¡Descarga Tema 2. Resolució de problemes numèrics y más Apuntes en PDF de Ciencias de la Educación solo en Docsity!
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Objectiu
- Resoldre problemes numèrics relacionats amb els continguts següents:
- Combinatòria
- Paritat
- Divisibilitat
- Proporcionalitat
- Identificació de patrons
Continguts
1 Resolució de problemes numèrics
Combinatòria Paritat Divisibilitat Raó i proporció Identificació de patrons
Bibliografia
Círculos matemáticos. D. FOMIN, S. GENKIN y I. ITENBERG. Real Sociedad Matemática Española-SM. Madrid, 2012 (Or. En angles 1996). Cómo plantear y resolver problemas. G. POLYA. Trillas, Méjico, 2002 (1a edició en castellà, 1965). Investigando las matemáticas. R. FISHER y A. VINCE. Akal, Madrid, 1991 (4 volums). Mathematics for Elementary Teachers. A Contemporary Approach. G.L. MUSSER, W.F. BURGER y B.E. PERERSON. John Wiley & Sons, Nova York, 2003 Pensar matemáticamente. J. MASON L. BURTON y K. STACEY. Labor-MEC, Barcelona,
Problemas con pautas y números. SHELL CENTRE FOR MATHEMATICS EDUCATION.
Universidad del País Vasco, Bilbao, 1993 (Or. 1984). Para pensar mejor. M. de GUZMAN. Col. Ciencia hoy, Pirámide, Madrid, 1994. Resolver problemas: Estrategias. Unidades para desarrollar el razonamiento matemático. K. STACEY y S. GROVES. Narcea, Madrid, 2001.
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Tema 2. Resolució de problemes numèrics
En este apartat proposem la resolució de problemes emprant les propietats dels números i les operacions.
1.1. Problemes de combinatòria
En estos problemes es demana comptar el nombre de combinacions possibles en la situació descrita en l'enunciat. Analitzem distints problemes indicant algunes idees per a fer el recompte.
El principal objectiu dels tres primers problemes és identificar quan s'ha de sumar els números i quan multiplicar-los. La multiplicació apareix com a nombre de combinacions possibles.
La botiga del café
En “La botiga del café” hi ha cinc models de tasses de café i tres models de plats. Quantes maneres hi ha de combinar les tasses amb els plats?
Pistes:
Es pot raonar així: Primer triem una tassa; després per a completar la parella podem triar qualsevol dels tres plats. També es pot fer una taula de doble entrada amb 5 tasses (en horitzontal) i 3 plats (en vertical). El nombre de combinacions és el nombre de caselles de la taula.
El país de les comunicacions
En el país de les comunicacions les ciutats A, B, C i D estan connecteu com a mostra la figura de baix. Quantes formes distintes hi ha d'arribar de A a C, passant per B o per D?
B
Pista:
Considerar dos casos (camins que passen per B i camins que passen per D) és una idea útil.
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Comptar primer els números que no complixen la condició petició o “conjunt complementari”, és a dir, els números que no tenen cap xifra parell. Després restar al total de números de sis xifres els que no tenen cap xifra parell.
2. Problemes de paritat
El concepte de paritat (parell o imparell), a pesar de la seua gran simplicitat, apareix en la solució de diferents tipus de problemes com els següents:
Engranatges
Onze engranatges estan col·locats en el pla formant una cadena com la que es mostra en la figura. Poden girar tots ells al mateix temps?
La idea principal en la solució d'este problema és que els engranatges roten en el sentit de les agulles del rellotge o en l'oposat de forma alternada. Trobar objectes que s'alternen és la idea bàsica de la solució d'alguns problemes.
Cobrir el tauler
Podem cobrir un tauler com el de d'escacs però de dimensions 5 x 5 amb fitxes de dòmino de dimensions 1 x 2?
La idea d'aquest problema és fer parelles: si podem agrupar els objectes d'una família per parelles, llavors hi haurà un nombre parell d'ells.
Rubles
És possible canviar un bitllet de 25 rubles utilitzant en total 10 bitllets d'1, 3 o 5 rubles?
Les següents propietats s'usen per a resoldre el problema dels rubles i altres problemes: a) Si se suma un número parell de sumands imparells en resultat és un número parell. b) Si se suma un número imparell de sumands imparells en resultat és un número imparell.
Tauler retallat
En un tauler d'escacs 8 x 8 s'han llevat dos caselles d'extrems oposats. Es pot recobrir amb fitxes de dòmino de grandària 1 x 2?
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
En alguns problemes, a més d'utilitzar la idea de paritat cal fer consideracions addicionals, per exemple en el problema anterior el color de les caselles que s'han eliminat.
3. Problemes de divisibilitat
Resoldre el següent problema usant assaig i error és laboriós, però la solució és immediata coneixent el concepte de divisibilitat i les seues propietats:
Premi en el supermercat
Una cadena de supermercats ha ideat la següent promoció de vendes: Per cada compra de 10 euros o fracció oferix al client una targeta amb un número menor que 100. A qui presente diverses targetes els números del qual sumen 100 li regalen 100 euros. Les targetes que oferix són les següents: 9, 12, 15, 18, 27, 51, 72 i 84
Pots trobar una combinació guanyadora?
Solució: Si observem els números de les targetes, són tots múltiples de 3. Els múltiples de 3 (o de qualsevol altre número) tenen la propietat que la suma és també un múltiple de 3. Però 100 no és múltiple de 3, per tant no hi ha cap combinació guanyadora. Per tant el supermercat està cometent un frau.
Alguns dels conceptes i propietats importants sobre la divisibilitat són els següents:
Números primers i compostos
Un número que només és divisible per si mateix i la unitat s'anomena primer. Un número que siga divisible per un altre número diferent d'ell mateix i la unitat s'anomena compost.
Aplicar este concepte al següent problema:
Rectangles
En un full de paper quadriculat: Troba tots els possibles rectangles que estiguen formats per 12 quadrats exactament. Respon indicant les seues dimensions. Fes el mateix per a 13 quadrats.
Per què hi ha més rectangles formats per 12 quadrats que per 13 quadrats?
Teorema fonamental de l'aritmètica
Cada número compost es pot expressar com a producte de nombres primers de forma única (exceptuant l'orde dels factors).
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
També es pot resoldre escrivint el numere com abba=1000a+100b+10b+a i després com múltiple d'11, o escrivint la successió ordenada que números capicues de quatre xifres i veient el creixement de la successió.
Teorema
Un número és divisible pel producte ab , si és divisible per a i per b i a i b són primers entre si o coprimers.
Aplicant este teorema s'obtenen les següents regles de divisibilitat:
Més regles de divisibilitat
Un número és divisible per 10 si acaba en 0. Un número és divisible per 6 si ho és per 2 i per 3.
Un número és divisible per 36 si ho és per 4 i per 9.
4. Problemes de raó i proporció
Els conceptes de raó i proporció son útils per a resoldre alguns problemes com el següent.
Jugant al basquet
Daniel i Carlos són jugadors de bàsquet i ocupen la mateixa posició en l'equip. L'entrenador vol conèixer quin jugador és més eficaç, per a això té les anotacions de l'últim partit disputat: Daniel Carlos
Encerts en tirs lliures 4 de 6 6 de 9 Encerts en llançaments a cistella 5 de 10 10 de Encerts en triples 2 de 4 2 de 3
Com pot esbrinar qui ha aconseguit millors resultats en cada un dels apartats de les anotacions?
La relació entre els 4 tirs lliures encertats i els 6 tirs lliures llançats s'anomena raó:
6 tirslliuresencertats
4 tirslliuresencertats
Per a esbrinar quin jugador és el més eficaç caldrà comparar les raons.
Es pot afirmar que encertar 4 tirs lliures de 6 intents és equivalent a encertar 6 tirs lliures de 9 llançaments perquè:
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Esta igualtat és una proporció.
Al ser estes raons equivalents es pot dir que l'efectivitat en els tirs lliures d'ambdós jugadors és la mateixa i per tant els resultats dels tirs lliures són proporcionals.
No obstant això, en els llançaments a canastra i en els triples, l'efectivitat dels jugadors no és la mateixa i per tant els resultats no són proporcionals.
El valor constant d'una proporció es coneix com constant de proporcionalitat.
Raó i proporció
Una raó és un parell ordenat de quantitats de magnituds, de la mateixa o distinta magnitud. Una proporció és la igualtat de dos raons.
En següents problemes apareixen dos magnituds que guarden distint tipus de relació:
Maria i Pau estan agafant pomes. Van començar al mateix temps però Maria és més ràpida. Quan Pau ha agafat 40 pomes Maria hi ha agafat 60. Si Maria ha agafat 90 pomes, quantes ha agafat Pau? Un grup de 5 músics interpreten una peça musical en 10 minuts. Un altre grup de 35 músics interpretaran demà la mateixa peça musical, quant de temps tardaran a interpretar-la? Una locomotora de tren mesura 12 metres de longitud. Si s'enganxen 4 vagons el tren mesura 52 metres. Si es connecten 8 vagons, quant mesurarà el tren?
En el primer problema les magnituds són directament proporcionals i la raó és 40/60 que és igual a 2/3. Per a calcular quantes pomes ha agafat Pau escrivim la proporció següent:
90 pomesMaria
pomesPau
60 pomesMaria
40 pomesPau x
La relació: “Pau agafa 2/3 de pomes de les què agafa Maria” es modelitza amb una funció lineal :
f(x)= 2x / 3 Les magnituds directament proporcionals complixen les relacions següents:
f(a+b) = f(a) + f(b)
f(ka) = k f(a)
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
La figura 7 és el nombre de cercles de la primera més 6 vegades quatre cercles: 5 + 6 x 4 = 29 cercles.
La figura 25 té 5 + 24 x 4 = 101 cercles.
La regla general és: “5 més 4 vegades el número de la figura menys 1” o “ 5 + (n-1) x 4”
Solució amb un mètode directe:
Es pot veure que cada configuració està formada per 4 configuracions iguals de 2, 3 o 4 punts respectivament en les figures 1, 2 i 3 (veure Figura 2). Com tres cercles s'han comptat dos veus, cal restar 3:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
En la Figura 2 el recompte seria 4 x 3 cercles de cada configuració menys 3 que es van comptar dos vegades: 4 x 3 – 3 = 9.
En general: 4 x (n+1) – 3.
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
B
Pràctica 1. Problemes de combinatòria
Objectiu :
Resoldre problemes de compteig utilitzant operacions aritmètiques
elementals
I. Problemes per a discutir a classe
La botiga del café
En “La botiga del café” hi ha cinc models de tasses de café i tres models de plats. Quantes maneres hi ha de combinar les tasses amb els plats?
El país de les comunicacions
En el país de les comunicacions les ciutats A, B, C i D estan conectades com a mostra la figura de baix. Quantes formes distintes hi ha d’arribar de A a C, passant per B o per D.
Joguets
En una jogueteria hi ha 5 models de cotxes, 3 models de motos i 4 tipus de balons. Quantes formes hi ha de comprar dos objectes diferents?
Jugant al rogle
Set xiquets estan jugant al rogle. De quantes maneres distintes els xiquets poden formar el rogle?
Monedes
Cada vegada que llancem una moneda a l’aire ens ix cara o creu. Si llancem tres vegades una moneda i anotem els resultats, quantes seqüències diferents de cara i/o creu podem obtindre?
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Pràctica 2. Problemes de paritat.
Objectiu :
Resoldre problemes utilitzant el concepte de paritat.
I. Problemes per a discutir a classe
Engranatges
Onze engranatges estan col·locats en el pla formant una cadena com la que es mostra en la figura. Poden girar tots ells al mateix temps?
Cobrir el tauler
Podem cobrir un tauler com el de d’escacs però de dimensions 5 x 5 amb fitxes de dòmino de dimensions 1 x 2?
Rubles
És possible canviar un bitllet de 25 rubles utilitzant en total 10 bitllets d’1, 3 o 5 rubles?
Tauler retallat
En un tauler d’escacs 8 x 8 s’han llevat dos caselles d’extrems oposats. Es pot recobrir amb fitxes de dòmino de grandària 1 x 2?
II. Més problemes
Cavall ballarí
En un tauler d’escacs un cavall comença en la casella a1 (inferior esquerra) i torna a ella després de molts moviments. Demostra que el cavall realitza un nombre parell de moviments.
Catí i els seus amics
Catí i els seus amics i amigues estan dret en cercle, de manera que cada un estan entre dos del mateix sexe. Si hi ha cinc xiquets en el cercle, quantes xiquetes hi ha?
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Polígons
Provar que si un polígon de 7 costats (heptàgon) té un eix de simetria, el dit eix de simetria passa per un dels seus vèrtexs. Què podria dir-se de l’eix de simetria si el polígon tinguera 8 costats (octògon)?
Partida de dòmino
A l’acabar una partida de dòmino en què s’han col·locat totes les fitxes observem que el primer nombre de la cadena és un 5. Quin número apareix al final?
La llibreta de Pere
Pere va comprar una llibreta que tenia 96 fulls i les va numerar de l’1 al 192. Victor va arrancar 25 fulls del quadern de Pere i va sumar els 50 números dels citats fulls. El resultat de l’eixa suma pot ser igual a 1990?
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Tres números consecutius
Ompli els buits en blanc: La suma de tres nombres naturals consecutius sempre té com divisor (diferent d’1) _____________. La suma de cinc nombres naturals consecutius sempre té com divisor (diferent d’1) _____________. Demostra-ho.
Suma de dos primers
És possible que la suma de dos nombres primers siga un nombre primer? Per
què?
Un número menor que 40
“Sóc un nombre de dos dígits menor que 40. Sóc divisible només per un nombre primer. La suma dels meus dígits és un primer i la diferència entre els meus dígits també és un nombre primer. Quin número sóc?”
Sumant
Tria un nombre de quatre dígits. Invertix els dígits. Suma els dos números. El resultat és divisible per 11? Si la resposta és afirmativa intenta explicar per què.
Restant
Tria un número. Invertix els seus dígits. Resta el menor del major. Identifica quina propietat té la diferència en els casos següents:
El número és de dos dígits. El número és de tres dígits. El número és de quatre dígits.
Primers bessons
Dos primers que diferixen en 2 unitats són primers bessons. Per exemple 5 i 7, 11 i 13, 29 i 31 són primers bessons.
Busca els primers bessons menors de 100.
Demostra que la suma de dos primers bessons, excepte un cas, és un múltiple de 6.
Demostra que el producte de dos primers bessons, excepte un cas, és l’anterior a un número quadrat.
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Pràctica 4. Problemes de raó i proporció
Objectius :
Resoldre problemes de raó i proporció
Identificar situacions de proporcionalitat directa
I. Problemes per a discutir a classe
Jugant al bàsquet
Daniel i Carlos són jugadors de bàsquet i ocupen la mateixa posició en l’equip. L’entrenador vol conèixer quin jugador és més eficaç, per a això té les anotacions de l’últim partit disputat:
Daniel Carlos
Encerts en tirs lliures 4 de 6 6 de 9
Encerts en llançaments a canastra
5 de 10 10 de
Encerts en triples 2 de 4 2 de 3
Com pot esbrinar qui ha aconseguit millors resultats en cada un dels apartats de les anotacions?
María i Pablo
María i Pablo estan agafant pomes. Van començar al mateix temps però María és més ràpida. Quan Pablo ha agafat 40 pomes María hi ha agafat 60. Si María ha agafat 90 pomes, quantes hi ha agafat Pablo?
Músics
Un grup de 5 músics interpreten una peça musical en 10 minuts. Un altre grup de 35 músics interpretaran demà la mateixa peça musical, quant temps tardaran a interpretar- la?
Tren
Una locomotora de tren mesura 12 metres de longitud. Si s’enganxen 4 vagons el tren mesura 52 metres. Si es connecten 8 vagons, quant mesurarà el tren?+
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Compota de poma
Per a fer compota de poma per a 6 persones es necessita 1 quilogram de pomes, 50 grams de sucre moreno, 50 grams de sucre blanc i 1 llima. Quina quantitat es necessita de cada un dels ingredients per a 8 persones?
Contenidor
Per a descarregar un camió amb caixes de fruita 4 obrers han empleat 3 hores cada u. Quant temps empraran 6 obrers?
Dècim premiat
Tres amics compren un dècim de loteria. El primer amic aporta 5€, el segon 6€ i el tercer 9€. Com el número ha resultat premiat amb 100.000 €, decidixen repartir-se el premi proporcionalment a les quantitats aportades per cada u. Quina quantitat li correspon a cada amic?
Creuer pel Mediterrani
Un creuer pel Mediterrani per a 200 persones durant 15 dies necessita, per a despeses d’allotjament i menjar, 54.000 €. Quant es gastarà per a allotjar i alimentar a 250 persones durant 10 dies?
Cadena de muntatge
En una cadena de muntatge, 17 operaris, treballant 8 hores al dia, acoblen 850 aparells de ràdio a la setmana. Quantes hores diàries han de treballar la setmana que ve, per a atendre una comanda de 1000 aparells, tenint en compte que s’afegirà un reforç de 3 treballadors?
Didàctica de la Matemàtica
Aprenentatge de l’Aritmètica (17213). Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Pràctica 5. Problemes d’identificació de patrons
Objectiu :
Resoldre problemes de recompte en què es demana:
- Continuar la successió.
- Calcular un terme ‘pròxim’.
- Calcular un terme ‘llunyà’.
- Expressar verbalment la regla que permet calcular els diferents termes.
- Expressar simbòlicament la regla que permet trobar el terme enèsim de la successió.
- Identificar en un terme donat el nombre d’elements que el composen
I. Problemes per a discutir a classe
Configuracions puntuals
Figura 1 Figura 2 Figura 3 a) Continua dibuixant fins a la figura 5. b) Quants cercles formen la figura 7? Justifica la resposta. c) Quants cercles formen la figura 25? Respon a esta qüestió utilitzant dos procediments diferents. d) Busca una regla general per a calcular el nombre de cercles necessaris per a construir la figura n. Justifica la resposta.
Mistos 1
Continúa la successió fins a tindre 6 quadrats alineats:
Si el costat de cada quadrat és un misto: a) Quants mistos es necessiten per a construir 6 quadrats alineats com els del dibuix? b) Quants mistos es necessiten per a construir 28 quadrats alineats? c) Busca una regla general per a calcular el nombre de mistos necessaris per a tindre n quadrats alineats.
