
= ⋅
−− − −^ − − −
− −
K
K
siendo X (^) 0 = (^) 1122 .
a) En t=12, se tiene que = ⋅ ⇒ = 12 33 3144 ⋅ 1122
12 , 12 12 12 0 ,^12 B
A x X A X x , pero si A fuese diagonalizable, entonces 12 12 − 1 At = P Λ tP −^1. En particular, en nuestro caso: A = P Λ P , resultando que X (^) 12 = A^12 ⋅ X 0 = P Λ^12 P −^1 X 0. Puede comprobarse que A es diagonalizable ya que los dos autovalores, 1 y 5/12,son distintos:
P ( λ )= A −λ I 2 = 0 ⇒(^213 ) 3 −λ ( 314 )^4 −λ= 12 λ^2 − 17 λ+ 5 =(λ− 1 )( λ− 125 )= 0
El conjunto de autovectores asociados a λ = 1 es
S ( λ = 1 )= { x ∈ℜ^2 / x =( x 1 ,( 43 ) x 1 )}, ya que: S ( λ= 1 )= { x ∈ℜ^2 /( A − I ) X = 0 } {
⇒^ =
⇒^ − +− =
1 2 2 1
2
2 1
3
/^1314
x x x x
x x x
Donde Dim S ( λ 1 = 1 )= n − rg ( A − I )= 2 − 1 = 1 ⇒ 1 variablelibre: x 1 , siendo, por ejemplo, una base: B λ (^) = 1 ={( 3 , 4 )}.