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Asignatura: matematicas 2, Profesor: , Carrera: Administració i Direcció d'Empreses, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
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Referencia manual Práctica 1: Planteamiento de un problema de optimización
Los tres príncipes ele Serendip hicieron un pequeño viaje. No podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron dudar. Planearon llevar pequeñas cantidades. Cuando regresaron a Ceilán descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando, para su alegría, el príncipe William encontró un montón de cocos en el suelo. "Cada uno aportará 60 rupias", dijo el príncipe Richard con una sonrisa. Como casi se tropieza con una piel de león. "¡Cuidado!", grito el príncipe Robert con alegría cuando observó más pieles de león debajo de un árbol. "Estas valen aún más: 300 rupias cada una. Si tan solo pudiéramos llevarlas todas a la playa". Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero cargaron todo y lo hicieron con ánimo. El barco para regresar a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de equipaje, eso era todo. Cada piel de león ocupó un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo guardado se hicieron a la mar y en el trayecto calculaban lo que su nueva riqueza po- dría ser. "¡Eureka!", gritó el príncipe Robert, "Nuestra riqueza es tan grande que no hay otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora sé que voy a escribir, a mi amigo Horacio, en
Variables principales o de decisión:
c = número de cocos a embarcar p = número de pieles de león a embarcar
Restricciones del problema:
Restricciones de peso y capacidad: 5c + 15p ≤ 300 (peso: restricción lineal) (1/8)c + p ≤ 15 (capacidad: restricción lineal)
Las dos variables de decisión son continuas y positivas c, p ≥ 0 (condición no negatividad ↔ 0 cota inferior ambas variables )
Función objetivo del problema: La función objetivo (lineal) del problema es:
Maximizar R= 60c+ 300p
Planteamiento:
Max R=60c+300p s.a. 5c+15p ≤ 300 (1/8)c+ p ≤ 15 c, p ≥ 0
Conjunto factible: S= {(c,p)∈R^2 / 5c +15p ≤300, (1/8)c +p ≤15, c, p ≥ 0}
Modelización de “Serendipity”
Solución óptima: Riqueza 5040 rupias; cantidades óptimas (“ cualquier otra piel o coco nos haría más pobres ”): 24 cocos y 12 pieles de león. Las restricciones de peso y capacidad se cumplen (“ no hay otra forma de regresar en este estado ”) y, además,
Referencia manual Teoría 1: Concepto de solución y tipos de problemas
j 1,2,..., m
s.a g(x,x ,...,x ) b
Opt f(x,x ,...,x ) j 1 2 n j
1 2 n
Planteamiento de un problema de programación
f( x *^ )≥ f( x ), ∀ x ∈ S
∃ε > 0 / f( x *^ )≥f( x ), para x ∈S: || x - x *||< ε
Concepto de solución
Según el tipo de solución:
→
→
Problemas acotados
Problemasnoacotados ProblemasFactibles
ProblemasInfactibles
Tipos de problemas de programación matemática
Según la estructura: Programación No Lineal Programación Clásica Programación Lineal
Referencia manual Práctica 2: Resolución gráfica de problemas de programación
Podemos resolver gráficamente, representándolos en R 2 , problemas de optimización con
una o dos variables principales. Los pasos a seguir son los siguientes:
I) Representación del conjunto de oportunidades. (Si S es vacío P. Infactible )
II) Representación de varias curvas de nivel de la función objetivo.
III) Observa en qué dirección se produce, si estamos maximizando, el crecimiento de la función objetivo (o si estamos minimizando, el decrecimiento). Representa mentalmente las curvas de nivel que no has dibujado.
El óptimo global, si existe ( Problema Acotado ) y estamos maximizando, será el punto (o puntos) del conjunto de oportunidades al que corresponde la curva de nivel más alta (o si estamos minimizando la más baja).
Si no existe ( Problema No Acotado ) , siempre encontrarás cuando maximices para un valor dado de la función objetivo una curva de nivel más alta que pase por el conjunto de oportunidades (o cuando minimices más baja).
IV) Identificación de las soluciones óptimas del problema y valor de la función objetivo.
Resolución gráfica de “Flair Furniture (a)”
M,S 0
2M S 100
s.a. 4M 3S 240
Max B 70M 50S
≥
≤
≤
= +
(solución vértice)
Resolución gráfica de “Flair Furniture (b)”
M,S 0
2M S 100
s.a. 4M 3S 240
Max B (M 20)^2 (S 40)^2
≥
≤
≤
= − + −
(solución frontera)
Máximos Locales
Resolución gráfica de “Holiday Meal Turkey”
1 2
1
1 2
1 2
1 2
(solución vértice)
Otros tipos de problemas según solución
x,x 0
0.5x 1.
4x 3x 48
s.a. 5x 10x 90
Min I 4x 3x
1 2
1
1 2
1 2
1 2
≥
≥
≥
≥
= +
x,x 0
0.5x 1.
4x 3x 48
s.a. 5x 10x 90
Min I x
1 2
1
1 2
1 2
1
≥
≥
≥
≥
=
(arista finita)
(arista infinita)
Otros tipos de problemas según solución
2
s.a y -2x 4
Max -(x-1) y 2
2 2
≤ ≤
≤
−
Funciones cóncavas y convexas
f = (x−20)^2 +(y−40)^2 f =2x+3y
f = xy
f =−(x−1)^2 −y^2
Referencia manual Repaso 3: Determinación del signo de una forma cuadrática
Teorema.- Dada una matriz A simétrica diagonal:
Teorema.- Dada una matriz A simétrica y dados:
(a) A es definida positiva ↔ H i >0 ∀i. (b) A es definida negativa ↔ H 1 < 0, H 2 >0, ... (c) Si H n =0 y todos los menores principales son mayores o iguales a cero → q es semidefinida positiva. (d) Si H n =0, todos los menores principales de orden impar son negativos o cero y los de orden par positivos o cero → q es semidefinida negativa. (e) Si H n≠0 y no se cumplen ni (a) ni (b) o H n =0 y no se cumplen ni (c) ni (d) entonces q es indefinida.
H = H = H n= A 21 22
11 12 (^1 112) a a ,...,
a a a ,
Propiedad.- Si A es definida positiva entonces A es de rango completo (| A |≠0)
