¡Descarga Análisis de la carga y el campo eléctrico en esferas conductores y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Electromagnetismo solo en Docsity!
3. Conductors i condensadors
3.1 Una esfera metàl·lica de radi R 1 té una càrrega Q 1. Es connecta mitjançant un fil conductor a una altra esfera metàl·lica de radi R 2 descarregada i molt llunyana. (a) Calculi la càrrega i el potencial de cadascuna de les esferes després de la connexió. (b) Determini per a cada esfera la densitat superficial de càrrega i el camp elèctric en un punt proper a la superfície. (A.N.: R 1 =1 m, R 2 =30 cm, Q 1 =1 nC). (c) Extrapoli els resultats de l’apartat anterior per concloure com es distribueix la càrrega en un conductor no esfèric. Aplicació als parallamps.
a) Els conductors esfèrics tenen capacitats:
C 1 = 4 πε 0 R 1 ; C 2 = 4 πε 0 R 2
Com el conductor 1 té una càrrega Q 1 , estarà a un potencial 1 1 1 1 4 0 1
Q Q
V
C πε R
En canvi, el conductor 2, com està descarregat i molt lluny del primer, V 2 = 0.
Quan es connecten, les dues esferes, juntament amb el fil conductor que les connecta, formen un únic conductor, amb la qual cosa, un cop assolit l’equilibri electroestàtic, totes dues esferes han d’estar al mateix potencial: V’ 1 = V’ 2.
La càrrega total del sistema s’ha de conservar: això vol dir que:
Q 1 (^) + Q 2 (^) = Q 1 ′ + Q 2 ′ on Q 2 =0 (ja que la 2 està inicialment descarregada)
Escrivint els potencials finals en terme de la càrrega que tindrem a cada conductor i de la seva capacitat tindrem que:
1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
Q Q Q Q R Q Q R
V V Q Q Q Q
R R R R R R R R
R
Q R
Q
R R
El potencial de les dues esferes en la situació final serà: ( )
1 1 2 (^40 1 )
Q
V V
πε R R
Si fem l’aplicació numèrica al cas R 1 (^) = 1 m ; R 2 (^) = 30 cm ; Q 1 =1 nC
V 1 (^) ′^ = V 2 (^) ′^ = 6,92 V Q 1 ′ = 769 pC Q 2 ′=231 pC
b) Com els conductors continuen estant molt allunyats, podem pensar que la càrrega sobre cadascun d’ells es distribuirà uniformement sobre les seves superfícies, i per tant:
( ) ( )
1 1 2 1 (^1 2 ) 1 1 1 2 2 2 1 2
Q Q Q Q
R R R R R R R R
En punts propers a la superfície dels conductors els camps seran:
( ) ( )
1 1 2 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 2 1 2
Q Q
E E
R R R R R R
Si fem l’aplicació numèrica al cas R 1 (^) = 1 m ; R 2 (^) = 30 cm ; Q 1 =1 nC
2 2
σ 1 ′^ = 61, 2 pC/m σ 2 ′^ = 204 pC/m E 1 ′^ = 6,92 V/m E 2 ′=23,1 V/m
El rellevant d’aquests resultats és que tot i que el conductor que tingui un radi més gran, emmagatzemarà més càrrega, la densitat superficial de càrrega del conductor de radi més petit serà més gran i, en conseqüència, també ho serà el camp en punts propers a la seva superfície.
Si R 1 > R 2 , la càrrega en 1 serà més gran, però la densitat de càrrega, i per tant el camp en la superfície, serà menor:
1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1
Q R R E R
Q R^ R^ E R
El camp serà més intens allà on el radi de curvatura sigui menor.
3.3 Determini la capacitat d'un condensador esfèric de radis a i b (a<b).
Un condensador esfèric està format per dues superfícies esfèriques concèntriques: la superfície d’un conductor esfèric de radi a i la superfície interior d’una escorça esfèrica de radi b. Per determinar-ne la capacitat, suposem que sobre la superfície de radi a hi ha una càrrega Q i sobre la de radi b una càrrega − Q Caldrà determinar la diferència de potencial entre les dues superfícies. Per a això cal determinar el camp en la regió entre els dos conductors i fer-ne la circulació. La capacitat serà:
a b
Q
C
V V
Per determinar el camp en la regió a < r < b apliquem el Teorema de Gauss a una superfície gaussiana esfèrica de radi r
E = E r a ( ) r dS = dS ar
( ) ( ) ( ) 4^2
S S S
∫ E dS ⋅^^ =^ ∫ E r^ ⋅^ dS^ =^ E r^ ∫ dS^ = E r^^ π r
2 2 2 0 0 0
r
Q Q Q
E r r E r E a r r
La diferència de potencial serà:
2 0 0 0 0
a a^ a a b b b b
Q dr Q Q Q b^ a V V E dl
πε r πε r πε a b πε a b
La capacitat del condensador esfèric serà:
0
0
a b
Q Q a b C V V Q b a b a a b
πε
πε
3.4 Un conductor esfèric de radi a està envoltat per una capa esfèrica conductora de radis b i c (b<c). Determini la distribució de càrregues en els conductors quan:(a) el conductor intern està connectat a un potencial V 1 i l'extern a un potencial V 2 ; (b) el conductor intern està aïllat amb una càrrega Q 1 i l'extern connectat a un potencial V 2. En aquest cas calculi el potencial del conductor intern.
a) En tractar-se de conductors, en equilibri electrostàtic només tindran càrrega distribuïda sobre les seves superfícies: El conductor esfèric 1, sobre la superfície de radi a : Q 1 (^) = Qa L’escorça conductora 2, sobre les seves superfícies interior i exterior: Q 2 (^) = Qb + Qc La superfície de l’esfera i la superfície interior de l’escorça estan en influència total, per tant: Q b = − Qa
Les superfícies de radis a i b formen un condensador esfèric. Del problema 3.3:
(^40) ab
a b C b a
Però també:
1 2
a a ab a b
Q Q
C
V V V V
Per tant:
(^0 1 0) ( 1 2 ) 1 2
a^4 a
Q a b a b Q Q V V V V b a b a
La càrrega sobre la superfície interior de l’escorça serà:
(^0) ( 2 1 )
b a
a b Q Q V V b a
La capacitat de la superfície externa de l’escorça és la d’un conductor de radi c :
Cc = 4 πε 0 c
Però també:
0 2 2
c c^ c c^4 c
Q Q
C Q cV V V
= = ⇒ = πε
La càrrega total del conductor 2 serà:
3.5 Determini per dos mètodes diferents l'energia electrostàtica d'un conductor esfèric de radi a que té una càrrega Q distribuïda uniformement.
Un primer mètode pot ser el càlcul a partir de la capacitat d’un conductor esfèric de radi a :
2 2 2 2 0 0
Q Q Q
C a U QV CV U C C a
El segon mètode és a partir de la integració de la densitat d’energia del camp:
2 0
v^2
U u dv u ε E
∞
La densitat d’energia tindrà una expressió diferent en cada regió en funció l’expressió del camp:
r < a E (^) I = 0 ⇒ uI = 0
(^2 ) 2 0 2 2 4 0 0 0
II r II
Q Q Q
r a E a u r r r
ε πε πε π ε
I II
I II v v v
U u dv u dv u dv ∞
Podem prendre el diferencial de volum com una escorça de radi interior r i gruix infinitesimal dr :
dv = 4 π r dr^2
2 2 2 2 2 4 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0
I II
a I II v v a a
a a
Q Q
U u dv u dv r dr r dr dr r r
Q dr Q Q r r a
∞ ∞
∞ ∞
3.6 Un condensador pla de plaques quadrades de costat a i separació d es carrega a una diferència de potencial V mitjançant una bateria. Després es desconnecta la bateria i es separen les plaques una distància 2d. Determini: (a) la càrrega de les plaques; (b) la nova capacitat del condensador; (c) la diferència de potencial entre les plaques; (d) el treball necessari per variar la separació de les plaques des de d fins a 2d.
La capacitat del condensador pla en la situació inicial és: 2 C^0 S^^0 a d d
La càrrega del condensador en la situació inicial és: 2 Q CV^0 a V d
En desconnectar-lo, mantindrà la seva càrrega i, per tant, la diferència de potencial entre les seves plaques.
En modificar la distància entre plaques, canviarà la capacitat del condensador: 2 0 2
a C d
′ =^ ε
Com la modificació es fa amb el condensador aïllat, la càrrega s’ha de mantenir constant: Q ′ = Q
Per tant, haurà de canviar la diferència de potencial entre les plaques:
2 0
2 0
a V Q (^) d V V C a d
El treball que ha de fer un agent extern per variar la distància entre les plaques serà l’increment de l’energia del sistema:
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
W ext = ∆ U = U ′ − U = Q V ′ ′− QV = Q V − QV = QV
2 2 0 2 ext
a V W d
3.8 Un condensador pla de capacitat C 0 té una distància entre les plaques d. Es col·loca entre les plaques un dielèctric de permitivitat relativa εr. (a) Si aquest procés es realitza mantenint aïllat el condensador amb càrrega Q 0 , determini la diferencia de potencial entre les plaques i el camp elèctric, abans i després del procés. (b) Si el procés es realitza mantenint connectat el condensador a una diferencia de potencial V 0 , determini la càrrega i el camp elèctric, abans i després del procés.
a) Si es manté aïllat, Q = Q 0. La capacitat del condensador s’incrementa pel fet de posar-hi
el dielèctric: C = ε rC 0
Abans d’introduir-hi el dielèctric:
0 0 0 0 0 0 0
Q Q
V
d
V
d
E
C C
Després d’introduir-hi el dielèctric:
0 0 0 0
r r
Q Q Q
V
d
E
C C d C
V
b) Si es manté connectat a la diferència de potencial ( V = V 0 ), en canviar la capacitat haurà de canviar la càrrega emmagatzemada.
Abans d’introduir-hi el dielèctric:
0 0 0 0 ;^0
V
d
Q = V C E =
Després d’introduir-hi el dielèctric:
0 0 r 0 ;
V V
d d
Q = VC = V ε C E = =
