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1 NÚMEROS REALES
P A R A E M P E Z A R
Representa los números enteros 5, 8, 2, 7 y 3.
Escribe un ejemplo de cada una de las interpretaciones de fracción.
Partes de una cantidad:
de los alumnos de mi clase usa gafas.
Cociente indicado de dos números enteros:
Un operador:
de los alumnos de mi clase usa gafas, si en mi clase somos 25 alumnos,
25 5 alumnos usan gafas.
Halla tres fracciones equivalentes a —
— con los numeradores mayores que el de ella, y otras tres con los denominadores menores que el de ella.
Con numeradores mayores:
Con denominadores menores: 1
Imagina que el recorrido del puente del Alamillo es un segmento de 250 metros de longitud. Si el Ayun- tamiento de Sevilla ha decidido colocar 7 papeleras a lo largo del mismo, ¿cómo lo dividirías en partes iguales?
Dividiendo un segmento de 250 m en 6 partes iguales, utilizando el teorema de Tales.
Números racionales y números irracionales
P A R A P R A C T I C A R
Escribe en forma decimal los siguientes números racionales.
a)
b)
c)
d)
a) 1,75 b) 4,1 c) 27,04 d) 0,
Indica de qué tipo son los siguientes números racionales sin hacer la división.
a)
b)
c)
d) 16
a) Periódico puro b) Periódico mixto c) Decimal exacto d) Decimal exacto
Escribe en forma decimal estos números.
a)
b)
c)
d)
a) 0,888… b) 2,8333… c) 1,090 909… d) 0,142 857 142 857…
–7 –5 –2 0 3 8
250 m
Escribe la fracción irreducible correspondiente a cada número.
a) 0,
b) 10,
c) 1,
d) 0,
a)
b)
c)
d) 9
E j e r c i c i o r e s u e l t o
Calcula: 0,
Se escriben todos los decimales como fracción.
Se efectúan las operaciones con las fracciones y se pasa el resultado a forma decimal.
Haz las siguientes operaciones, pasando previamente a fracción todos los números que aparecen.
a) 1,
1,5 b) 9,25 9 0,
c) 10,
d) 0,
a)
b)
c)
d)
Indica cuáles de los siguientes números son racionales y clasifícalos. Explica por qué los restantes no son racionales.
a) 1,010 010 001… c) 1,223 334 444… e) 3
b) 1,010 101… d) 3,0222… f)
3
a) Irracional. No es periódico, entre los unos aparecen 1, 2, 3,… ceros. b) Racional periódico puro. c) Irracional. No es periódico, aparecen dos doses, tres treses… d) Racional periódico mixto. e) Irracional, 3 no es un cuadrado exacto. f) Racional, es el número natural 2.
Sin escribirlos en forma de fracción, ordena los siguientes números de menor a mayor.
2,3; 2,
Se pueden ordenar comparando las cifras decimales. 2,3 2,3333… 2,3232… 2,325 25… 2,3222… El orden es 2,3 2,
Alicia, Carlos y Elena van a comprar un libro que cuesta 17 euros.
a) ¿Podrán pagarlo a partes iguales? b) El libro también va a ser para el hermano de Alicia, por lo que ella debe pagar por los dos. En este caso, ¿podrán pagarlo a partes iguales?
a) No, ya que
es periódico.
b) Ahora sí, 17 : 4 4,25. Cada parte son 4,25 euros, Alicia debe pagar 8,50 euros.
Un coche circula a 90 kilómetros por hora.
a) ¿Qué distancia recorre en 1 minuto? ¿Y en 1 segundo? ¿Qué tipo de números se obtienen? b) Si recorre 40 kilómetros, ¿cuánto tiempo empleará? Expresa el resultado en forma de fracción, y pása- lo después a minutos y segundos.
a) En 1 minuto recorre
1,5 km. En 1 segundo recorre
0,025 km. Ambos números son decimales exactos.
b) Para recorrer 40 km empleará
h
h
min 26
min 26 min
60 s 26 min 40 s.
Andrés ha construido un número sumando 1 a cada cifra de (si el resultado es 10, escribe solo el 0). Su número empieza así: 4,2526… Y Ana ha restado 1 a cada cifra de (si el número es negativo, escri- be un 9). Su número empieza así: 2,0304…
a) ¿Cómo son esos números?
b) Construye números similares a partir de 2 y —
— , e indica de qué tipo son.
a) es irracional, luego ambos números son irracionales.
b) A partir de 2 (irracional) se obtienen números irracionales, 2,5253… y 0,3031… A partir de
se obtienen números raciona-
les periódicos puros, 0,253 968 253 968… y 0,031 746 031 746… ,
y 6
, respectivamente.
Aproximación de errores
P A R A P R A C T I C A R
Copia y completa la tabla aproximando los números que aparecen en la columna de la izquierda.
1.18 Redondea los números que aparecen en la columna izquierda de la tabla.
Una cifra decimal Dos cifras decimales Tres cifras decimales Por defecto 3,1 3,2 3,14 3,15 3,141 3,
^3 ^ 1,7^ 1,8^ 1,73^ 1,74^ 1,732^ 1,
— 0,1 0,2 0,14 0,15 0,142 0,
Por exceso
Por defecto
Por exceso
Por defecto
Por exceso
Una cifra decimal 3,1 3,14 3,
^3 ^ 1,7^ 1,73^ 1,
— 0,1 0,14 0,
Dos cifras decimales
Tres cifras decimales
E j e r c i c i o r e s u e l t o
Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear con dos decimales el número
1,428571 se redondea a 1,43.
Error absoluto: 1,43
Error relativo: 7
Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear 0,8484… a las décimas, a las centésimas y a las milésimas.
A las décimas: 0,8. Error absoluto:
. Error relativo: 3
A las centésimas: 0,85. Error absoluto:
. Error relativo: 5
A las milésimas: 0,848. Error absoluto:
. Error relativo: 17
E j e r c i c i o r e s u e l t o
Calcula una cota del error cometido al aproximar por defecto con dos decimales el número 20 .
Aproximación por defecto: 4, El error cometido es 0,0021…, que es menor, por ejemplo, que 0,0022. Este número será una cota del error absoluto.
El error relativo es , que es menor que
0,00049…, ya que se ha aumentado el numerador y disminuido el deno-
minador. El error relativo es menor del 0,05%, y este valor es una cota del error relativo.
Halla una cota del error cometido al aproximar por defecto con su raíz entera el número 205 .
La raíz entera por defecto es 14.
El error absoluto es 205 14 < 1.
El error relativo es
Calcula 3 con dos decimales aproximando ambos números por defecto, por exceso y redondeán-
dolos. ¿En cuál de las sumas es menor el error absoluto?
Por defecto: 3,14 1,73 4, Por exceso: 3,15 1,74 4, Redondeando: 3,14 1,73 4,
Con la ayuda de la calculadora se obtiene 3 4,8736…
El peor resultado se obtiene aproximando por exceso.
^205 ^14
^20
Calcula las siguientes operaciones.
a) (^) ⏐ (^7) ⏐ 4 b) (^) ⏐ 7 (^) ⏐ (^4) ⏐⏐ c) (^) ⏐ (^5) ⏐ (^) ⏐ (^5) ⏐ (^) ⏐ (^5) ⏐ d) (^) ⏐⏐ (^4) ⏐ (^) ⏐ (^9) ⏐⏐
a) (^) ⏐ (^7) ⏐ 4 7 4 3 c) (^) ⏐ (^5) ⏐ (^) ⏐ (^5) ⏐ (^) ⏐ (^5) ⏐ 5 5 5 20
b) (^) ⏐ 7 (^) ⏐ (^4) ⏐⏐ (^) ⏐ 7 (^4) ⏐ (^) ⏐ (^3) ⏐ 3 d) (^) ⏐⏐ (^4) ⏐ (^) ⏐ (^9) ⏐⏐ (^) ⏐ 4 (^9) ⏐ (^) ⏐ (^5) ⏐ 5
E j e r c i c i o r e s u e l t o
Representa —
— (^) utilizando el teorema de Tales.
Como
, se divide en cinco partes el segmento entre 2 y 3, utilizando el teorema indicado.
Representa los siguientes números racionales utilizando el teorema de Tales.
a)
b)
c)
d)
a) c)
b) d)
Representa en la recta real estos números irracionales.
a) 5 b) 10 c) 20 d) 26
a) 5 22 12 c) 20 4 ^2 22
b) 10 3 ^2 12 d) 26 5 ^2 12
1
O 5 26
26
X
Y
X
Y
1
1
O 2 3 10
10
X
Y 2
O 4 20
20
X
Y
1 5
1
O 2 3
–1 0
0 1 2
–3 –2 –1 0
(^0 ) 8
(^14) ––– 5
–1 0 1 2 3
3 ^7
^7 3
8 ^3
E j e r c i c i o r e s u e l t o
Representa en la recta real 3 .
No se puede escribir 3 como suma de cuadrados de dos números naturales, pero sí descomponer como:
^3 ^ ^2 ^ ^1 ^ (^2 )
^12
Así, para representar 3 se tiene que dibujar primero 2 .
Representa en la recta real los siguientes números.
a) 6 b) 7 c) 11
a) 6 22 2 22 ( 2 )^2. Hay que dibujar primero 2 .
b) 7 4 3 22 ( 3 )^2. Hay que dibujar primero 3 , como en el ejemplo resuelto.
c) 11 32 ( 2 )^2. Hay que dibujar primero 2 .
Representa en la recta real 3 2 y 3 2 .
Representa en la misma recta real 8 y 2 2 . ¿Qué observas?
Coinciden 8 y 2 2 .
O (^1 )
1
2
2
8
2 X
Y
1
Y
X
–3 2 O
Y
O
1
(^1) 3 2
O 1 2
2 1
3 11
O (^1 23 7 )
1
2
O 1 2 2 6
2 1
Y
X
–1 (^0 1 2 )
^2
El Ayuntamiento de un municipio va a construir una rotonda circular que mida exactamente 100 metros
cuadrados. El constructor decide utilizar como valor aproximado de la fracción —
¿Cuánto debe medir el radio? Dibújalo utilizando una escala adecuada.
El área es r^2 100. Con la aproximación de , se tiene que r
5,64 m. La escala 1 : 100 pa-
rece la más apropiada, redondeando r a 5,6 cm.
Intervalos sobre la recta real
P A R A P R A C T I C A R
Representa en la recta real los siguientes intervalos.
a) ( 2, 7) c) [ 4, 0)
b) ( 3, 2] d) [4, 9]
a)
b)
c)
d)
Representa en la recta real las siguientes semirrectas.
a) ( , 7) c) ( 4, )
b) ( , 2] d) [4, )
a)
b)
c)
d)
Decide si los siguientes conjuntos de números son intervalos o semirrectas, y escríbelos.
a)
b)
c)
d)
a) Intervalo (1, 4) c) Intervalo (1, 2]
b) Semirrecta (1, ) d) Semirrecta ( , 2]
0 2
–1 0 2
0 1
0 1 4
0 4
–4 0 1
–3 –2 –1 0 1
–1 0 1 7
–1 0 1 4 9
–4 –3 –2 –1 0 1
–3 –2 0 1
–2 0 7
Halla dos números racionales en cada uno de los siguientes intervalos.
a) (3, 4) b) —
— c) —
— d) —
Respuestas libres. Por ejemplo,
a)
b) 1
c)
d) 1
Halla dos números irracionales en cada uno de estos intervalos.
a) (0, 1) b) (4, 5) c) ( , 4) d) ( 2 , 3 )
Respuesta abierta. Por ejemplo,
a) 0,1, 0,2 b) 4,101 001… , 4,202 002… c)
d) 2,1, 2,2
Representa en la recta y escribe el intervalo o semirrecta correspondiente a cada desigualdad.
a) 2 x b) x 4 c) x 3 d) 1 x
a) (2, )
b) ( , 4]
c) [3, )
d) ( , 1)
E j e r c i c i o r e s u e l t o
Representa en la recta real (^) ⏐ x (^2) ⏐ 3.
La desigualdad puede escribirse así: 3 x 2 3 Si se suma 2 a cada término, resulta: 1 x 5 El intervalo correspondiente es el (1, 5).
Representa en la recta real estos intervalos.
a) (^) ⏐ x (^4) ⏐ 7 b) (^) ⏐ 2 x ⏐ 6 c) (^) ⏐ x (^5) ⏐ 1 d) (^) ⏐ 2 x (^1) ⏐ 5
a) (^) ⏐ x (^4) ⏐ 7 → 7 x 4 7 → 3 x 11 → [3, 11]
b) (^) ⏐ 2 x ⏐ 6 → 6 2 x 6 → 3 x 3 → (3, 3)
c) (^) ⏐ x (^5) ⏐ 1 → 1 x 5 1 → 6 x 4 → (6, 4)
d) (^) ⏐ 2 x (^1) ⏐ 5 → 5 2 x 1 5 → 4 2 x 6 → 2 x 3 → [2, 3]
–2 –1 0 1 2 3
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
–3 0 3
–3 –1 0 11
–2 –1 0
–1 0 1 2 3 4
–1 0 1 2 3 4
–2 –1 0 –
Aproxima por tanteo con una y con dos cifras decimales estas raíces.
a) (^) (^1000) b) (^)
3 (^10)
a) → (^) (^1000) (31, 32) b) → (^)
3 (^10) (2, 3)
→ (^) (^1000) (31,6; 31,7) → (^)
3 (^10) (2,1; 2,2)
→ (^) (^1000) (31,62; 31,63) → (^)
3 (^10) (2,15; 2,16)
En un locutorio telefónico nos cobran por una llamada de t segundos un precio de 30 0,5 t céntimos, pero no podemos hablar más de 5 minutos seguidos. Calcula lo que puede durar una llamada si disponemos de las siguientes cantidades de dinero.
a) 0,28 euros b) 1 euro c) 2 euros
a) No se puede llamar, el coste mínimo es de 30 céntimos. b) 30 0,5 t 100 → t 140. Como máximo se puede hablar durante 140 segundos (2 minutos y 20 segundos). t [0, 140]. c) 30 0,5 t 200 → t 340. Supera los 5 minutos. t [0, 300].
Al lanzar una pelota hacia arriba, su altura, en metros, viene dada por la función f ( t ) 12 t t^2 , donde t indica el tiempo transcurrido en segundos. a) ¿Qué intervalo de tiempo transcurre hasta que vuelve a caer al suelo (altura 0)? b) ¿En qué intervalo de tiempo la pelota está a más de 35 metros de altura? Para resolver este problema, puede ser útil elaborar una tabla que relacione el tiempo transcurrido y la altura.
Dando valores a t , se construye la tabla.
a) 12 segundos. b) (5, 7)
M A T E M Á T I C A S A P L I C A D A S
P A R A A P L I C A R
Utiliza la calculadora o la hoja de cálculo Excel para realizar aproximaciones del número utilizando los algoritmos de Leibnitz y de Wallis.
Investiga en internet otros algoritmos para calcular las cifras decimales del número .
Respuesta abierta.
2,15^3 9,
31,62^2 999,
31,63^2 1000,
2,1^3 9,
2,2^3 10,
31,6^2 998,
31,7^2 1004,
Tiempo (s) Altura (m)
Algoritmo de Leibnitz Algoritmo de Wallis
Algoritmo de Leibnitz
Algoritmo de Wallis
A C T I V I D A D E S F I N A L E S
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
¿Es cierto que cualquier fracción con denominador 99 corresponde siempre a un decimal periódico puro?
No, si el numerador es múltiplo de 99. Por ejemplo,
es 1.
Halla el número decimal que corresponde a cada fracción.
a) —
— b) —
— c) —
— d) —
— e) —
Escribe directamente la expresión decimal de —
a)
0,2020… b)
0,3737… c)
0,5252… d)
0,7474… e)
e)
Indica qué tipo de decimal corresponde a fracciones irreducibles con estos denominadores.
13 15 20 25 36
13: periódico puro; 15: periódico mixto; 20: decimal exacto; 25: decimal exacto; 36: periódico mixto.
Halla el menor número natural por el que debemos multiplicar 2,16 6 v^ para obtener un número decimal exacto.
. Al multiplicar por 3, queda denominador 2, que da un decimal exacto.
Halla el menor número natural por el que debemos multiplicar 1,
para obtener un número decimal periódico puro.
. Multiplicando por 2 queda un denominador 33, que da un resultado periódico puro.
Si —
— 0,222…, ¿cuánto vale?
Aproxima por defecto y por exceso —
— con dos cifras decimales.
Calcula los errores absoluto y relativo cometidos en cada caso.
El valor real es
Por defecto: 2,28. El error absoluto es
. El error relativo es 5
Por exceso: 2,29. El error absoluto es
. El error relativo es 22
Hemos comprado el periódico para ver las estadísticas de un partido de baloncesto, pero hay una par- te de la tabla que no se ve bien. Faltan los datos que aparecen marcados con un cuadrado. Copia y com- pleta la tabla, teniendo en cuenta que los porcentajes se han redondeado.
En el primer caso, si 2
x 7 0,89 → x 0,89 27 24,03. El entero más próximo es 24, que da un 88,888… % de acierto.
En el segundo, 30 : 0,64 46,875. El entero más próximo, 47, da un 63,83% de acierto. En el tercer caso, 15 : 29 0,51724…, que se redondea al 52%.
Sabiendo que la base y la altura de un triángulo miden, respectivamente, 3,
y 0,
metros, halla su área expresada en forma fraccionaria.
A
m^2
El índice de masa corporal (IMC) de una persona se calcula dividiendo su peso en kilogramos entre el cuadrado de su estatura en metros. Si el IMC de Carlos es, aproximadamente, de 22 kg/m^2 y mide 1,79 metros, ¿en qué intervalo se encuentra su peso, suponiendo que el error en el IMC es menor de una décima?
Las condiciones del problema se traducen en esta desigualdad: 1,
P
P
P
P
22,1 → 70,16979 P 70,
Dado que el peso se expresa habitualmente con un máximo de tres decimales (hasta los gramos), podemos decir que el peso de Carlos está entre 70,170 y 70,810 kg.
Dibuja un triángulo equilátero de 2 centímetros de lado.
a) ¿Cuánto mide su altura? b) Razona si puedes construir un triángulo isósceles cuya altura mida (^) (^5) centímetros.
a) h^2 22 12 → h (^) (^3) cm. b) Basta expresar 5 como diferencia de cuadrados, 9 4. El lado desigual mide 4 cm y cada uno de los otros 3 cm.
En un banco aparece como tipo de cambio el siguiente: 1 euro 1,3807 dólares Hemos cambiado una cantidad de euros y el banco nos ha dado 173 dólares y algunos centavos, por valor de menos de un dólar. Expresa en qué intervalo está la cantidad que hemos cambiado.
Sea x la cantidad en euros; 1,3807 x será la cantidad en dólares. El problema se puede reformular así: 0 1,3807 x 173 1. De aquí se obtiene:
173 1,3807 x 174 → 1,
x 1,
→ 125,298… x 126,023…
Hemos cambiado una cantidad entre 125,30 y 126,02 euros, x [125,30; 126,02].
Tiros de 1 punto Tiros de 2 puntos Tiros de 3 puntos
Canastas/Intentos Acierto (%)
24 /27 89%
h
2 cm
Para trabajar con potencias de base 2, Raúl usa la siguiente aproximación. 210 1024 1000 Así, para calcular 2^24 , lo hace de la siguiente forma. 224 210 210 24 1000 1000 16 16 000 000 Calcula el error relativo cometido al aproximar de esta manera.
El error relativo es
2
4
0,04632…, aproximadamente un 4,6%.
Representa en la recta el número de oro, .
En primer lugar, se representa (^) (^5) usando el teorema de Pitágoras. Después se toma con el compás la medida de ese segmento y se coloca a continuación del 1. Finalmente, se divide el segmento obtenido en dos partes, usando el teorema de Tales o dibujando la mediatriz.
Dada la función y x^2 4 x , realiza las siguientes operaciones.
a) Busca los valores de x para los que y 0.
b) Con los valores del apartado anterior, la recta queda dividida en tres intervalos. Indica los intervalos o semirrectas donde y toma valores positivos.
a) x^2 4 x x ( x 4) 0 → x 0 ó x 4 b) Para x 0 o para x 4 se obtienen valores de y positivos, ya que en esos intervalos los dos factores x y x 4 tienen el mismo signo.
P A R A R E F O R Z A R
Escribe una fracción equivalente a cada una de las siguientes cuyo denominador sea una potencia de 10, y escribe después su expresión decimal directamente.
a) —
— b) —
— c) —
— d) —
— e) —
Como todos los denominadores son potencias de 2 o de 5, solo hace falta multiplicar de forma que en cada denominador haya la misma potencia de 2 y de 5.
a)
3,2 b)
2
2 2
1,75 c)
d)
1,5625 e)
Calcula en forma de fracción estas operaciones. Estima previamente el resultado en forma decimal.
a) 1,6666… 0,0202 b) 3,777… 5,222…
a) 1,6666… 0,0202…
b) 3,777… 5,222…
X
Y
1
1
X O
Y
1
1
X O
Y
1 5
1
O 2
1 (^) (^5) — 2
Escribe tres números pertenecientes a cada uno de estos intervalos.
a) [2, 3) d) ( e , )
b)
; 0,3334 e)
c) ( 2 , 1,
] f) (3,14; )
Respuesta abierta. Algunas soluciones son las siguientes. a) 2,1; 2,2; 2,3 d) 2,8; 2,9; 3
b) 0,33334; 0,33335; 0,33336 e)
c) 1,42; 1,43; 1,44 f) 3,141; 3,1415; 3,
Representa en la recta real los intervalos en los que se cumplen estas expresiones.
a) (^) ⏐ x ⏐ 3 d) (^) ⏐ x (^1) ⏐ 1
b) (^) ⏐ x ⏐ 4 e) (^) ⏐ x (^2) ⏐ (^) ⏐ (^1) ⏐
c) (^) ⏐ x ⏐ 0,7222… f) (^) ⏐ x (^2) ⏐ 8
a) Intervalo (3,3)
b) (^) ⏐ x ⏐ 4 →
c) (^) ⏐ x ⏐ 0,7222… → R
d) (^) ⏐ x (^1) ⏐ 1 → 1 x 1 1 → 0 x 2 → [0, 2]
e) (^) ⏐ x (^2) ⏐ (^) ⏐ (^1) ⏐ → (^) ⏐ x (^2) ⏐ 1 → 1 x 2 1 → 1 x 3 → (1, 3)
f) (^) ⏐ x (^2) ⏐ 8 →
P A R A A M P L I A R
Pon un ejemplo de cada uno de los siguientes casos.
a) Dos números racionales no enteros cuya suma sea un número entero. b) Dos números racionales no enteros cuyo producto sea entero. c) Dos números irracionales cuya suma sea un número racional. d) Dos números irracionales cuyo cociente sea un número irracional.
a) Por ejemplo, 0,4 y 0,6. b) Cualquier par de fracciones inversas, como
y
c) Por ejemplo, 2 y 2 .
d) Por ejemplo, 2 y 3 .
–10 –1 0 1 6
x 2 8 → x 6 → (6, ) o x 2 8 → x 10 → ( , 10)
–1 0 1 2 3
–1 0 1 2
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
x 4 → [4, ) o x 4 → ( , 4]
–3 –2 –1 0 1 2 3
En una caja de 6 centímetros de ancho, 4 de largo y 3 de alto queremos colocar un tabique vertical que la divida en dos partes iguales de base triangular.
a) ¿Cuáles serán sus dimensiones? b) ¿Cuánto mide la diagonal máxima de esa caja?
a) La base de la caja tiene una diagonal de d (^) (^6) ^2 (^42) (^) (^52) cm. El tabique debe tener ese ancho y el alto de la caja, 3 cm.
b) Coincide con la diagonal del tabique, (^) ( (^52) )^2 32 (^) (^61) cm.
Expresa mediante intervalos o semirrectas los conjuntos de los números reales que cumplen las siguientes condiciones. a) Están a más de 3 unidades de distancia del 4. b) Están a una distancia del 2 igual o menor que 3.
a) Al restar x (4), el resultado debe ser mayor que 3 o menor que 3, según a qué lado de 4 se encuentre el punto. Así, ⏐ x^ ^ (4)⏐ 3 →^ ⏐ x^ ^4 ⏐ 3 →^ ^3 x^ ^4 3 →^ ^7 x^ 1. b) En este caso, x 2 debe estar entre 3 y 3, ambos inclusive. (^) ⏐ x (^2) ⏐ 3 → 3 x 2 3 → 1 x 5
Determina el conjunto de los números reales x que cumplen que: x (^) ⏐ x ⏐ 2.
Si x 0, queda x x 2 → 0 2. Todos los positivos cumplen la desigualdad. Es fácil ver que también se cumple en x 0. Si x 0, queda x x 2 → 2 x 2 → x 1, que contradice que x 0. La solución es [0, ).
Para un número cualquiera a y un número r 0, definimos el entorno de centro a y radio r como el inter- valo ( a r , a r ). a) Escribe la relación que verifican los números pertenecientes a un entorno de centro 2 y radio 5. b) Halla un número r con dos decimales lo más pequeño posible, tal que el entorno centrado en y de radio r contenga el número (^) (^10) .
a) Los puntos del intervalo (3, 7) cumplen la inecuación (^) ⏐ x (^2) ⏐ 5.
b) Para que se cumpla esa condición hace falta que el radio sea mayor que (^) (^10) . El menor número r con dos cifras deci- males que cumple esa condición es 0,03.
Hemos construido la figura a partir de un cuadrado de 16 metros de lado, formando cada uno de los cua- drados siguientes uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior.
a) Determina las medidas de los lados de cada cuadrado. b) Expresa el cociente entre el lado de un cuadrado y el del siguiente. c) Determina las áreas de los cuadrados. d) A la vista de lo anterior, ¿es posible encontrar dos números irracionales cuyo producto sea un número racional?
a) El lado del segundo cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden 8 metros. El lado mide l 2 (^) (^8) ^2 (^82) (^8) (^2) metros. El lado del tercer cuadrado es la mitad del lado del cuadrado inicial, l 3 8 metros.
Igualmente, l 4
l 2 (^4) (^2) metros, y l 5 4 metros.
b) l l
1 2
l l
2 3
l l
3 4
l l
4 5
(^) (^2)
c) A 1 l^21 256 m^2 ; A 2 ( (^8) (^2) ) 2 128 m^2 ; A 3 82 64 m^2 ; A 4 ( (^4) (^2) ) 2 32 m^2 ; A 5 42 16 m^2 d) Sí, los lados de los cuadrados 2 y 4 son irracionales y su área es racional.
