¡Descarga Tema 1. INTERACCIÓ GRAVITATÒRIA y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 1 / 23
TEMA 1. INTERACCIÓ GRAVITATÒRIA
- Evolució del moviment dels astres a través de la història.
Teories geocèntriques (Aristòtil, Ptolomeo, Brahe)
Teories heliocèntriques (Copèrnic, Jordano Bruno, Galileu)
Lleis de Kepler.
- Llei de gravitació universal.
Força gravitatòria d’un conjunt de masses.
- Camp gravitatori.
Concepte de camp. Camps escalars i camps vectorials.
Intensitat del camp gravitatori. Representació amb línies de força.
Conseqüències del camp gravitatori.
Lleis de Kepler.
Constant de gravitació universal.
Formació de les marees.
Camp gravitatori creat per conjunt de masses puntuals.
Camp gravitatori creat per cossos esfèrics.
- Estudi energètic del camp gravitatori.
Treball i forces conservatives.
Energia potencial gravitatòria.
Potencial gravitatori.
- Moviment dels cossos en el camp gravitatori.
Moviment satèl·lits.
El problema dels tres cossos, concepte de caos.
1. EVOLUCIÓ DEL MOVIMENT DELS ASTRES A TRAVÈS DE LA HISTÒRIA
L'observació dels astres ha estat sempre una de les coses que més ha despertat la curiositat des de l'antiguitat.
Un dels primers en fer una descripció del moviment dels
astres va estar el grec Aristarco de Samos (310-230 a.c.), qui
va calcular la distància que separen la terra, la lluna i el sol,
encara que el resultat fou erroni (anys més tard,
Eratóstenes va obtindre un resultat més correcte). A
més, Aristarco va ser el primer en proposar una teoria
heliocèntrica on el sol i les demés estrelles estan fixes
mentre que els planetes giraven en òrbites circulars al voltant del
sol. Aquesta idea no va estar molt acceptada.
Claudio Ptolomeo (100-170 d.c.) va proposar en el seu llibre
Almagesto un sistema geocèntric, on la terra es situava en el centre
de l'univers i sol, planetes i estrelles giraven al voltant d'aquesta.
Amb aquest model, va explicar el moviment aparentment errant (planeta
significa errant) dels planetes vistos des de la terra, suposant que cada planeta al
voltant de la seua òrbita es movia traçant una circumferència o epicicle. Aquest sistema va estar acceptat i va
perdurar fins a 1400 anys.
El model de Ptolomeo podia prediu-re la posició dels planetes, però plantejava solucions particulars pel
moviment característic de cada planeta i era complicat. Nicolàs Copèrnic (1473-1543) va proposar un
T
S
planeta
epicicle
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 2 / 23
sistema heliocèntric: va imaginar un nou model situant el sol en el centre i amb la terra i els planetes girant al
voltant d’ell. Aquesta explicació no millorava massa les prediccions del model geocèntric, però era molt més
simple. El seu model no va estar acceptat perquè suprimia a el paper central de l’esser humà en la creació de
l’univers plantejat en la bíblia.
L’astrònom danès Tyco Brahe (1546-1501) va construir el principal observatori d’astronomia en Uraniborg,
a l’illa de Veuen que pertany a Suècia. Per a ell, sol i lluna giren al voltant de la terra, i Venus, Mart, Júpiter i
Saturn giren al voltant del sol. La justificació del model geocèntric era pel fet de què no s'observava el
moviment aparent de les estrelles quan la terra es situaria en un costat i l’altre del sol (aquest efecte
s’anomena paral·laxi). Encara no ho sabien, però aquest fenomen si existeix, el que passa és que no van ser
capaços de detectar-lo degut a que les estrelles estan massa lluny i no tenien la instrumentació adequada en
aquell temps. La mesura definitiva d’aquest fenomen la va fer F. Bessel en 1838.
Galileu Galilei (1564 - 1642) en 1609 li va arribar un instrument òptic (el primer telescopi) construït per
l’holandès Hans Lippershey. Galileu el va millorar amb millors lents. Amb aquest, va fer algunes
observacions com per exemple les imperfeccions de la lluna, les taques solars, els anells de Saturn, les fases
de Venus i les principals llunes de Júpiter (Ío, Gamínedes, Calisto i Europa) girant al voltat d’aquest planeta.
D’aquestes observacions va concloure que la terra no podia ser el centre de l’univers, tornant així al model
heliocèntric. Va publicar en 1632 un llibre en forma de diàleg, anomenat Diàleg sobre els dos grans sistemes
del mon. La publicació d’aquest llibre li va suposar la condemna per part de la inquisició. Galileu va tindre
que abjurar de les seues idees, encara que tot i això va estar condemnat a estar reclòs en el seu domicili fins a
la seua mort. 352 anys després, en 1992 el papa Joan Pau II el va rehabilitar
1
Per la seua part, Giordano Bruno (1548-1600) va recolzar el model copernicà suposant que el sol no era més
que una estrella de tantes i va postular que en l’univers hi hauria un infinit nombre de mons habitats. El van
jutjar però ell va rebutjar retractar-se. El van declarar heretge i el van condemnar a morir cremat en la
foguera.
➢ LLEIS DE KEPLER
Johannes Kepler (1571-1630) va ser un matemàtic i astrònom alemany famós per
establir les tres lleis anomenades Lleis de Kepler. Fidel al model Copernicà, segons el
qual el sol era el centre del sistema solar, en 1600 Kepler va començar a treballar amb
l’astrònom Thyco Bahe. Aquest disposava del millor centre d’observació astronòmica
que existia fins al moment, a l’illa sueca de Vien, construït gràcies al rei Frederik II de
Dinamarca. Al contrari que Kepler, Brahe defensava el model geocèntric de
Ptolomeu, que suposava la terra com el centre de l’univers, amb el sol i la lluna girant
al voltant de la terra i els demés planetes girant al voltant del sol. Quan Brahe va morir
(per causes no massa clares), Kepler va tindre accés a una gran quantitat de dades
astronòmiques molt precises, producte de les observacions registrades per Brahe.
Llavors, analitzant tota la informació es va adonar que la millor manera d’explicar el
moviment retrògrad dels planetes era suposant que aquests descrivien trajectòries
el·líptiques. A partir d’ací, va deduir les seues anomenades Lleis de Kepler, que
descriuen la cinemàtica del moviment dels planetes al voltant del sol i que van servir com a punt de partida
per a Newton quan va elaborar la llei de gravitació universal.
Les lleis de Kepler són tres lleis que descriuen el moviment dels planetes, i s’enuncien així:
- 1ª llei de Kepler: "Tots els planetes es mouen al voltant del sol descrivint òrbites el·líptiques, situant-
se el sol en un dels seus focus"
1 https://elpais.com/diario/1992/10/31/sociedad/720486009_850215.html
Johannes Kepler, en 1610
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 4 / 23
- 2ª llei de Kepler: "La línia que uneix els planetes amb el sol escombra àrees iguals en temps iguals"
Aquesta llei, coneguda com a llei de les àrees, és conseqüència de la
conservació del moment angular, com veurem més endavant. Per
explicar-ho, fixen-mos en la figura de la dreta. El sol està en
un dels focus de l’el·lipse, mentre que el planeta està
dibuixat en dos situacions diferents (a prop del afeli a la
l’esquerra i a prop del periheli a la dreta). Si l’interval de
temps transcorregut entre les posicions del planeta és el
mateix en les dos situacions, la segona llei diu que les àrees
S
1
i S 2
són iguals. Notem que això implica que el planeta es
mou més ràpidament a prop del sol (en el periheli) que quan està
lluny (en l’afeli).
- 3ª llei de Kepler: "Per qualsevol planeta, el quadrat del seu període orbital és directament
proporcional al cub de la distància mitjana que el separa del sol"
T
2
= k R
3
En l’expressió anterior, T és el període de revolució, que és el temps que tarda el planeta en donar una volta
sencera al sol. El radi R és la distància mitjana al sol, i k és la constant de proporcionalitat. Notem que quan
més gran és la distància mitjana al sol d’un planeta, més temps tardarà en completar la seua òrbita.
➢ PRINCIPI DE CONSERVACIÓ DEL MOMENT ANGULAR
La segona llei de Kepler implica la constància del moment angular dels planetes. Per demostrar-ho, primer
recordem la deducció del teorema de la conservació del moment angular.
En les rotacions, el moment d'una força es definia com el vector que resulta del producte del vector posició
del punt d'aplicació d'una força, multiplicat vectorialment per la força:
⃗
M =⃗ r ∧
⃗
F
Moment d’una força (N·m)
Per altra banda, definíem el moment angular com:
⃗ L =⃗ r ∧⃗ p Moment angular (kg·m
2
/s)
Vam demostrar que al derivar el moment angular respecte al temps,
d
⃗ L
dt
=
d
dt
(⃗ r ∧ ⃗ p )=
d ⃗ r
dt
∧⃗ p + ⃗ r ∧
d ⃗ p
dt
, al
ser el primer sumand nul pel fet de que
d ⃗ r
dt
és paral·lel a ⃗ p , obteníem que
d
⃗
L
dt
= ⃗ r ∧
⃗
F =
⃗
M.
A partir d'ací, es va enunciar el principi de conservació del moment angular:
Si
⃗
M = 0 →
d
⃗
L
dt
= 0 →
⃗
L = ctant.
En el cas del moviment dels planetes al voltant del sol, la força responsable d'aquest moviment és l'atracció
gravitatòria que fa el sol sobre els planetes, i la seua direcció és la mateixa que la del vector posició ⃗ r ,
dirigida sempre cap al sol. Per tant, al fer el mòdul del moment de la força M = r F sin θ , com que l'angle
entre ⃗ r i
⃗ F és θ= 180º, si considerem que e ⃗ r i
⃗ F tenen la mateixa direcció i sentits contraris ,
tindrem que el moment serà M =r F sin 180= 0. Aquesta és una característica de les anomenades Forces
centrals.
F
S
1
S
2
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 5 / 23
Així doncs, com que per als planetes
⃗ M = 0 , segons el principi de conservació, el seu moment angular es
conserva, o siga,
⃗
L = ctant.
➢ SEGONA LLEI DE KEPLER I CONSERVACIÓ DEL MOMENT ANGULAR
Anem a raonar ara que això implica que els planetes escombren àrees iguals en temps iguals, que és la
segona llei de Kepler.
En primer lloc, sabem que el seu mòdul és:
L = r m v sin θ
on s'ha substituït el moment lineal p=c/a mv, i θ és l'angle que formen el vector ⃗ r i el vector ⃗ p , que té la
mateixa direcció de la velocitat.
Per altra banda, Si ens fixem en el dibuix, podem
veure que l'increment de l'àrea escombrada Δ
⃗ A
pel planeta en un interval de temps Δt , on elt , on el
planeta té un desplaçament Δ ⃗ r , és la meitat del
rectangle definit pel vector ⃗ r
4
i el vector
Δ ⃗ r =⃗ v Δ t , on ⃗ v és la velocitat que duu el
planeta:
Δ
⃗
A =
1
2
⃗ r ∧⃗ v Δ t
De manera que el mòdul quedaria com Δ A =
1
2
r v Δ t sin θ
Si de l'expressió del mòdul del moment angular L = r m v sin θ aïllem r v sin θ=
L
m
i substituïm, obtenim
que:
Δ A =
L Δ t
2 m
I com que el moment angular és constant, per a un mateix interval de temps Δt , on elt l'àrea escombrada per el
planeta Δt , on elA serà la mateixa, independentment del lloc de l'el·lipse on es trobe el planeta.
Per acabar, es defineix la velocitat areolar com la variació de l'àrea escombrada respecte al temps, que
utilitzant diferencials en lloc d'increments queda com
d
⃗
A
dt
=
1
2
(⃗ r ∧⃗ v ). Posant-la en funció del moment
angular, queda
d
⃗
A
dt
=
⃗
L
2 m
. La constància del moment angular implica que la velocitat areolar és constant
al llarg del recorregut del planeta. Utilitzant el mòdul, donats dos punts qualsevol de la trajectòria es
complirà que r
1
· v
1
sin θ
1
= r
2
· v
2
sin θ
2
5
4 Si Δt , on elt és suficientment menut, ⃗ r 1
≃ r ⃗
2
≡⃗ r
5 θ és l'angle que formen ⃗ r i ⃗ v. Si la trajectòria és circular, l'angle θ val sempre 90º.
F
Δ
⃗
A
Δ ⃗ r
⃗ r
1
r ⃗
2
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 7 / 23
En la seua obra, Newton demostra que la força necessària per mantindre la lluna en la seua òrbita és la
mateixa amb la què per exemple la terra atrau a la famosa poma, a més d’utilitzar la llei de gravitació per
demostrar les lleis de Kepler.
Exercici 1: Demostra la tercera llei de Kepler a partir de la llei de gravitació universal.
Exercici 2: Calcula el període orbital de Júpiter en anys terrestres. Dades: massa del sol=c/a 1,98·
30
kg, radi
de la òrbita de Júpiter: 7,78·
11
, G=c/a 6,674·
N·m
2
/ kg
2
R. 11,89 anys.
Exercici 3: El satèl·lit anomenat Io de Júpiter té un període de revolució de 42 hores i 29 minuts. Si la seua
distància mitjana a Júpiter és de 422.000 km, quina és la massa de Júpiter? Dada: G=c/a 6,674·
Nm
2
/ kg
2
R. 1,9·
27
kg.
➢ FORÇA GRAVITATÒRIA D’UN CONJUNT DE MASSES
Quan hi ha un conjunt de masses M 1
, M
2
, ... distribuïdes per l’espai, i volem calcular la força que exerceixen
totes sobre una massa m situada en un altre punt, aplicarem el principi de superposició: la força resultant que
actua sobre la massa m serà la suma de la força que exerceix cadascuna de les masses M 1
, M
2
, ... sobre m.
Exercici 4: Calcula la força gravitatòria que exerceixen dues masses de 200 kg situades sobre l’eix Y i
separades 1 m, sobre una massa de 0,1 kg situada a 0,25 m del punt mig de les esferes a la dreta de l’eix Y.
Dada: G=c/a 6,674·
N·m
2
/ kg
2
R.
⃗
F =− 3 ,82 · 10
− 9
⃗
i N.
➢ INTENSITAT DE CAMP GRAVITATORI
La llei de gravitació universal és vàlida per a qualsevol conjunt de dos o més masses, però degut al
extraordinàriament petit valor de G aquesta força només és apreciable quan les masses són molt grans, o al
menys una d’elles, com és el cas de la massa de la terra, que té un valor de M T
=c/a 5,72·
24
kg. Podem
calcular la força que fa la terra per a qualsevol massa situada en punts propers a la superfície. Tenint en
compte que el radi de la terra és de R T
=c/a 6,37·
6
m, tindrem que per a una massa m situada a una certa
altura h de la superfície terrestre, el mòdul de la força amb la què la terra l’atrau serà:
F = G
M
T
m
( R
T
2
com que generalment R T
h , podem aproximar R T
+h ≈ R T
, de manera que queda l’expressió com:
F = G
M
T
m
R
T
2
Si agrupem i anomenem al terme g = G
M
T
R
T
2
, escrivim l’expressió com F = g·m. A la quantitat g se li
anomena intensitat de camp gravitatori, que vectorialment quedaria en la forma:
⃗ g =− G
M
T
R
T
2
⃗ u
r
Intensitat de camp gravitatori de la terra (m/s
2
on ⃗ u r
és el vector unitari dirigit des del centre de la terra fins a la posició, i el signe menys indica que la
intensitat de camp gravitatori té el sentit cap al centre de la terra. Si introduïm les dades corresponen M T
=c/a
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 8 / 23
24
kg, R T
=c/a 6,37·
6
m , obtenim el conegut valor de g=c/a 9,8 m/s
2
. Per a punts de la superfície on la
distància h és suficientment gran, ja no es podria fer l’aproximació R T
+h ≈ R T
Exercici 5: Calcula a quina distància de la superfície terrestre l’acceleració de la gravetat es redueix a la
meitat.
R. h=0,41 R T
Per descomptat, aquesta expressió no és exclusiva per a la terra. Es pot utilitzar per calcular el camp
gravitatori creat per qualsevol massa si indiquem el denominador la distància des del centre del cos fins al
punt on volem calcular el camp..
Exercici 6: Calcula la intensitat del camp gravitatori de venus. Dades:
a) En la seua superfície.
b) A la distància que hi ha entre la seua òrbita i de la terra.
Dades: G=c/a 6,674·
N·m
2
/ kg
2
; Radi: 6050 km; massa de Venus: 4,87 · 10
24
kg. Distància entre les
òrbites de Venus i de la terra: D =c/a 4,2·
7
km.
R. 8,9 m/s
2
- 7
m/s
2
3. CAMP GRAVITATORI
➢ CONCEPTE DE CAMP. CAMPS VECTORIALS I CAMPS ESCALARS
La interacció gravitatòria consisteix en una força que apareix entre els cossos degut a que tenen massa.
Aquesta força actua a distància, sense cap tipus de contacte. La idea d’acció a distància, sense cap tipus de
contacte, va ser difícil d’acceptar inclús pel mateix Newton. A més una interacció a distància suposa que la
força apareix de manera instantània, i per tant a velocitat infinita, sense cap tipus de medi transmissor
d’aquesta, la qual cosa semblava un absurd. Newton no va tindre més remei que acceptar-ho.
Més tard, Michael Faraday (1791-1867), a partir de l’estudi de les forces elèctriques i magnètiques (que
també són «a distància») introdueix el concepte de camp. Així, un camp es pot crear quan existeix una
magnitud activa com la mas s a en el cas del camp gravitatori (o la càrrega elèctrica en el cas del camp
elèctric) que crea una mena d’influència al seu voltant de manera que si a una certa distància es col·loca un
altra massa (a la qual anomenem massa de prova), aquesta notarà la influència de la primera al experimentar
la força gravitatòria que exerceix. És com dir que una massa modifica l’espai que hi ha al seu voltant creant
un camp gravitatori. En el cas del camp elèctric, la magnitud activa seria la càrrega elèctrica, i en el cas del
camp magnètic serien els imants.
Un altra manera de dir-ho és que hi ha un camp en l’espai quan a cada punt de l’espai se li pot assignar un
valor únic d’una magnitud. Aquesta magnitud pot ser una força (camp de forces), una velocitat (camp de
velocitats d’un fluid), etc. En el cas de que la magnitud assignada a cada punt de l’espai siga un vector es
tractaria d’un camp vectorial. El camp gravitatori per exemple és un camp vectorial de forces perquè a cada
punt de l’espai li assigna un vector, associat a la força que exerciria sobre una massa de prova.
Per altra banda, també estan els camps escalars. Diem que en una regió de l’espai hi ha un camp escalar
quan a cada punt de l’espai se li pot assignar el valor d’una magnitud escalar. Per exemple, un camp de
temperatures, un camp de densitats o un camp de pressions.
Així, Faraday resol el problema de l’acció a distància introduint el concepte de camp. A més, aquesta
interacció creada per la magnitud activa tardaria un temps en propagar-se d’un punt a altre. Per representar el
camp, Faraday introdueix les línies de força, que en el cas del camp gravitatori veurem seguidament. Albert
Einstein en el segle XX explica formalment en la seua teoria general de la relativitat el concepte de camp
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 10 / 23
planeta, i aplicant-hi la tercera llei de Newton la igualem a la massa per l’acceleració centrípeta a al que està
sotmès aquest planeta (suposem que la seua òrbita és circular de radi r i amb període T)
G
M
s
m
p
r
2
= m
p
·
v
2
r
tenint en compte que v
2
=ω
2
r
2
=(
2 π
T
)
2
·r
2
substituint queda G
M
s
r
3
=(
2 π
T
)
2
, obtenint finalment que:
T
2
=
4 π
2
G M
s
· r
3
- Constant de gravitació universal
La constant de gravitació universal no apareix en els principia, sinó més tard en el segle XVIII es menciona
utilitzant la lletra G en l’obra de Laplace, Mecánica Celeste. La raó és perquè encara no es podia calcular, ja
que tenint en compte que la intensitat del camp gravitatori creat per la terra per a punts a prop de la superfície
com hem vist la podem expressar com g = G
M T
r
2
, podríem aïllar la G però no coneixem la massa de la terra.
Fou Henry Cavendish (1731 – 1810) qui va fer un experiment amb
l’objectiu de mesurar la densitat mitjana de la terra, cosa que li va
permetre calcular la massa de la terra i per tant determinar
posteriorment el valor de la constant de gravitació universal. Per a fer-
ho va construir al sud de Londres una balança de torsió, on va col·locar
dues esferes de plom de masses a l voltant de 175 kg i dues esferes de
plom més petites unides per una barra de fusta i penjades d’un filferro.
L’atracció gravitatòria de les masses grans sobre les petites produïa una
xicoteta rotació i per tant una torsió del filferro que sostenia a les
xicotetes esferes. Per mesurar aquest mínim moviment va utilitzar un
xicotet telescopi. Com que coneixia el coeficient de torsió del filferro,
va poder determinar la força d’atracció entre les esferes. La primera
estimació del valor de G va ser de 6,6·
Nm
2
/kg
2
Degut al caràcter tan extremadament dèbil de la força gravitatòria comparat amb altres forces, la mesura
experimental del valor de G és molt difícil, i és una de les constants de la naturalesa conegudes amb menys
precisió. Un dels últims valors mesurats dóna un valor de G=c/a 6,67191·
Nm
2
/kg
2
Newton va explicar la formació de les marees en els oceans a partir de la llei de gravitació universal. Ja
sabem que les marees estan causades fonamentalment per l’acció de la lluna. Tota la terra està sotmesa a
l’atracció de la lluna, amb una acceleració que podem posar com
g = G
M T
r
2
, on r és la distància entre el centre de la terra i la lluna. La
superfície líquida fa que en els punts més pròxims a la lluna aquesta
estiga sotmesa a l’atracció de la lluna. En aquests punts més pròxims a la
lluna es produirà la marea alta. Podem observar que en el punt oposat a la
terra en la direcció de la lluna també es produeix marea alta; això és degut a que al estar la terra més prop de
la lluna que la massa d’aigua del punt oposat, la terra es veu atreta amb més força que aquesta massa d’aigua.
Aleshores, l’oceà en aquesta part queda ressagat respecte a la terra i es forma un altra marea alta. Cap
assenyalar que les marees varien molt d’uns llocs a altres, per exemple, solen ser menors en mars tancats
com el mediterrani. En el litoral atlàntic de Canadà (Bahia de Fundy) poden arribar fins a 18 metres.
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 11 / 23
➢ CAMP GRAVITATORI CREAT PER UN SISTEMA DE MASSES PUNTUALS
Igual que amb les forces, quan hi ha un conjunt de masses M 1
, M
2
, ... distribuïdes per l’espai, i volem
calcular el camp creat per totes en un punt P, aplicarem el principi de superposició: el camp resultant en serà
la suma dels camps creats per cadascuna de les masses M 1
, M
2
, .... Matemàticament, per a n masses es
representaria com un sumatori:
⃗ g = g ⃗
1
2
+....=
∑
i = 1
n
g ⃗
i
=
∑
i = 1
n
− G
m
i
r
i
2
⃗ u
i
Exercici 7: quatre masses de 2, 3 , 4 i 5 kg es situen en els punts (0,0), (2,0), (0,2) i (2,2) formant quadrat de
2m de costat. Quin és el camp gravitatori creat en el centre del quadrat?
R.
g =
− G
√
Exercici 8: Tenim tres masses situades en els punts (0,2), (2,0) i (0,0). Si les seves masses són
respectivament 1000, 1500 i 2000 kg, calcula el camp gravitatori en el punt 2,2 i la força que rebria un cos
de 500 kg en aquest punt.
R: ⃗ g =−2,85 · 10
− 8
i −3,68 · 10
− 8
j ;
F =−1,43 · 10
− 5
i −1,84 · 10
− 5
j
➢ CAMP GRAVITATORI CREAT PER COSSOS ESFÈRICS
Fins ara hem considerat el camp gravitatori creat per masses puntuals, és a dir, sense volum. Anem a calcular
ara el camp creat per cossos amb simetria esfèrica, com els planetes o les estrelles. Considerem primer el cas
d’una escorça esfèrica.
- Camp creat en l’interior d'una escorça esfèrica.
Suposem que tenim una superfície esfèrica on tota la massa d'aquesta està concentrada en l'escorça i en
l'interior no hi ha res. En aquest cas, la intensitat de camp gravitatori en qualsevol punt de l'interior de
l'escorça és nul. Podem entendre-ho si pensem que qualsevol punt de l'interior de la capa esfèrica està
envoltat per elements de massa que contribueixen per igual a la intensitat de camp gravitatori, aleshores tots
es cancel·len i finalment s'anul·la.
- Camp creat per una esfera sòlida. - Camp creat en punts exteriors a una esfera sòlida:
en aquest cas, la intensitat de camp gravitatori
originada en un punt P extern a l'esfera és el mateix
que originaria una massa puntual situada en el centre
de l'esfera i que continga concentrada en aquest punt
tota la massa d'aquesta, és a dir , la expressió
⃗
g =− G
m
r
2
· ⃗
u
r
, on m és la massa total de l'esfera i r
és la distància al punt exterior.
- Camp creat en punts interiors a una esfera sòlida:
considerem una esfera on la massa està distribuïda
de manera homogènia (densitat constant). El camp
gravitatori creat en un punt interior de l'esfera situat
a una distància r' del centre el podem calcular com
g
r
R
g
int
=− G M
r
R
3
g
sup
=− G
M
R
2
g
ext
=− G
M
r
2
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 13 / 23
dividim l'àrea total en diferents rectangles, de base Δt , on elx i
i d'altura el valor de la força per a eixe interval F i
Aleshores, l'àrea total serà la suma de tots els petits rectangles:
El treball total serà amb bona aproximació la suma dels treballs corresponents a cadascun dels rectangles que
hem construït:
W = ∑
i
W
i
= ∑
i
F
i
Δ x
i
L'aproximació serà més bona si fem l'increment Δx =x i
infinitament petit ( Δx =x i
→ 0) , aleshores el nombre de
rectangles serà també infinit i s'adaptaran a la corba. Matemàticament, significa que els increments es
transformen en diferencials i el sumatori es transforma en una integral:
W =
∫
x
0
x f
F dx
Expressió que podem generalitzar per a qualsevol força, en tres dimensions com:
W =∫
x 0
x f
F d ⃗ r
La solució d'aquest tipus de problemes passa per resoldre integrals.
Podem fer una classificació de les forces en dos tipus: les forces
conservatives i les forces no conservatives. Per exemple, la força
gravitatòria, la força elàstica i la força elèctrica són conservatives. Per
altra banda, a força magnètica o la força de fregament són forces no
conservatives. Recordem que quan una força conservativa actua sobre
una partícula provocant-li un desplaçament, el treball realitzat és independent de la trajectòria, i tan sols
depèn de la posició inicial A i la posició final B. Això implica que si per exemple apliquem una força
conservativa sobre una partícula que la porta des de la posició A fins a la posició B, al calcular treball quan
ho fem mitjançant dos camins diferents, el treball resultant és exactament el mateix.
Per altra banda, si una força és conservativa es complirà que el
treball que realitza en una trajectòria tancada és zero. Efectivament,
si aplicant una força conservativa duguem la partícula des d’ A fins
B pel camí 1, sent el treball realitzat W AB
, i seguidament la tornem a
portar pel camí 2 des de B fins A, on ara el treball serà W BA
, els treballs realitzats seran independents del
camí triat i per tant seran iguals i canviats de signe, complint-se que W AB
=c/a – W BA
, de manera que el treball
total serà:
W
T
=c/a W AB
+ W
BA
=c/a W AB
– W
AB
=c/a 0.
Tenint en compte que quan una força és conservativa la realització de treball per part d’aquesta equival a una
variació d’energia, es definia una energia associada a la posició que anomenàvem energia potencial. En el
cas de la força gravitatòria, és conservativa (totes les forces que anomenem forces centrals ho són), aleshores
recordem que per a punts pròxims a la superfície terrestre la definíem com E p
=c/a mgh. Per a punts mes
llunyans, atès que g canvia amb la distància no podem utilitzar aquesta expressió.
Per últim, recordem que quan força és conservativa, el treball realitzat per aquesta serà equivalent al
increment canviat de signe de l’energia potencial. Per demostrar-ho, ens centrem en la força pes i imaginem
que calculem el treball realitzat per aquesta força quan es puja una caixa fins a una certa altura no massa
A B
Camí 1
Camí 2
A B
Camí 1
Camí 2
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 14 / 23
lluny de la superfície terrestre. La força pes és constant durant tot el trajecte, així que tenint en compte que
que té sentit contrari al desplaçament, des de y=0 fins a y=H , tindrem que el treball realitzat pel pes és:
W =( – mg ) · Δx =y = mgy
0
- mgy
Tenint en compte la definició d’energia potencial gravitatòria E p
=mgy podem
escriure el treball realitzat pel pes com menys l’increment d’energia potencial:
W =−Δ E
p
➢ ENERGIA POTENCIAL GRAVITATÒRIA
Però, com definim l’energia potencial gravitatòria per a punts més allunyats de la superfície terrestre, on g ja
no la podem considerar constant? En aquest cas, fixem l’origen d’energies potencials (el valor de l’energia
potencial igual a zero) en la posició on el camp gravitatori és nul, o siga, en l’infinit (la intensitat de camp g
és proporcional a 1/r
2
, per tant quan r→∞ es fa nul). Aleshores calcularem l’energia potencial gravitatòria a
partir del treball realitzat per la força gravitatòria quan volem portar una massa m’ des de l’infinit (E p
=c/a 0)
fins a una certa distància r d’una massa m, és a dir, volem passar de la situació de dalt a la situació de baix:
Com que la força gravitatòria no és constant al llarg del camí, ja que depèn de 1/r
2
( F
g
=− G
m m'
r
2
haurem de fer una integral, és a dir, sumar infinits treballs infinitesimals. L’expressió a resoldre és:
W
F
g
∫
∞
r
F
g
· d ⃗ r
Substituint la força gravitatòria, queda com:
W
F
g
∫
∞
r
− G
m m '
r
2
u
r·
d ⃗ r
Suposem que en tot moment
⃗ F ∥ d ⃗ r , aleshores queda com:
W
F g
∫
∞
r
− G
m m '
r
2
·d r
Encara no hem vist com integrar una funció, però per no estendre’ns direm que calcular la integral d’una
funció és trobar la funció que al derivar donaria la funció original. A aquesta funció s’anomena funció
primitiva. Per tant, podríem dir que integrar és com antiderivar. Després, si tenim límits d’integració es diu
que és una integral definida , i haurem de substituir en la funció aplicant la regla de Barrow
7
7 Regla de Barrow per a una integral definida diu que ∫
a
b
f ( x ) dx =[ F ( x )]
a
b
= F ( b )− F ( a )
Δy=Hy=H
mg
F
r = ∞
r
E
p
F
g
m
m’
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 16 / 23
Aclarim que igual que quan en la superfície terrestre hi havia un cos a certa altura h respecte el sòl i diem
que tenia una energia potencial mgh, en aquest cas l’energia potencial que acabem d’expressar és l’energia
que tindria el sistema format per les masses m i m’ pel fet d’estar separades una distància r. A més, cal
subratllar que aquest valor és negatiu perquè segons la definició és el treball que realitzaria una força externa
sobre m’ per apropar-la fins a la distància r de la massa m, aleshores el treball seria negatiu
8
Podem representar l’expressió de l’energia
potencial en funció de la distància a la
superfície terrestre d’una massa m. En aquest
dibuix veiem que just en la superfície terrestre
la distància és el radi de la terra R T
, i en
aquest punt l’energia potencial valdrà:
E
p
=− G
M
T
m'
R
T
Utilitzem l’expressió que hem vist anteriorment per calcular la variació d’energia potencial que adquirix un
cos de massa m’ quan el deixem caure des d’una altura h fins a la superfície del sòl. En una certa altura h
l’energia potencial valdrà E
p
=− G
M
T
m'
R
T
mentre que en la superfície del sòl l’energia potencial és la de
l’expressió de dalt. Si fem l’increment, tindrem que
E
p
( h )− E
p
( sòl )=− G
M
T
m '
R
T
M
T
m '
R
T
= G M
T
m'
h
R
T
2
T
h
. En punts molt pròxims a la superfície, R
T
2
≫ h ,
per tant es pot menysprear el terme R T
h , quedant E
p
( h )− E
p
( sòl )= G M
T
m '
h
R
T
2
Finalment, tenint en compte
que el valor del mòdul de la intensitat de camp gravitatori en la superfície terrestre val g = G
M
T
r
2
, queda
finalment que E
p
( h )− E
p
( sòl )= mgh , que és l’expressió de l’energia potencial vista en cursos anteriors.
- Càlcul de l’energia potencial per a un sistema format per moltes partícules.
Hem vist l’expressió de l’energia potencial d’un
sistema format per dos partícules m i m’. Quan
tenim un sistema format per més de dues partícules
i volem calcular l’energia potencial, podem
calcular l’energia potencial construint el sistema
partícula per partícula. Per exemple, anem a
considerar el càlcul per a tres partícules. Suposem
que tenim una massa m 1
en l’espai. Per dur
aquesta massa a aquest punt no s’ha realitzat cap
8 Per a un procès forçat o no espontani (per exemple, allunyar dues masses) el treball realitzat per la força externa
seria positiu i el realitzat per la força gravitatòria seria negatiu, mentre que per a un procès espontani (que dues
masses s’apropen a velocitat constant) el treball realitzat per la força gravitatòria seria positiu mentre que el
realitzat per una força externa seria negatiu.
r
E
p
=− G
M
T
m '
R
T
E
p
=− G
M
T
m '
r
E
p
R
T
r
12
r
13
r
23
m
1
m
2
m
3
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 17 / 23
treball, ja que prèviament no hi havia cap massa que creara un camp gravitatori. Suposem ara que volem dur
una segona massa m 2
fins a una distància de m 1
que anomenem r 12
. Aleshores com sabem l’energia potencial
del sistema ve donat per l’expressió:
E
p 12
=− G
m
1
m
2
r
12
Suposem ara que volem dur una tercera massa m 3
a un punt que es troba a una distància r 13
de la massa 1 i a
una distància r 23
de la massa 2. Aleshores, l’energia potencial del sistema és deguda a la de la massa 1 sobre
3 més la de la massa 2 sobre 3, és a dir:
E
p
= E
p 12
p 13
p 23
=− G
m
1
m
2
r
12
− G
m
1
m
3
r
13
− G
m
2
m
3
r
23
I així, si tinguérem més masses hauríem de fer totes les possibles combinacions
9
Exercici 9: calcula el treball que s’ha de realitzar per desplaçar una massa de 1000 kg des de la superfície
terrestre fins a una distància tres vegades el radi de la terra.
R. 4,19·
10
J.
Exercici 10: tenim tres masses situades en els punts (0,2), (2,0) i (0,0). Si les seves masses són
respectivament 1000, 1500 i 2000 kg, calcula el treball necessari per traslladar-la la massa de 500kg del
punt (2,2) fins al punt (4,4)
R. 3,48·
-
J.
➢ POTENCIAL GRAVITATORI
Igual que quan vam definir la intensitat de camp gravitatori com la força per unitat de massa, ara anem a
definir el potencial gravitatori com l'energia potencial per unitat de massa. L'objectiu és el mateix que en el
cas anterior amb el camp gravitatori i la força gravitatòria; definir una magnitud, en aquest cas escalar, que
no depenga de la massa de prova i només depenga de la massa o la distribució de massa que crea el
potencial.
Imaginem que una massa m es situa en un punt de l'espai. Si situem una massa de prova m' en les seues
proximitats, el sistema tindrà una energia potencial que ve donada per E
p
=− G
m m '
r
. Aquesta magnitud
com hem dit depèn de la massa de prova, però volem definir una magnitud que només depenga de la massa
que crea el camp, com l'energia potencial per unitat de massa. Així, el potencial gravitatori és una magnitud
escalar que es defineix com el treball per unitat de massa que deu realitzar una força per transportar una
massa a velocitat constant des de l'infinit fins a un punt situat sotmès a un camp gravitatori:
tenint que si la definició és V =
E
p
m
' , on E
p
=− G
m m '
r
per tant podem posar el potencial gravitatori
com:
V =− G
m
r
Potencial gravitatori [J/kg]
Per calcular el potencial creat en un punt P per d'una distribució de masses m 1
, m 2
, m 3
, ... + m n
, haurem de
sumar els potencials creats per cadascuna de les masses:
9 Si n és el nombre de masses, es poden fer E p
= C
n ,
=
n!
( n − 2 )! n!
combinacions de dos en dos.
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 19 / 23
5. MOVIMENT EN EL CAMP GRAVITATORI
Anem a veure com és el moviment de cossos que estan sotmesos al camp gravitatori creat per una massa M,
generalment molt més gran. Per fer aquest estudi sols considerarem el camp gravitatori creat per la massa M
i no considerarem els les forces gravitatòries que pugen crear altres astres pròxims. A més, considerarem que
les òrbites són pràcticament circulars per simplificar els càlculs.
➢ ENERGIA D’UN COS EN ÒRBITA
Quan un cos de massa m està orbitant una massa M degut a la força gravitatòria, la seua energia mecànica ve
donada per E=c/a E c
+ E
p
, aleshores:
E =
1
2
mv
2
+(− G
M m
r
)
, on hem aplicat que l'energia potencial gravitatòria és E
p
=− G
M m
r
Per altra part, si considerem que el moviment de m és circular, la segona llei de Newton o principi
fonamental de la dinàmica ens diu que la força que actua (la gravitatòria) és igual a la seua massa per
l'acceleració (que en aquest cas serà centrípeta), o siga, F g
= ma
c
per tant, en mòdul:
G
M m
r
2
= m
v
2
r
v
2
=
G M
r
, que substituint en l'energia mecànica queda com:
E =
1
2
m
G M
r
−
GM m
r
; finalment realitzem la resta i ens queda l'energia mecànica de la massa m com:
E =−
1
2
G
M m
r
Energia mecànica o energia orbital
És fàcil veure que per a un cos de massa m que es troba en una òrbita circular el radi de la òrbita i la
velocitat són constants, per tant tant energia cinètica com energia potencial també són constnats i l'energia
mecànica també ho és.
Però què és el que passa en les òrbites el·líptiques? En
aquest cas, l'energia mecànica és constant pel fet de es
tracta d’un sistema aïllat, no actuen forces externes i
l’única força que actua és la força gravitatòria, que és
conservativa
10
. Però com que varien tant la velocitat com
la distància al centre de l'òrbita, l'energia cinètica i l'energia
potencial van variant també al llarg de l'òrbita. Quan més a
prop del centre del centre de la massa M que crea el camp
la velocitat és major i per tant l'energia cinètica és més
gran, per tant l'energia potencial és més menuda. Per altra
banda, en els punts més allunyats sabem que la velocitat és més menuda, per tant l'energia cinètica serà més
menuda, i en canvi l'energia potencial serà més gran (o menys negativa) al ser la distància a la massa M
major. En tot cas, la suma de l'energia cinètica més la potencial sempre donarà sempre el valor de l'energia
mecànica E =−
1
2
G
M m
r
10 Recordem del principi de conservació de l’energia mecànica que quan les úniques forces que actuen sobre un
sistema són conservatives l’energia mecànica d’aquest es conserva. La demostració: del teorema de forces vives
W =Δ E
c
, mentre que si les forces que actuen són conservatives, el treball és
W =−Δ E
p
, per tant
Δ E
c
=−Δ E
p
→ Δ E = 0 → E = constant.
E
p
E
p
E
c
E
c
r
r
Física 2
Batxillerat Tema 1. Interacció gravitatòria 20 / 23
Perquè un cos escape del camp gravitatori creat per un altre se li ha de subministrar una energia cinètica
suficient de manera que la seua energia potencial final siga nul·la. Suposem que volem calcular aquesta
velocitat per a la terra. Tenint en compte que inicialment la seua energia serà l’energia potencial gravitatòria
que hi ha a la superfície més l’energia cinètica que li hem de subministrar:
E
i
=− G
M m
R
T
1
2
m v
esc
2
on v esc
és la velocitat d’escapament, R T
és el radi de la terra, M T
és la massa de la terra i m és la massa que
volem enviar fora de la influència gravitatòria de la terra.
Per altra part, l’energia potencial en el punt final ha de ser zero, per tant la massa m s’ha d’allunyar fins a
l’infinit, on E p
=c/a 0. Per altra banda, l’energia cinètica final també l’agafarem com a zero ja que volem calcular
la velocitat mínima que hem de comunicar a la massa m i no és necessari que tinga cap velocitat final. Per
tant com E f
=0. Aplicant el principi de conservació de l’energia, tenim que:
− G
M m
R
T
1
2
m v
esc
2
= 0 → v
esc
=
2 GM
T
R
T
Velocitat d’escapament
Aquesta velocitat és la mínima perquè un cos de massa m puga abandonar el camp gravitatori, quedant-se al
final amb energia zero i per tant a velocitat zero. Si llancem l’objecte a més velocitat, el cos arribarà la
distància infinita quedant-se amb certa velocitat. Si el llancem a una velocitat menor, el cos al final es
quedarà amb energia negativa i romandrà lligat encara al camp gravitatori. Com podem comprovar, aquesta
velocitat d’escapament és independent de la massa del cos que es vol fer escapar del camp gravitatori i com
que és una magnitud escalar també és independent de la direcció que es llance. Substituint valors per a la
Terra obtenim v esc
=11,2 km/s.
La velocitat que tenen les molècules dels gasos que hi ha en l’atmosfera degut a l’agitació tèrmica és inferior
a la velocitat d’escapament, aleshores aquestes no poden escapar. Per altra banda, alguns gasos formats per
àtoms més lleugers com hidrogen i heli poden tindre velocitats superiors a la d’escapament i per això no
solen estar presents en l’atmosfera. La velocitat d’escapament d’un planeta determina per tant la composició
de la seua atmosfera. En la lluna, la velocitat d’escapament és prou baixa i per això no hi pot haver
atmosfera.
Exercici 13: la velocitat d’escapament d’un forat negre és superior a la velocitat de la llum c=c/a 300.000 km/s.
Sense tindre en compte les equacions relativistes, es pot fer una estimació radi de Schwarzschild que
determina el radi d’un forat negre esfèric suposant que és el radi crític per al qual la velocitat d’escapament
és igual a la velocitat de la llum. Determina el radi de Schwarzschild.
R.
R
s
=
2 GM
T
c
2
Exercici 14: quina seria la velocitat d’escapament de la terra per poder escapar del camp gravitatori creat
pel sol? Dades: distància terra-sol: 1,5·
11
m; M s
=c/a 2·
30
; G=c/a 6,67·
Nm
2
kg
R. 42,2 km/s.
