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Tema 2. Estimación de parámetrosTema 2. Estimación de parámetros
11 II tt dd ióió
pp
- Introducción1. Introducción
- Estimación puntual2. Estimación puntual CC tt
33 E tiE ti ióió ii tt ll
- Propiedades de los estimadoresPropiedades de los estimadores
- Estimación por intervalos3. Estimación por intervalos
- Intervalos de algunos estadísticos (Intervalos de algunos estadísticos (,, ^22 ,, ))
- Precisión y tamaño de la muestraPrecisión y tamaño de la muestra
BIBLIOGRAFÍA BÁSICABIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Pardo y San Martín (1994)Pardo y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2
1
PardoPardo y San Martín (1994) y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2
1. INTRODUCCIÓN1. INTRODUCCIÓN
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
Los parámetros de la población no suelen ser conocidos, normalmenteLos parámetros de la población no suelen ser conocidos, normalmente tienen que ser inferidos de la información disponible en las muestras.tienen que ser inferidos de la información disponible en las muestras.tienen que ser inferidos de la información disponible en las muestras.tienen que ser inferidos de la información disponible en las muestras.
PoblaciónPoblaciónPoblaciónPoblación ParámetroParámetroParámetroParámetro (^) θ^22
DistribuciónDistribución muestralmuestral
θ ,,^
MuestraMuestra (^) EstadísticoEstadístico
muestralmuestral
θ ˆ^ X, SX, S^ xx^22 , ..., r, ..., rxyxy
EstimadorEstimador :: estadístico utilizado para representar al parámetro.estadístico utilizado para representar al parámetro. EEEstimaciónEstimación: ii ióió : valor concreto del estadístico en una muestra.valor concreto del estadístico en una muestra.ll d ld l dídí ii
- PuntualPuntual .............................................. un valorun valor
- Por intervalosPor intervalos .................... un rango de valoresun rango de valores
Tema 2. Estimación de parámetrosTema 2. Estimación de parámetros
11 II tt dd ióió
pp
- Introducción1. Introducción
- Estimación puntual2. Estimación puntual CC tt
33 E tiE ti ióió ii tt ll
- Propiedades de los estimadoresPropiedades de los estimadores
- Estimación por intervalos3. Estimación por intervalos
- Intervalos de algunos estadísticos (Intervalos de algunos estadísticos (,, ^22 ,, ))
- Precisión y tamaño de la muestraPrecisión y tamaño de la muestra
BIBLIOGRAFÍA BÁSICABIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Pardo y San Martín (1994)Pardo y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2
3
PardoPardo y San Martín (1994) y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2
2. ESTIMACIÓN PUNTUAL2. ESTIMACIÓN PUNTUAL
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
SS C ÓC Ó UU UU
UtUtilización de un único valor para representar el parámetro a estimarilización de un único valor para representar el parámetro a estimar
ConceptoConcepto Utilización de un único valor para representar el parámetro a estimarUtilización de un único valor para representar el parámetro a estimar (valor concreto del estadístico en una muestra).(valor concreto del estadístico en una muestra).
PropiedadesPropiedadesPropiedadesPropiedades
- SesgoSesgo ...................................... coincidencia entre el estimador y el parámetrocoincidencia entre el estimador y el parámetro CC i ti t ii (^) tt dd ii d ld l titi dd l tl t ññ dd ll tt
- EficienciaEficiencia ...................... variabilidad entre diferentes estimadoresvariabilidad entre diferentes estimadores SS fi ifi i ii (^) ii ff ióió dd ll tt tilitili dd ll titi dd
- ConsistenciaConsistencia ........ (^) tendencia del estimador con el tamaño de la muestratendencia del estimador con el tamaño de la muestra
- SuficienciaSuficiencia ................ (^) información de la muestra utilizada por el estimadorinformación de la muestra utilizada por el estimador
LimitacionesLimitaciones variabilidad muestralvariabilidad muestral | θ ˆ - θ| 0
El estadístico de unaEl estadístico de una tt dd NONO ESTIMACIÓN PORESTIMACIÓN POR muestra puedemuestra puede NONO coincidir con el parámetrocoincidir con el parámetro
ESTIMACIÓN PORESTIMACIÓN POR INTERVALOSINTERVALOS
b) Consistenteb) Consistente nn E(θ ˆ ) θ
σ (^) θ ˆ 0
Conforme aumenta el tamaño de la muestra,Conforme aumenta el tamaño de la muestra, el estimador se parece más al parámetro.el estimador se parece más al parámetro.
EjemploEjemplo
n 1
n
2 S
X
n^2 - 1^
n
2(n 1)
σ S 2 n σ^2
n
n 1
P
n 1
n
7
2525
CONSISTENCIACONSISTENCIACONSISTENCIACONSISTENCIA
VarianzaVarianza n= 5n= 5
VVVarianzaVarianza ii n=25n=25 2525
CONSISTENCIACONSISTENCIACONSISTENCIACONSISTENCIA
++
MediaMedia n=2n=
M diM di 2525
- -
MediaMedia n=25n=
9
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
c) Eficientec) Eficiente
θ θ
1 2 si
θ esmás eficiente que θ ˆ ˆ
El estimador más eficiente es el que presenta menorEl estimador más eficiente es el que presenta menor variabilidad entre muestras del mismo tamaño.variabilidad entre muestras del mismo tamaño.
θ 1 θ 2
σ (^) X σMd EjemploEjemplo σ σ 2 Sn 2 Sn- 1
EjemploEjemplo
d) Suficiented) Suficiente (^) Cuando utiliza toda la información contenida en laCuando utiliza toda la información contenida en la muestramuestramuestra.muestra.
EjemploEjemplo X Md SuficienteSuficiente No suficienteNo suficiente
Tema 2. Estimación de parámetrosTema 2. Estimación de parámetros
11 II tt dd ióió
pp
- Introducción1. Introducción
- Estimación puntual2. Estimación puntual CC tt
33 E tiE ti ióió ii tt ll
- Propiedades de los estimadoresPropiedades de los estimadores
- Estimación por intervalos3. Estimación por intervalos
- Intervalos de algunos estadísticos (Intervalos de algunos estadísticos (,, ^22 ,, ))
- Precisión y tamaño de la muestraPrecisión y tamaño de la muestra
BIBLIOGRAFÍA BÁSICABIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Pardo y San Martín (1994)Pardo y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2
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PardoPardo y San Martín (1994) y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2
ESTIMACIÓN POR INTERVALOSESTIMACIÓN POR INTERVALOS
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
ESTIMACIÓNESTIMACIÓN POR INTERVALOS POR INTERVALOS
Consiste en fijar unConsiste en fijar un rango de valoresrango de valores entre los queentre los que pueda estar el parámetro con ciertapueda estar el parámetro con cierta probabilidadprobabilidad
distribucióndistribución pp pp pp muestralmuestral
Fundamentación teóricaFundamentación teórica
- Nivel de confianzaNivel de confianza 1 1--
Conceptos básicosConceptos básicos ProcedimientoProcedimiento
- NivelNivel de confianza de confianza 1 1-- 1) Obtener el estimador1) Obtener el estimador (^) θ ˆ
Nivel de riesgoNivel de riesgo
- Error máximoError máximo EEmaxmax
- Obtener el estimador1) Obtener el estimador
2) Fijar2) Fijar ó 1ó 1--
- V l3) V l ítiíti
maxmax Valor críticoValor crítico kk Error típicoError típico
- Valor crítico3) Valor crítico
- Error típico4) Error típico
- Error máximo5) Error máximo simetríasimetría
- Intervalo confidencialIntervalo confidencial LímitesLímites LL (^) ii, L, L (^) ss Amplitud (precisión)Amplitud (precisión) 2E2Emaxmax
- Calcular los límites6) Calcular los límites
θ ˆ E max
max
Fundamentación teóricaFundamentación teórica
PoblaciónPoblación normalnormal E(^ x) μ
70
2
DistribuciónDistribución muestralmuestral
mediamedia n=25n=
σ 10 n
σ (^) x 2
nivel denivel de Nivel deNivel de nivel denivel de^ NORMALNORMAL
CASO 1CASO 1
NORMALNORMAL
NivelNivel de de confianzaconfianza
nivel denivel de riesgoriesgo 2’5%2’5%
nivel denivel de riesgoriesgo 2’5%2’5%
62 64 66 68 70 72 74 76 78 X
σ x
E(x ) μ
- 4 4 - - 3 3 - - 2 2 - - 1 1 00 11 22 33 44 zz
15
σz σz
PoblaciónPoblación normalnormal E(^ x) ^ μ ^70
DistribuciónDistribución muestralmuestral
mediamedia n=25n=
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
normalnormal
n
σ (^) x (^) 2
muestralmuestral n=25n=
Nivel deNivel de^ NORMALNORMAL confianzaconfianza
nivel denivel de riesgoriesgo
nivel denivel de riesgoriesgo
95 %95 %95 %95 %
riesgoriesgo 2’5%2’5%
riesgoriesgo 2’5%2’5%
- 4 4 - - 3 3 - - 2 2 - - 1 1 00 11 22 33 44
zz
62 64 66 68 70 72 74 76 78 X
PoblaciónPoblación normalnormal E(^ x) ^ μ ^70
DistribuciónDistribución muestralmuestral
mediamedia n=25n=
normalnormal
n
σ (^) x (^) 2
muestralmuestral n=25n=
NORMALNORMAL
CASO 2CASO 2
- 4 4 - - 3 3 - - 2 2 - - 1 1 00 11 22 33 44 zz
62 64 66 68 70 72 74 76 78 X
19
PoblaciónPoblación normalnormal E(^ x) ^ μ ^70
DistribuciónDistribución muestralmuestral
mediamedia n=25n=
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
normalnormal
n
σ (^) x (^) 2
muestralmuestral n=25n=
NORMALNORMAL
62 64 66 68 70 72 74 76 78 X
X μ
22
- 4 4 - - 3 3 - - 2 2 - - 1 1 00 11 22 33 44 zz
- 8 8 - - 6 6 - - 4 4 - - 2 2 00 22 44 66 88 X^ μ σ x 1’961’
X 72
MuestraMuestra (^) - -1’961’96(2)(2) 1’961’96(2)(2)
σz σ z
X 72 68’0868’08 7272 75’9275’
PoblaciónPoblación normalnormal E(^ x) ^ μ ^70
DistribuciónDistribución muestralmuestral
mediamedia n=25n=
normalnormal
n
σ (^) x (^) 2
muestralmuestral n=25n=
NORMALNORMAL
62 64 66 68 70 72 74 76 78 X
X μ
68’0868’08 7272 LLii
75’9275’ LLss
- 4 4 - - 3 3 - - 2 2 - - 1 1 00 11 22 33 44
zz
- 8 8 - - 6 6 - - 4 4 - - 2 2 00 22 44 66 88 X^ μ
44 33 22 11 00 11 22 33 44
X 72
MuestraMuestra (^) - -1’961’96(2)(2) 1’961’96(2)(2)
21
X 72 68’0868’08 7272 75’9275’
PoblaciónPoblación normalnormal E(^ x) ^ μ ^70
DistribuciónDistribución muestralmuestral
mediamedia n=25n=
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
normalnormal
n
σ (^) x (^) 2
muestralmuestral n=25n=
S
NORMALNORMAL MuestraMuestra
CASO 3CASO 3
95 %95 % n
S
σ x n-1 1'
S 9
X 72
n 1
62 64 66 68 70 72 74 76 78 X
- 7’27’2 - - 5’45’4 -- 3’63’6 -- 1’81’8 00 1’81’8 3’63’6 5’45’4 7’27’2 XX^ ^ μμ
tt 2424
- -2’062’06 2’062’
- -2’062’06(1’8)(1’8) 2’062’06(1’8)(1’8)
00
tt 2424
σt σ t
68’2968’29 7272 75’7175’
MEDIAMEDIA (()) (^) X E X k σ MEDIAMEDIA (()) (^) X Emax X k σX
n
σ X |Zα/2 |
conocidaconocida
|z|z/2/2 | =| = ZZ 1 1--/2/
n
s n > 30n > 30 X^ |Z α/2 | n-
nono
conocidaconocida
s X |Z |
n- 1
n α/
conocidaconocida
s nn 3030 X^ |α/2 tn-1| n-
n 1
n
nn 3030 |^ α/2 n^1 |
|| tt || tt
s X |/2 t 1 | n
25
||/2/2 ttnn--1 1 | =| = (^1) 1--/2/2 ttnn--1 1 X^ |α/2 tn-1^ | n- 1
EjemploEjemplo:: SiSi enen lala poblaciónpoblación infantilinfantil lala ansiedadansiedad sese distribuyedistribuye normalmentenormalmente concon varianzavarianza 2525 yy extraemosextraemos unauna muestramuestra aleatoriaaleatoria dede 100100 sujetos,sujetos, enen lala
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
yy jj queque susu mediamedia eses 5050,, ¿cuál¿cuál eses elel intervalointervalo queque puedepuede contenercontener lala mediamedia poblacionalpoblacional concon unun nivelnivel dede confianzaconfianza deldel 9999%%??
población normal ^2 - conocida n > 30
Distribución: N y muestral x n
- (^) X = 50 0’
- 1- = 0’99 ; = 0’
/2/2 /2/
1 1--
- k = |z/2 = |z (^) 0’005 = 2’58 0’005 0’ X
- (^) 0' 100
σ^25 x
- E = 2’58 (0’5) = 1’
48’7148’71 (^5050) 51’2951’
ZZ /2/2^00 ZZ 1 1-- /2/2 zz
Emax = 2 58 (0 5) = 1 29
Li = 50 – 1’29 = 48’ Ls = 50 + 1’29 = 51’
- -2’582’58 2’582’ Ls 50 1 29 51 29
VARIANZAVARIANZA ((^22 ))
S |z | S n
2 2 α/2 n
2 n > 100n > 100 n
χ
S L (^2) 1 α/2 n 1
2 n i
n χ
S L (^2) α/2 n 1
2 n s
n 1 α/2^ χ^ n 1
nn 100100
α/2 χ^ n 1
S L (^2)
2 n- 1 i
(n-1)
S L (^2)
2 (n-1) n-^1 χ 2 1 α/2 n 1
i χ
L (^2) α/2 n 1
s
n > 30n > 30 - - Aproximación normalAproximación normal
nn 3030 - - TABLASTABLAS
2
p χn
nn > 30 > 30 - - Aproximación normalAproximación normal
2 1 α/
2 2 1 α/2χ^ n ^1 ^ 0'5^ [z 2(n 1)-^1 ] p
2
p χ^ n (z 2n^1 )
1
27
2 α/
2 α/2 χ^ n 1 0'5^ [z 2(n 1)-^1 ]
p χ^ n 2 p
EjemploEjemplo:: SiSi enen unauna muestramuestra dede 1515 trabajadorestrabajadores sese haha obtenidoobtenido queque lala varianzavarianza dede lala satisfacciónsatisfacción laborallaboral eses 99,, ¿entre¿entre quéqué valoresvalores sese encontraráencontrará lala varianzavarianza dede
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
lala poblaciónpoblación concon unun nivelnivel dede riesgoriesgo deldel 55%%??
2 n S^2 nS 2
n < 100 n 30 TablasTablas
S
L 2
1 α/2 n 1
n i
n
S
L 2
α/2 n 1
n s
n
2 χ (^) n 1
- Sn^2 = 9
- = 0’
0’
= 0 05^1 1--
χ 2 χ^2 26'
α/2 χ^2 n 1 0'025 χ 142 ^ 5' 0’025 0 ’
11
- 5'17^9 26'
15 (9) L (^) i
1 α/2χ^ n 1 0'975 χ 14 ^ 26' Sn^2 5’175’17 23’9823’
0 025 0 025 /2/2 (^) /2/
26 12
23' 5'
L 15(9) s ^ ^014
^2 2 1 α/2χ^ n 1
2 α/2 χ^ n 1 5’635’63 26’1226’
EjemploEjemplo:: SiSi enen unauna muestramuestra dede 5050 trabajadorestrabajadores sese haha obtenidoobtenido queque lala varianzavarianza dede lala satisfacciónsatisfacción laborallaboral eses 99,, ¿entre¿entre quéqué valoresvalores sese encontraráencontrará lala varianzavarianza dede lala poblaciónpoblación concon unun nivelnivel dede riesgoriesgo deldel 55%%??
2 n S^2 nS 2
n < 100
n > 30
S
L 2
1 α/2 n 1
n i
n
S
L 2
α/2 n 1
n s
n
2
χ n 1
ApAproximaciónroximación (^) 2 2
- Sn^2 = 9
n > 30 pp normalnormal
2 1 α/
2
1 α/2χn^ 1 ^ 0'5^ [z 2(n 1)-^1 ]
2 α/
2
α/2 χ^ n 1 0'5^ [z 2(n 1)-^1 ]
- = 0’
- 31'
χ χ^2 0'5[ 1'96 2(49) 1 ]^2
0'025 49
2
α/2 n 1
1 α/2χn^1 [ 1 α/2 ]
ZZ /2/2 == ZZ 0’0250’025 == --1’961’ ZZ ZZ 1’961’96^222
- 6' 69'
L 49 (9) i
ZZ /2/2 == ZZ 0’9750’975 = 1’96= 1’96 1 - α/2χ 2 n 1 0'975 χ^249 0'5[ 1'96 2(49) 1 ]^2 69'
P(6'45 σ^2 14'46) 0'
69'
14' 31'
L 49(9) s
¿DESVIACIÓN TÍPICA?¿DESVIACIÓN TÍPICA?
P( 6'45 σ 14'46) 0'
31
P( 2'54 σ 3'80) 0'
PROPORCIÓNPROPORCIÓN (())
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
n
P(1-P)
n > 30n > 30 P z z |zα/2 | z 1 - α/
2 2
nn 3030 P(1 P)
2
2 2
2 i
n z
n
2n
z
4n
z
n
P(1 P)
L P z
nn 3030
2
2 2
2 s
n z
n
2n
z
4n
z
n
P(1 P)
L P z
n 4n 2n n z
EjemploEjemplo:: UnUn productoproducto eses puestopuesto enen elel mercadomercado sisi eses aceptadoaceptado porpor elel 7575%% dede loslos consumidoresconsumidores.. SiSi enen unauna muestramuestra dede 2020 personaspersonas lolo aceptanaceptan 1111 dede ellas,ellas, ¿será¿será lanzadolanzado elel productoproducto concon unun nivelnivel dede riesgoriesgo deldel 1010%%??
n = 20 X = 11
B(20, 0’75)
P Li^ 0’55^ Ls
P
- P = 0’
n z
n
2n
z
4n
z
n
P(1 P)
L P z 2
2 2
2
i
n 30
- = 0’
- |Z|Z /2/2 ||^ ==^ |Z|Z 0’050’05 ||^ = 1’64= 1’
L (^) s
NONO
L 0'55 1'64 2
2 2
2 i (^)
L (^) s 0'
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
Tema 2. Estimación de parámetrosTema 2. Estimación de parámetros
11 II tt dd ióió
pp
- Introducción1. Introducción
- Estimación puntual2. Estimación puntual CC tt
33 E tiE ti ióió ii tt ll
- Propiedades de los estimadoresPropiedades de los estimadores
- Estimación por intervalos3. Estimación por intervalos
- Intervalos de algunos estadísticos (Intervalos de algunos estadísticos (,, ^22 ,, ))
- Precisión y tamaño de la muestraPrecisión y tamaño de la muestra
BIBLIOGRAFÍA BÁSICABIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Pardo y San Martín (1994)Pardo y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2 PardoPardo y San Martín (1994) y San Martín (1994) Capítulo 2Capítulo 2
MEDIAMEDIA (()) 2
MEDIAMEDIA (())
E
z n σ 2 max
2 ^2 α/
conocidaconocida
E
z n S 2
2 (^2) α/ n- 1
nono
^22
n > 30n > 30
Emax
t n S
2 (^2) α/2 n- n 1
nono
conocidaconocida
nn 3030
E
n S 2 max
n- 1
2 VARIANZAVARIANZA ((^22 )) E
z n 2S 2 max
2 (^4) α/ n > 100n > 100 n
PROPORCIÓNPROPORCIÓN (()) E
z n P(1-P) 2
2 n > 30n > 30 ^ α/
37
E
( ) 2 max
EjemploEjemplo:: En una población N(En una población N(, 8), ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra para, 8), ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra para que al estimar su media la precisión sea de 4 unidades con un nivel deque al estimar su media la precisión sea de 4 unidades con un nivel de
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
confianza de 0’95?confianza de 0’95?
población normal ^2 - conocida E
z n σ 2 max
2 ^2 α/
- = 8
1 1--
0’
/2/2 /2/
0’025^ 0’
ZZ /2/2 == ZZ 0’0250’025 == --1’961’
1-= 0’
EE = 4/2 = 2= 4/2 = 2 (^) EE
4
X
- EE maxmax = 4/2 = 2= 4/2 = 2^ /2/2^ /2/
61' 2
n (^82)
2
- ^2
EE maxmax
ZZ /2/2^00 ZZ 1 1-- /2/2 zz
6262
EJERCICIOSEJERCICIOS EJERCICIOSEJERCICIOS
- Pardo y San Martín (1994):Pardo y San Martín (1994): capítulo 2capítulo 2
Nivel 1:Nivel 1: 5, 6, 9, 13, 15, 16, 205, 6, 9, 13, 15, 16, 20 8, 14 (repetidos)8, 14 (repetidos)
Nivel 2:Nivel 2: 7, 11, 12, 177, 11, 12, 17--19 19
Nivel 3:Nivel 3: 1 1-- 4, 104, 10
