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Matem´aticas
Tema 3: C´alculo con funciones elementales
Pablo S´anchez Moreno
Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de Granada
[email protected]
Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas
Curso 2014-
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 1 / 58
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 2 / 58
Objetivos
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^3) Funciones potenciales
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
4 Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
5 ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Objetivos
Objetivos de este tema
(^1) Realizar operaciones con funciones exponenciales, logar´ıtmicas,
potenciales y trigonom´etricas, de la misma forma que ya sabemos
realizarlas con polinomios.
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 5 / 58
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Funci´on exponencial f (x) = e
x
e
0 = 1, e
1 = e, e
x
0 , e
a+b = e
a e
b
l´ım x→+∞
e
x = +∞, l´ım x→−∞
e
x = 0
ex
− 2 − 1 1 2 e
e
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 6 / 58
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Funci´on logaritmo f (x) = ln(x)
ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a
b ) = b ln(a)
l´ım x→+∞
ln(x) = +∞, l´ım x→ 0
ln(x) = −∞
ex
ln(x)
− 2 − 1 1 2 e
e
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas Dominio maximal
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^3) Funciones potenciales
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
4 Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
5 ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas Derivaci´on
Ejemplos de derivadas
Ejemplos
f (x) = xex^ ⇒ f ′(x) = 1 · ex^ + xex^ = (1 + x)ex
f (x) = x^2 ln(x) ⇒ f ′(x) = 2x ln(x) + x2 1 x = 2x ln(x) + x
f (x) = ex
(^2) +3x ⇒ f ′(x) = ex
(^2) +3x (2x + 3)
f (x) = ln(8x) ⇒ f ′(x) =
8 x
x
f (x) = ln(8x^2 + 3ex) ⇒ f ′(x) =
16 x + 3ex
8 x^2 + 3ex
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 13 / 58
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas L´ımites y continuidad
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 14 / 58
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas L´ımites y continuidad
Tipo 3:
m 0
En este tipo de l´ımites se suelen tomar los l´ımites laterales. Pero esto no es necesario en el siguiente ejemplo, puesto que no se puede ir a +∞ por la
derecha:
Ejemplo
l´ım x→+∞
e
1 x 1 x
[
]
Calculemos los l´ımites de denominador y numerador:
l´ım x→+∞
x
l´ım x→+∞
e
1 x (^) = 1
Adem´as, como x → +∞, tenemos que (^1) x es siempre positivo.
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas L´ımites y continuidad
Tipo 6:
0 0
y
∞ ∞
mediante la regla de L’Hˆopital
Si l´ım x→a
f (x)
g(x)
es del tipo 00 ´o ∞∞ , entonces
l´ım x→a
f (x)
g(x)
= l´ım x→a
f ′(x)
g′(x)
Guillaume de l’Hˆopital
(Par´ıs 1661 - 1704)
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas L´ımites y continuidad
Tipo 6:
0 0
y
∞ ∞
mediante la regla de L’Hˆopital
Ejemplo 1
l´ım x→ 1
2 x − 2
ln(x)
[
]
L’Hˆopital
l´ım x→ 1
1 x
= l´ım x→ 1
2 x = 2
Ejemplo 2
l´ım x→+∞
ex
ln(x)
[
]
L’Hˆopital
l´ım x→+∞
ex 1 x
= l´ım x→+∞
xe
x = +∞
Ejemplo 3
l´ım x→−∞
ln
− (^1) x
x^3 − 1
[
]
L’Hˆopital
l´ım x→−∞
1 x^2 − (^1) x
3 x^2
= l´ım x→−∞
1 x 3 x^2
= l´ım x→−∞
3 x^3
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 17 / 58
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas L´ımites y continuidad
Tipo 7:
∞ l
Si l´ım x→a
f (x) = +∞, y l´ım x→a
g(x) = l 6 = 0, entonces
l´ım x→a
f (x)
g(x)
+∞, si l > 0 −∞, si l < 0
Si l´ım x→a
f (x) = −∞, y l´ım x→a
g(x) = l 6 = 0, entonces
l´ım x→a
f (x)
g(x)
−∞, si l > 0
+∞, si l < 0
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 18 / 58
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas L´ımites y continuidad
Tipo 7:
∞ l
Ejemplos
l´ım x→+∞
x^2 − 3
e−x^ + 1
[
]
l´ım x→ 0 +
ln
1 x
x + 2
[
]
l´ım x→+∞
ln(x) 1 x −^1
[
]
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas L´ımites y continuidad
Continuidad
Las funciones exponenciales y logar´ıtmicas son continuas en sus dominios maximales.
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas Integraci´on
Tabla de integrales generalizadas
t
′ (x)e
t(x) dx = e
t(x)
t
′ (x)a
t(x) dx =
at(x)
ln(a)
+ C
Ejemplo ∫
4 e
4 x dx = e
4 x
∫
e^4 xdx =
4 e^4 xdx =
e^4 x^ + C
∫
(2x − 1)ex
(^2) −x dx = ex
(^2) −x
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 25 / 58
Funciones potenciales
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 26 / 58
Funciones potenciales
Funciones potenciales
Las funciones potenciales contienen potencias de cualquier tipo:
f (x) = x
1 3
f (x) =
ex^ + x^2 = (ex^ + x^2 )
1 2
f (x) =
5
ln(x) + x^5 = (ln(x) + x
5 )
1 5
f (x) = x
7
Funciones potenciales Dominio maximal
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^3) Funciones potenciales
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
4 Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
5 ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Funciones potenciales Dominio maximal
Dominio maximal de una ra´ız de orden par
Cualquier ra´ız de orden par debe tener radicando no negativo:
n
f (x) = (f (x))
1 n (^) (n par)
est´a definida si y solo si f (x) ≥ 0.
Ejemplo 1
f (x) = (x + 2)
1 (^4) = 4
x + 2
El radicando es no negativo cuando
x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ − 2
Dommax(f ) = [− 2 , +∞)
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 29 / 58
Funciones potenciales Dominio maximal
C´alculo del dominio maximal
Ejemplo 2
f (x) = ln(x + 2)
3 − x
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 30 / 58
Funciones potenciales Dominio maximal
C´alculo del dominio maximal
Ejemplo 3
f (x) = ln(x + 1)
3 − x^2
El argumento del logaritmo es positivo cuando
x + 1 > 0 ⇒ x > − 1
El radicando es no negativo cuando
3 − x^2 ≥ 0
Funciones potenciales Dominio maximal
C´alculo del dominio maximal
Ejemplo 3 (Continuaci´on)
Para determinar cu´ando
3 − x
2 ≥ 0
Buscamos los puntos donde 3 − x^2 = 0 ⇒ x^2 = 3, que son x =
3 y x = −
- Dividimos as´ı la recta real en tres intervalos: (−∞, −
- y (
Para saber qu´e signo tiene la funci´on en estos intervalos, evaluamos la funci´on 3 − x^2 en alg´un punto del interior de estos intervalos. Por
ejemplo: f (−2) = − 1 < 0 , f (0) = 3 > 0 y f (2) = − 1 < 0.
3 − x^2
√ − 3
Funciones potenciales L´ımites y continuidad
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 37 / 58
Funciones potenciales L´ımites y continuidad
Tipo 6:
0 0
y
∞ ∞
mediante la regla de L’Hˆopital
Ejemplo
l´ım x→ 2
x^2 − 4 x + 4 √ 3 x − 2
[
]
= l´ım x→ 2
x^2 − 4 x + 4
(x − 2)
1 3
L’Hˆopital
l´ım x→ 2
2 x − 4 1 3 (x^ −^ 2)
− (^23)
= l´ım x→ 2
(2x − 4)3(x − 2)
2 (^3) = 0
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 38 / 58
Funciones potenciales L´ımites y continuidad
Tipo 8: ∞ − ∞ mediante conjugados
Esta t´ecnica se suele emplear cuando aparecen polinomios y/o ra´ıces.
Ejemplo
l´ım x→+∞
(2x −
4 x^2 − 1) = [∞ − ∞]
= l´ım x→+∞
(2x −
4 x^2 − 1)(2x +
4 x^2 − 1)
2 x +
4 x^2 − 1
= l´ım x→+∞
4 x^2 − (4x^2 − 1)
2 x +
4 x^2 − 1
= l´ım x→+∞
2 x +
4 x^2 − 1
Suma por diferencia es diferencia de cuadrados
(a + b)(a − b) = a^2 − b^2
Funciones potenciales L´ımites y continuidad
Continuidad
Las funciones potenciales son continuas en sus dominios maximales.
Funciones potenciales Integraci´on
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 41 / 58
Funciones potenciales Integraci´on
Tabla de integrales generalizadas
Ya sabemos c´omo integrar potencias de funciones, con la f´ormula:
t′(x) [t(x)]
a dx =
[t(x)]
a+
a + 1
+ C
Ejemplos
∫
(3x
2
3
1 (^7) dx =
(x^3 + x)
8 7 8 7
+ C =
7(x^3 + x)
8 7
8
+ C
(4x+3)
2 x^2 + 3x dx =
(4x+3)(2x^2 +3x)
1 (^2) dx =
(2x^2 + 3x)
3 2 3 2
+C
2(2x^2 + 3x)
3 2
3
+ C
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 42 / 58
Funciones trigonom´etricas
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^3) Funciones potenciales
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
4 Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
5 ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Funciones trigonom´etricas
Funciones seno y coseno
Funci´on seno sen(x)
sen
π
2
= − 1 sen(0) = 0 sen
π
2
= 1 sen(π) = 0
− 1 ≤ sen(x) ≤ 1
sen(x) = − sen(−x)
sen(x)
−π (^) − π 2
π 2
π
Funciones trigonom´etricas Derivaci´on
Ejemplos de derivadas
Ejemplos
f (x) = sen(x^2 + 3x) ⇒ f ′(x) = cos(x^2 + 3x)(2x + 3)
f (x) = 4x + sen(x) ⇒ f ′(x) = 4 + cos(x)
f (x) =
x^2
cos(x)
⇒ f
′ (x) =
2 x cos(x) − x^2 (− sen(x))
(cos(x))^2
2 x cos(x) + x^2 sen(x)
(cos(x))^2
f (x) = ln(cos(x)) ⇒ f ′(x) =
cos(x)
(− sen(x)) = −
sen(x)
cos(x)
f (x) = ln(x cos(x)) ⇒ f ′(x) =
x cos(x)
(cos(x) − x sen(x))
x
sen(x)
cos(x) Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 49 / 58
Funciones trigonom´etricas L´ımites y continuidad
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 50 / 58
Funciones trigonom´etricas L´ımites y continuidad
Tipo 6:
0 0
y
∞ ∞
mediante la regla de L’Hˆopital
Todos los tipos de l´ımites se calculan como ya hemos estudiado. Aqu´ı vemos un ejemplo con la Regla de L’Hˆopital:
Ejemplo
l´ım x→ 0
x
sen(x)
[
]
L’Hˆopital
l´ım x→ 0
cos(x)
Funciones trigonom´etricas L´ımites y continuidad
Continuidad
Las funciones trigonom´etricas son continuas en sus dominios maximales.
Funciones trigonom´etricas Integraci´on
(^1) Objetivos
(^2) Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Dominio maximal
Derivaci´on L´ımites y continuidad
Integraci´on
3 Funciones potenciales
Dominio maximal Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^4) Funciones trigonom´etricas
Derivaci´on
L´ımites y continuidad Integraci´on
(^5) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 53 / 58
Funciones trigonom´etricas Integraci´on
Funciones trigonom´etricas
Funciones trigonom´etricas ∫
sen(x)dx = − cos(x) + C
∫
cos(x)dx = sen(x) + C
Ejemplo ∫
(sen(x) + cos(x)) dx = − cos(x) + sen(x) + C
Pablo S´anchez Moreno Tema 3: C´alculo con funciones elementales 54 / 58
Funciones trigonom´etricas Integraci´on
Tabla de integrales generalizadas
t′(x) sen(t(x))dx = − cos(t(x)) + C
∫
t
′ (x) cos(t(x))dx = sen(t(x)) + C
Ejemplo ∫
(3x
2
3
2 )dx = − cos(x
3
2 ) + C
∫
ex^ cos(ex)dx = sen(ex) + C
Funciones trigonom´etricas Integraci´on
Tabla de integrales generalizadas
Y podemos usar las otras f´ormulas que ya conocemos:
Ejemplos ∫
cos(x)(sen(x))^2 dx =
(sen(x))^3
3
+ C
cos(x)
sen(x)
dx = ln | sen(x)| + C
∫ sen(x)
cos(x)
dx = −
− sen(x)
cos(x)
dx = − ln | cos(x)| + C
