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CALCULO NUMÉRICO
2. RAÍCES DE ECUACIONES
Antes del desarrollo tecnológico y la consecuente generalización de la utilización de los ordenadores personales en las labores de diseño habituales en cualquier rama de la Ingeniería, la búsqueda de las raíces de una ecuación se realizaba fundamentalmente por tres procedimientos:
○ En algunos casos, las raíces se podían obtener con métodos directos, como en el caso de los polinomios de segundo grado.
○ Cuando no existen métodos directos, un método sencillo y habitual consistía en graficar la función y determinar el punto donde la función corta el eje de abscisas. Aunque eran métodos fiables y fáciles de utilizar, tienen el inconveniente de ser muy poco precisos. Aunque no vamos a profundizar aquí en este tipo de métodos, no se debe despreciar la inestimable ayuda que éstos pueden brindar aún actualmente en la determinación de los valores de partida para un método más complejo y también en la determinación del número de raíces en un intervalo dado.
○ Una alternativa a los métodos gráficos es lo que se denominan métodos de intervalos. Estos métodos se basan en que si una función es real y continua en el intervalo entre x 1 y x (^) u y f (xl) y f (xu ) tienen signos opuestos, es decir, si:
f( x l )f( xu ) < 0 (2.1)
entonces entre x (^) l y x (^) u hay al menos una raíz de f (x). Estos métodos son más precios que los gráficos, ya que una vez determinado el intervalo donde está la raíz, se puede subdividir el intervalo en subintervalos más pequeños, y repetir el procedimiento hasta que nos acerquemos al valor verdadero tanto como deseemos.
2.1. Métodos de intervalos
Como ya se ha mencionado anteriormente, se denominan así aquellos métodos que aprovechan el hecho de que una función cambia de signo en las proximidades de una raíz. Estudiaremos dos de los métodos de intervalos más habituales: el método de la bisección y el método regula falsi o de la falsa posición.
2.1.1. Método de la bisección
Se trata de un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en dos nuevos intervalos. Una vez determinado en cuál de los dos subintervalos se produce el cambio de signo, se evalúa la función en el punto medio y se repite nuevamente el procedimiento. A continuación se muestra el algoritmo para la ejecución de este método, así como el diagrama de flujo (Figura 2.1):
Paso 1: Elegir los valores iniciales para el primer intervalo (xi xo ) asegurándonos de que f(xi)f(xo )< 0. Paso 2: Se divide el intervalo por la mitad calculando xm = (xi+xo )/2. Paso 3: Se evalúa f(xm ).
2 RAÍCES DE ECUACIONES
Paso 4: Si f(xi)f(xm )< 0 la raíz se encuentra en el intervalo (xi xm ). Entonces xo = xm y repetir el paso 2. Paso 5: Si f(xm )f(xo )< 0 la raíz está en el intervalo (x (^) m xo ). Por tanto hacer xi= xm y repetir el paso 2. Paso 6: Si f(xm )= 0 la raíz es xm. Fin del cálculo.
introduzca x (^) i y x (^) o tales que f(x (^) i )f(x (^) o)< 0
inicio
x (^) m= (x (^) i + x (^) o)/
calcular f(x (^) m )
f(x (^) i)f(x (^) m )< 0 f(x (^) m )f(x (^) o )< 0 si
x (^) o = xm x (^) i = x (^) m
f(x (^) m )= 0
la raíz es x (^) m
fin
introduzca x (^) i y x (^) o tales que f(x (^) i )f(x (^) o)< 0
inicio
x (^) m= (x (^) i + x (^) o)/
calcular f(x (^) m )
f(x (^) i)f(x (^) m )< 0 f(x (^) m )f(x (^) o )< 0 si
x (^) o = xm x (^) i = x (^) m
f(x (^) m )= 0
la raíz es x (^) m
fin
Figura 2.1. Método de la bisección.
Evidentemente, la utilización de este método no se puede prolongar hasta que encontremos el valor exacto de la raíz, y en muchas ocasiones además esto no será necesario. Nos conformaremos con una solución lo suficientemente aproximada, y para ello debemos definir un criterio que nos permita decidir en qué momento nos hemos acercado lo suficiente a la solución.
Puesto que el valor exacto de la raíz no se conoce, lo más habitual es utilizar el error relativo porcentual aproximado (εa ), definido como:
2 RAÍCES DE ECUACIONES
0
5
10
15
20
25
(^0 1 2 3 4) x 5
f(x)
x (^) i=1 x (^) o=
BISECCION: x (^) m =2.
R. F.: x (^) m =1.
0
5
10
15
20
25
(^0 1 2 3 4) x 5
f(x)
x (^) i=1 x (^) o=
a) b) Figura 2.2. Método regula falsi.
2.2. Métodos abiertos
Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren únicamente un solo valor de inicio o un par de valores entre los que no se debe encontrar necesariamente la raíz. Su gran desventaja es que en ocasiones divergen, es decir, se alejan de la raíz a medida que aumenta el número de iteraciones. Pero sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos de intervalos.
2.2.1. Iteración simple de punto fijo
La fórmula utilizada en este método consiste en reordenar la ecuación f (x)=0 de manera que la x quede a la izquierda de la igualdad. De esta manera se genera una nueva forma de la función que definiremos como g (x):
f(x) 0 x g(x )
sen(x) 0 x sen(x) x
x 3
x 2 x 3 0 x
2 2
La utilidad de esta nueva forma de expresar la función es que se puede utilizar para predecir un nuevo valor de x a partir del valor anterior. Así, para predecir un nuevo valor x (^) i+1 a partir de un único valor xi utilizaremos:
x i + 1 =g(xi ) (2.6)
Como en métodos iterativos, el error relativo aproximado porcentual se puede calcular usando una ecuación análoga a la ec. (2.2):
CALCULO NUMÉRICO
x 100
x
x x
i 1
i 1 i a
ε = +^ −
y de esta manera, el algoritmo de la iteración simple de punto fijo se puede escribir a partir del diagrama de flujo de la Figura 2.3:
introduzca x (^) i
inicio
Xi+1= g(x (^) i )
calcular εa
εa > 0. si
x (^) i = x (^) i+
εa≤ 0.
la raíz es x (^) i+
fin
introduzca x (^) i
inicio
Xi+1= g(x (^) i )
calcular εa
εa > 0. si
x (^) i = x (^) i+
εa≤ 0.
la raíz es x (^) i+
fin
Figura 2.3. Iteración de punto fijo.
2.2.2. Método de Newton-Raphson
Este es posiblemente el método abierto de búsqueda de raíces más empleado, y consiste básicamente en trazar la tangente al punto [x (^) i ,f(xi)], de manera que la nueva aproximación es el corte de la tangente con el eje de abscisas (Figura 2.4). Como la derivada de la curva en x= x (^) i es la pendiente de la recta tangente:
i i 1
i i
' x x
f(x) 0 f(x) − +
− = (^) (2.8)
podemos reordenar esta expresión para obtener la fórmula de cálculo de la nueva aproximación:
f(x)
f(x) x x i
'
i i + 1 = i− (2.9)
CALCULO NUMÉRICO
En este caso, la derivada se puede expresar como:
i 1 i
i 1 i i
' x x
f(x ) f(x) f (x) −
− ≅ −
− (2.10)
Y por tanto la fórmula para el cálculo de una nueva aproximación será:
f(x ) f(x)
f(x)(x x) x x i 1 i
i i 1 i i 1 i −
− = − −
−
El algoritmo es análogo al del método de iteración simple de punto fijo (Figura 2.3), y tan sólo se debe modificar la fórmula para el cálculo de la nueva aproximación sustituyendo la ec. (2.6) por la ec. (2.9) o la ec. (2.11) respectivamente.
2.3. Raíces múltiples
Una raíz múltiple corresponde a un punto donde la función es tangencial al eje x. Por ejemplo, para:
f( x)= x^3 − 5 x^2 + 7 x− 3 =(x− 3 )(x− 1 )(x− 1 ) (2.10)
en x=1 el segundo y el tercer término de la función se hacen cero. Esto provoca que en ese punto la función sea tangente al eje de abscisas (Figura 2.6a). Se dice entonces que la función tiene una raíz doble.
Para esta otra función:
f( x)= (x− 3 )(x− 1 )(x− 1 )(x− 1 ) (2.11)
se da el caso de que en x=1 hay tres términos de la función que se hacen cero, y por tanto se trata de una raíz triple. En esta ocasión (Figura 2.6b) la función también es tangente al eje de abscisas, pero luego lo corta. En general, y tal y como se observa en la Figura 2.6, las raíces múltiples pares no cruzan el eje, mientras que las impares si lo hacen.
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x
f(x)
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x
f(x)
Figura 2.6. Raíces múltiples.
2 RAÍCES DE ECUACIONES
La presencia de raíces múltiples en una función es un problema en determinadas situaciones. Así, el hecho de que la función no cambie de signo en una raíz múltiple par impide el uso de los métodos de intervalos en estos casos. Por otro lado, para las raíces múltiples impares desgraciadamente ocurre que cuando f(x)=0 también f’(x)=0, y por tanto en las cercanías de la raíz el denominador de las ec. (2.9) y (2.11) tiende a 0.
2.4. Raíces de polinomios
Un polinomio se puede representar de forma genérica como:
n n
3 3
2 fn (x)= ao+a 1 x+a 2 x +a x +...+a x (2.12)
donde n es el orden del polinomio y ai son los coeficientes.
Para un polinomio de grado n existen n raíces, que pueden ser reales o complejas, distintas o iguales. Además, si n es impar al menos una de las raíces será real, y si hay raíces complejas existirá un par conjugado (λ+μi y λ-μi).
Cuando en un polinomio sólo existen raíces reales, se puede utilizar cualquiera de los métodos descritos anteriormente, aunque el problema fundamental será encontrar un par de valores adecuado en los métodos de intervalos y un valor inicial que no provoque divergencia en los métodos abiertos.
Sin embargo, si alguna de las raíces es compleja los métodos estudiados hasta ahora no valen, y se requiere del empleo de métodos específicos, como el método de Müller y el de Bairstow
2.4.1. Método de Müller
El método consiste en obtener los coeficientes (a, b y c) correspondientes a una parábola que pasa por tres puntos de la función (x 0 , x 1 y x 2 ) y determinar la nueva aproximación como el punto de corte de la parábola con el eje de abscisas. Para ello los coeficientes de la parábola se calculan como:
c f(x )
x x
f(x ) f(x) b a(x x)
x x
x x
f(x) f(x ) x x
f(x ) f(x)
a
2
2 1
2 1 2 1
2 0
1 0
1 0 2 1
2 1
=
−
− = − +
−
−
− − −
−
=
y la nueva aproximación entonces se obtiene a partir de:
b b 4 ac
2 c x x (^32) ± (^2) −
Al utilizar la fórmula cuadrática, este método permite predecir tanto las raíces reales como las complejas, lo que representa su mayor ventaja.
