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Métodos numéricos: conjunto de técnicas que permiten resolver problemas
matemáticos mediante operaciones aritméticas
herramienta muy útil en la resolución de problemas habituales en
Ingeniería Química
- ecs. complejas, abundantes, en forma diferencial
- solución analítica está restringida a sistemas sencillos o exige asumir
muchas simplificaciones (no válido para situaciones reales)
requieren realizar gran número de cálculos aritméticos ⇒ se han
generalizado con el desarrollo y abaratamiento de los PC
combinan dos herramientas: las matemáticas y los ordenadores
CALCULO NUMERICO
CALCULO NUMERICO
Cálculo Numérico: herramienta para el Ingeniero Químico ⇒ su
conocimiento permite avanzar en la resolución de problemas de Fenómenos
de Transporte, de Cinética Química, etc...
superar las limitaciones en la resolución de problemas complejos
centrar esfuerzos en definición del problema e interpretación del
resultado
Objetivos de la asignatura:
Conocer las bases de los métodos habituales para la solución
de distintos tipos de problemas
Adquirir la capacidad de aplicar los métodos estudiados por
medio de software de programación habitual (Excel, Scilab)
Construir herramientas básicas propias que sirvan para
resolver problemas planteados en otras asignaturas de la
titulación
CALCULO NUMERICOCALCULO NUMERICO
1.1. FUNDAMENTOS
Categorías de métodos numéricos a estudiar
Raíces de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas
Diferenciación e Integración numérica
Ajuste de curvas (técnicas de regresión)
Interpolación
Optimización
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ecuaciones diferenciales parciales
CALCULO NUMERICO
CALCULO NUMERICO
1.1. FUNDAMENTOS
Raíces de ecuaciones: encontrar el valor de una variable o
parámetro que satisface una ecuación
Ej: Cálculo diámetro óptimo:
Cálculo de caudal bombeado:
Raices de un polinomio:
CALCULO NUMERICOCALCULO NUMERICO
Tema 1: Introducción
16 D 0.488 m
D
D
4 5
1 / 4
2 2
Re
k 0 f
2 g
v
2 g
v
D
L
4 f
gQ
W
h ==== ==== ∑∑∑∑
ρρρρ
n
n
3
3
2
n o 1 2
f (x)====a ++++ax++++ax ++++ax ++++...++++ax
Sistemas de ecuaciones algebraicas: buscar conjunto de valores
que satisfaga simultáneamente un conjunto de ecs. algebráicas
P 100436. 5 Pa
V 2.78m/s
V 3.57m/s
V 2.78m/s
01 V 0. 0064 V 0. 0064 V
05 V 10. 33
9800
P
- 58 V
9800
P
- 33
9800
P
- 33 2. 5 V
4
c
b
a
b a c
2
b
4
2
b
4
2 4
a
=
=
====
====
====
→→→→
==== ++++
−−−− ====
++
= +
=
++++ ====
1.1. FUNDAMENTOS
Optimización: determinar valor de variable independ. o parámetro
que produce el mejor valor de la función objetivo (FO) (óptimo)
Ej: Cálculo de constante cinética.
CALCULO NUMERICO
CALCULO NUMERICO
(((( ))))
FO 0 - 1
n
i 1
2
exp cal
k 0.032 s
n
X X
FO →→→→ ====
====
t (s) X
exp
Datos: conversión vs tiempo
Integrar ec. cinética
X
cal
Asumir cinética de orden 1
k( 1 X )
dt
dX
r
A
1.1. FUNDAMENTOS
Ecuaciones diferenciales ordinarias: variación de una magnitud
en una dirección o con el tiempo ( 1 o mas variables dependientes
varían respecto de 1 sola variable independiente
CALCULO NUMERICOCALCULO NUMERICO
Tema 1: Introducción
Ecuaciones diferenciales parciales: Sistemas donde una
magnitud varía con respecto a dos o más variables independientes
dz
dV
x
xz
∂∂∂∂θθθθ
μμμμ
ρ + ρρ
+ρ ++
∂∂∂∂θθθθ
ρ ρρ
ρ
θθθθ
2
z
2
2
z
2
2
z
z
z
z
z z
r
z
z
v v
r
r
v
r
r r
g
x
p
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
1.2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS, EXACTITUD Y PRECISION
Conceptos importantes relacionados con la medida de magnitudes y su
representación por medio de números
Cifras significativas: permiten conocer el grado de confianza en la medida
Ej: Medida de altitud con altímetro
altitud real: 3013 m
lectura del altímetro: 3000 m
CALCULO NUMERICO
CALCULO NUMERICO
significat ivas
3 cifras
- 1 cifraconmargendeerror
- 2 cifrasdeconfianza
Exactitud: acercamiento sistemático al valor
Precisión: la magnitud de la dispersión de los valores
los ceros no siempre son cifras significativas
- pueden usarse sólo para ubicar punto decimal (0.00001485 y 0.01485)
- en números grandes pueden producir confusión (Ej: 45300)
- notación científica elimina incertidumbre (4.53•
4
, 4.530•
4
, 4.5300•
4
)
Medida y cálculo de un parámetro ⇒⇒⇒⇒ error relativo al redondeo
CALCULO NUMERICOCALCULO NUMERICO
Tema 1: Introducción
EXACTO E IMPRECISO INEXACTO E IMPRECISO
PRECISO Y EXACTO PRECISO E INEXACTO
CALCULO NUMERICO
CALCULO NUMERICO
Método de la bisección (cálculo de raices)
introduzca x i
y x o
tales que f(x
i
)f(x
o
)<
inicio
calcular f(x
m
)
si
fin
si
la raíz es x m
x m
= (x i
+x o
)/
x o
=x m
x
i
=x
m
f(x
i
)f(x
m
)<0 f(x m
)f(x o
)<
f(x
m
) = 0
introduzca εεεε s
, x
i
y x
o
tales que f(x
i
)f(x
o
)< 0
inicio
x
m
= (x
i
o
calcular f(x
m
f(x
m
)f(x
o
f(x )< 0
i
)f(x
m
si
x
i
= x
m
x
o
= x
m
la raíz es x
m
fin
εεεε a
=x m,i
?
a s
εεεε <<<< εεεε
SI
NO
CALCULO NUMERICOCALCULO NUMERICO
Tema 1: Introducción
1.3. DEFINICIONES DE ERROR. CONVERGENCIA
Error: se puede relacionar con el número de cifras significativas
en la aproximación
εεεε ====(((( )))) ⇒⇒⇒⇒ resultado correcto en n cifras significativas
si 0. 5 x 10 %
2 n
s
Ejemplos:
εεεε
s
= 0,01% 0,01=0,5 10
2-n
n = 3,70 ∼∼∼∼ 4
n=4 εεεε
s
= 0,005%
n=3 εεεε
s
= 0,05%
n=2 εεεε
s
= 0,5%
CALCULO NUMERICO
CALCULO NUMERICO
1.4. SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Teorema de Taylor (determina errores de truncamiento):
n
n
n
3
3
2
x a R
n
f a
x a
f a
x a
f a
f x fa f a x a +
() ( )
“C ualquier función continua suave se puede representar de
forma aproximada por un polinomio” (serie de Taylor)
n i
n 1
2 i
i 1 i i
h
n
f x
h
f x
f x fx f xh
( + ) ++
++++
(((( ))))
(((( ))))
n 1 n 1
n 1
n
h Oh
n 1
f
R
++++ ++++
++++
ξ ξξ
ξ
( )
Serie de Taylor en función del paso: h= (x
i+
-x
i
)=(x-a)
++ ++ x
a
n
n 1
n
x a dt
n
f a
R ( )
( )
Forma integral del residuo
Término residual = error verdadero (R
n
=E
V
(((( ))))
n 1
n 1
n
x a
n 1
f
R
++++
++++
( )
Forma de Lagrange del residuo
CALCULO NUMERICOCALCULO NUMERICO
Tema 1: Introducción
1.4. SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
n↑↑↑↑ ⇒⇒⇒⇒ ↓↓↓↓ error de la aproximación
aproximación de orden 0 (n=0): (x
i+
i
)↑↑↑↑ ⇒⇒⇒⇒ error ↑↑↑↑
aproximación de 1
er
orden (n=1, línea recta)
(solo predice cambios lineales):
aproximación de 2º orden (obtener una cierta curvatura)
( ) ( )
i 1 i
f x ≅≅≅≅fx
++
f x fx f x x x fx f x h
i 1 i i i 1 i i i
++++ ++++
h= x
i+
-x
i
2
i 1 i
i
i 1 i i i 1 i
x x
f x
f x fx f x x x ( )
++++ ++++ ++++
f(x)
f(x
i
)
x x
i+
x
i
f(x
i+
)
R
0
=E
v
R
1
=E
v
f (x ) f(x) f'(x) h i 1 i i
≅≅≅≅ ++++ ⋅⋅⋅⋅
++
n=
f(x
i+
)≈≈≈≈
n=
