¡Descarga tema 3 y más Apuntes en PDF de Psicología solo en Docsity!
Tema 3. Estadísticos univariados: tendencia
central, variabilidad, asimetría y curtosis
1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
La media aritmética
La mediana
La moda
Comparación entre las medidas de tendencia
central
2. MEDIDAS DE VARIACIÓN
La varianza y la desviación típica
Otras medidas de variación
3. PROPIEDADES DE LA MEDIA Y LA VARIANZA
4. ASIMETRÍA Y CURTOSIS
5. EJERCICIOS
__________________
Bibliografía: Tema 3 (pág. 85-117)
Ejercicios recomendados: 1, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 12,
25, 27, 28 y 30.
1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA MEDIA ARITMÉTICA, X
Informa sobre la tendencia general de la variable X en una muestra de N sujetos
Fórmula:
Xi
X
N
Ejemplo 1: X : 4, 5, 2, 5. Donde:
X
- La media aritmética es el índice de tendencia central más utilizado.
- Sólo puede calcularse para variables cuantitativas
- Es muy sensible a valores extremos (distribuciones marcadamente asimétricas)
Conocida X , las puntuaciones Xi (o puntuaciones directas ) pueden expresarse como desviaciones a la media grupal. Esto es, como las denominadas
Puntuaciones diferenciales : xi ^ Xi X
Con los datos del Ejemplo 1, x : 0 1 -2 1
Donde: ( X^^ i ^ X )^ ^0 (o bien x = 0). Por tanto, x^ ^0
( )^2
X^ i ^ X ....^ (o bien^ x
Con los datos del Ejemplo 1: x^2 = 0 + 1+ 4 + 1 = 6
LA MEDIANA, Mdn Puntuación en X que divide la distribución en dos partes iguales: deja por debajo y por encima de sí al 50% de las observaciones
Cálculo: Ejemplo 2: 7, 11, 6, 5, 7, 12, 9, 8, 10, 6, 9. 1º. Se ordenan los datos de menor a mayor: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12. 2º. Si N es impar: Mdn = valor central. En el Ejemplo 2, Mdn = 8
Si N es par: Mdn = media aritmética de los valores centrales: 2
Mdn 1 (^) Mdn 2
3º. Mdn también puede obtenerse calculando el centil 50 de la distribución.
Mdn se diferencia de X en que no se ve afectada por los valores extremos que pueda tomar la variable X
LA MODA, Mo Valor de la variable X que más aparece en nuestros datos (el que obtiene la mayor frecuencia absoluta n (^) i ) En el Ejemplo 1: X : 4, 5, 2, 5. Donde Mo = 5.
- Si hay dos valores de X con la ni mayor, la distribución es bimodal (si estos valores son cercanos, para calcular Mo puede hallarse la media de ambos).
La Varianza,
2
S X
Es el promedio de las distancias al cuadrado desde los valores en X hasta la media X (es decir, de las puntuaciones diferenciales al cuadrado) en una muestra de n sujetos.
Fórmulas:
2
S^2 (^ i )
X
X X
N
2
S^2 i
X
x
N
(en puntuaciones diferenciales)
Fórmula alternativa:
2 2 2
S X i
X
X
N
En el Ejemplo 1: Xi : 4, 5, 2, 5. X 4 x (^) i : 0, 1, -2, 1.
x (^) i^2 : 0, 1, 4, 1. 2
S X
O bien: 2 2
S X
La Desviación Típica, SX
S S^2
X X
En el Ejemplo 1: 2
S X S X 1,5 1, 22
La Cuasivarianza, 2
SN -
2 2
i N
X X
S
N
Propiedades:
2 2
SN SN -1;
2 2
( N ) S N ( N -1) SN -
OTRAS MEDIDAS DE VARIACIÓN
Amplitud total o rango: AT = Xmáx - Xmín
Coeficiente de variación : X 100
S
CV
X
3. PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DE LA VARIANZA
1. X puede tomar cualquier valor mientras que S (^) X^2 y S (^) X son siempre positivas, siendo su valor mínimo 0. 2. Si tenemos una misma variable X que ha sido medida en k grupos y conocemos las medias y varianzas en cada grupo, entonces podemos calcular los estadísticos globales:
1 1 2 2 1 2
k k T k
N X N X N X
X
N N N
Ejemplo 4:
2 2
2 j j j (^ j^ T )
T j j
N S N X X
S
N N
X 1 X 2 X 3
Ni 6 3 4
X (^) i 2 3 5 2 S i (^) 4 5 6
6(2) 3(3) 4(5) 3, T 6 3 4
X
2 2 2 2 6(4)^ 3(5)^ 4(6)^ 6(2^ 3,15)^ 3(3^ 3,15)^ 4(5^ 3,15)^ 6, T 13 13
S
Se utiliza más que la varianza porque al calcular la raíz cuadrada se retoman las unidades de medida originales para resumir las distancias entre las X y la (^) X.
4. ASIMETRÍA Y CURTOSIS
Además de la tendencia central y la variación, hay otras dos características que nos permiten describir una distribución de frecuencias. Tienen que ver con la forma de la distribución. Se trata de la asimetría y la curtosis.
Índice de asimetría La asimetría de una distribución hace referencia al grado en que los datos se reparten por encima y por debajo de la tendencia central.
Índice:
3
S^3
i X
x
As
N
. Donde, x^3 i^ ( X (^) i X )^3
X (^0123456)
A B C
- (^) Nota: el índice mostrado es el más común, aunque sólo puede calcularse para variables donde pueda obtenerse la media y la varianza ( cuantitativas ).
Índice de curtosis La curtosis hace referencia al grado de apuntamiento de una distribución.
Índice:
4
S^4
i X
x Cr N
(^). Donde, 4 ( ) 4 xi X (^) i X
X^0123456
A
B
C
Ejemplo 5 Xi x (^) i x (^) i^2 x (^) i^3 x (^) i^4 2 -2 4 -8 16 4 0 0 0 0 8 4 16 64 256 2 -2 4 -8 16 : 16 0 24 48 288
Media: X = 4 Varianza: S^2 X = 6 S X = 2,
3 3 3
48 0, S (4)(2,45 )
i X
x As N
(^) ;
4 4 4 -3 288 3 1 S (4)(2,45 )
i X
x Cr N
INTERPRETACIÓN:
A. Si As > 0: Asimetría positiva B. Si As = 0: Simetría C. Si As < 0: Asimetría negativa
INTERPRETACIÓN:
A. Si Cr > 0: distribución Leptocúrtica B. Si Cr = 0: distribución Mesocúrtica C. Si Cr < 0: distribución Platicúrtica
EJERCICIO 6
La dirección general de tráfico está interesada en estudiar la educación vial en los jóvenes. Para ello selecciona una muestra aleatoria de sujetos que acaban de obtener el carnet de conducir ( grupo 1 ) y otra con sujetos que lo tienen hace 5 años ( grupo 2 ) y registra el nº de veces que han perdido puntos en el último año. Los resultados se muestran a continuación:
Grupo 1 : 1 2 4 1. X 1 2 S 12 1, 5
Grupo 2 : 2 7 7 8. X 1 6 S 12 5, 5
Calcule los índices de asimetría y curtosis para cada grupo y elabore la representación gráfica de las dos distribuciones en una sola gráfica. Interprete los resultados obtenidos.
