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Asignatura: Matematicas I, Profesor: carme carme, Carrera: Administració i Direcció d'Empreses, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
1 / 24
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df
p^ (h) =
f(p)
-^ h
Si f es una función diferenciable en el punto p se cumple:Para valores de h
,…,h 1
próximos a 0 se tiene:n
0
h ... h
)
(p)h f x
...
(p)h f x ( ) p ,..., f(p ) h p ,..., h
f(p
(0,...,0) )n h ,..., 1 (h^
2
2
n
1
n n 1 1 n 1 n n 1 1
lim
0
h ... h
) (p)h f x ...
(p)h f x ( ) p ,..., f(p ) h p ,...,h
f(p
2
2
n
1
n n 1 1 n 1 n n 1 1
) (p)h f x ...
(p)h f x ( ) p ,..., f(p ) h p ,..., h f(p
n n 1 1 n 1 n n 1 1
n n 1 1 n 1 n n 1 1
h (p) f x
... h (p) f x ) p ,..., f(p ) h p ,..., h f(p
n n 1 1 n 1 n n 1 1 (p)h f x
...
(p)h f x ) p ,..., f(p ) h p ,..., h f(p
Aproximación lineal a la variación de lafunción alrededor del punto p =(p
,…,p 1
)n^
cuando varían marginalmente todas lascomponentes del punto. Aproximación al valor de la funciónen el punto (p
+h 1
, … ,p 1
+hn^
n )n^ n 1 n 1 n 1 1 n 1 ) p
,..., (p
n
1
4
Ejercicio Sea la función de beneficio del ejemplo anterior B(x,y) = x
2 +3y
2 -xy-20 (que es diferenciable en
cualquier punto de
2
por ser polinómica):
a) Calcula la diferencial de B en el punto (200,150).b) Calcula una aproximación al valor de la función en los siguientes puntos: (202,150), (200,147),
(202,147). c) Calcula aproximadamente la variación del valor de la función al pasar del punto (200,150) a los
puntos (202,150), (200,147), (202,147). d) Calcula una expresión lineal que permita calcular de forma aproximada el valor de la función de
beneficios en puntos cercanos al (200,150). e) Calcula una expresión lineal que permita calcular de forma aproximada el valor de la función de
beneficios en puntos cercanos al (100,100). Propiedad Toda función definida por una sola expresión y construida mediante sumas, productos,cocientes y composición de las funciones usuales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas,trigonométricas) es diferenciable en los puntos de su dominio. Nota Algunas funciones potenciales (como las raíces) pueden no ser diferenciables en los puntosque anulan la base. Ejercicio Escribe la expresión de la diferencial de una función real de 3 variables reales en el punto (a,b,c). Ejercicio Escribe la expresión de la diferencial de una función real de una variable en el punto p.
Teorema -
Condición necesaria de diferenciabilidad
Si f es diferenciable en p entonces existen todas las derivadas parciales de f en p. Teorema –
Condición suficiente de diferenciabilidad
Si f es de clase C
1 en p entonces f es diferenciable en p.
continuas
derivables
Funciones
diferenciables
Relación entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad f: D
n^
con n>
Teorema -
Condición necesaria de diferenciabilidad
Si f es diferenciable en p entonces f es continua en p.
En este apartado vamos a identificar qué direcciones producen los mayores
crecimientos y mayores decrecimientos de una función, lo que resulta muy útil cuando seresuelven problemas de maximización o minimización.
Vamos ver cómo calcular una aproximación a la variación que experimenta una
función cuando partiendo de un punto p nos movemos en cierta dirección. Este valor lollamaremos derivada direccional de f en el punto p en la dirección del vector v, y lodenotaremos por D
f(p).v
Tendremos que tener en cuenta que la variación que experimenta la función
cuando nos movemos en una dirección, depende tanto de la dirección como de ladistancia recorrida.
Definición - Dirección de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y crecimiento
nulo de una función en un punto
Si f es diferenciable y
f(p)
≠0 se puede demostrar que:
Dirección de máximo crecimiento de f en p:
La dirección que hace máximo el valor de
la derivada direccional de f en p es Dirección de máximo decrecimiento de f en p:
La dirección que hace mínimo el valor
de la derivada direccional de f en p es Dirección de crecimiento nulo de f en p:
Las direcciones en las que el valor de la
derivada direccional de f en p es cero, es decir, v tales que
f(p) =v
f(p)
-^ v = 0
Ejercicio (continuación del anterior) Dada la función B(x,y) = x
3 +y
2 -3xy:
e) Calcula las direcciones de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y
crecimiento nulo de la función B en el punto (1,0). f)
Calcula la derivada direccional en dichas direcciones e interprétala.
Ejercicio Sea B(x, y) = 3x
2
productos son x e y respectivamente.Actualmente se fabrican 10 unidades del primer producto y 4 unidades del segundo.a)
Tenemos capacidad para aumentar la producción y nos piden, utilizando la diferencialde B, valorar si es mejor aumentar el primer producto el doble que el segundo o alcontrario. b)
¿Qué vector de norma 1 proporciona el mayor aumento de la función?
r y z r
v y z v
u y z u
z y
r x z r
v x z v
u x z u
z x
x
u
y x
z^
v
y x
r
y
n^
m
m
p^
(^21)
(^22)
1
x^1
2
(^21)
2
3
(0,0,0)
2t
3t
dz^ dt
e
cos e 5
e
cos e 3
e
cos e 2
e 3 ) e
(cos e
e 2 ) e
(cos e
e 3
xy)
(cos x
e 2
xy)
(cos y
y t z y
x t z x
z t
