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TEMA 4: CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN EL MODELO DE REGRESIÓN
MÚLTIPLE
4.1 Introducción al contraste de hipótesis 4.2 Contrastes de hipótesis sobre un solo parámetro: el estadístico t 4.3 Contrastes de hipótesis sobre un conjunto de parámetros: el estadístico F 4.4 Contrastes de estabilidad estructural 4.5 Predicción
Objetivos del Tema 4:
- Necesidad de realizar inferencia en el MRL
- Principios generales de los contrastes de hipótesis
- Estadístico t para contrastes acerca de un solo parámetro
- Estadístico F para contrastar cualquier conjunto de restricciones lineales sobre uno o
varios parámetros
- Predicción puntual
- Predicción por intervalos
4.1 Introducción al contraste de hipótesis
Supongamos que especificamos el siguiente modelo de determinación de salarios:
Wi = β 1 +β 2 exp erienciai +β 3 edadi +β 4 sexoi + β 5 NEi + u i
Podríamos hacernos, entre otras, las siguientes preguntas, ¿Hay discriminación por razón de sexo? ¿Influye la edad en el salario?
Otro ejemplo:
Salest = β 1 +β 2 pricet +β 3 presst + β 4 TVt + u t
¿Influye la publicidad en TV en las ventas? Al obtener βˆ^4 y si es bastante pequeño
cabe pensar que es igual a 0, pero ¿con qué nivel de confianza?
Para contestar a estas preguntas hemos de realizar contrastes de hipótesis. Para realizar cualquier contraste de hipótesis es necesario:
- Establecer claramente la hipótesis nula, que se desea contrastar, y la alternativa.
- Construir un estadístico para contrastar la hipótesis formulada
- Definir una regla de decisión (que nos permitirá rechazar o no la hipótesis nula)
Nivel de significación del contraste (α): la probabilidad de rechazar incorrectamente la hipótesis nula. Valor crítico : El valor umbral que delimita la región de aceptación y rechazo del contraste estadístico. p-value : La probabilidad, asumiendo que la hipótesis nula es correcta, de observar un resultado al menos tan extremo como el del estadístico. Si el estadístico es mayor que el valor crítico para el nivel de significación o el p-value es menor que el nivel de significación: la hipótesis nula es rechazada
La distribución t de Student es simétrica y converge a la distribución normal cuando el número de grados de libertad es grande.
A partir de este resultado, se puede hacer contrastes tales como:
H 0 :β k = d k
( ) nk
k dk t k
Ejemplo:
Contraste de una y dos colas
4.3 Contrastes de hipótesis sobre un conjunto de parámetros: el estadístico F
Contrastes mediante la suma de cuadrados de los residuos:
- Estimar el modelo sin restricciones (SCR del modelo general o sin restricciones)
- Estimar el modelo imponiendo las restricciones de la hipótesis nula (SCR del modelo restringido)
Entonces se calcula el estadístico siguiente:
( )
rn k iG
iR iG F
n k
u
r
u u
→ −
−
∑
∑ ∑
2 ,
2 2
que es equivalente a^1 :
n k
R
r
R R
G
G R
2
2 2
Vamos a ver el caso (particular) de significatividad conjunta del modelo.
Yi =β 1 +β 2 X 2 i +β 3 X 3 i +β kXki + u i
H 0 : β 2 = β 3 == β k = 0
H 1 : Notodoslos β son cero
Fk n k
n k
R
k
R
2 1 ,
2
4.4 Contrastes de estabilidad estructural
El contraste de estabilidad estructural de lo veremos en el tema 5
4.5 Predicción
En Economía y también en el mundo de la empresa interesa muchas veces disponer de técnicas para predecir el valor futuro de una variable (Y). Hay múltiples métodos de predicción (cualitativos y cuantitativos).
Hasta ahora nos hemos centrado en obtener y contrastar hipótesis acerca de los parámetros del MRL. En este tema utilizaremos nuestro MRL para anticipar el comportamiento futuro de la variable endógena, es decir PREDECIR Y.
(^1) Sólo es necesario dividir numerador y denominador por SCT.
Bajo las h.e.b. el error de predicción tendrá la siguiente distribución:
0 0 (^2 ˆ)
Y − Y → N σ Y − Y
Puesto que
E [ Y 0 − Y ˆ 0 ] = E [θ 0 + u 0 −θˆ 0 ] =θ 0 −θ 0 = 0
Alternativamente,
( ) nk Y Y
t
Y Y
− −
2 ˆ
0 0
0 0
Para un nivel de confianza 1-α se tendrá que:
( )
− α^ ≤ − ≤ α = − − −
− ˆ ]^1
Pr [ /^2 ˆ
/ (^200) 0 0
n k Y Y
n k t
Y Y
ob t
Por tanto, un intervalo de probabilidad para el valor individual queda definido por:
[ Y ˆ 0^ − tn α −/ k 2 σˆ Y 0 − Y ˆ 0 ; Y ˆ 0 + tn α−/ k^2 σˆ Y 0 − Y ˆ 0 ]
Ejemplos:
- Para una muestra de 61 individuos se dispone de las siguientes variables:
LSALARIO= Logaritmo del salario EDUCAC= Años de educación EXPLAB= Años de experiencia laboral SEXO= Variable dicotómica que toma valor 1 si el individuo es hombre y 0 si no lo es
Se pretende analizar los distintos factores que determinan el salario de los individuos. Utilizando los resultados del CUADRO 1:
a) Estime el sueldo (en logaritmo) que cobraría un hombre con 4 años de experiencia y 10 años de educación b) Proporcione un intervalo de predicción al 90% para el logaritmo del salario (para la misma persona del apartado anterior) [Nota: suponga que la desviación típica del error de predicción es 2]
CUADRO 1
- Se ha estimado el siguiente modelo de demanda de vivienda con observaciones anuales correspondientes al período 1970-2004:
(0,15) (0,05) (0,02) (0,04)^1 2
ln 0,39 0,31ln 0 , 67 ln 0 , 70 ln ;
0,99; 0,
V (^) t Rt Pt Vt
R DW
∧ = − + − + −
= =
donde V es el gasto en vivienda, R es la renta disponible, P es el precio de la vivienda. Entre paréntesis aparecen las desviaciones típicas. Además se dispone de la siguiente información:
ln R 2005 =10,2; ln P 2005 =2,7; ln V 2004 = 5,
a) Obtenga el valor del predictor puntual del gasto en vivienda para el año 2005. Obtenga el intervalo de predicción, sabiendo que la desviación típica del error de predicción es 0,45.
Solución
ln V ˆ 05 =− 0 , 39 + 0 , 31 * 10 , 2 − 0 , 67 * 2 , 7 + 0 , 7 * 5 , 8 = 5 , 023
Intervalo de predicción: ( 5 , 023 ± t 310 ,^025 0 , 45 ) =( 5 , 023 ± 2 , 042 * 0 , 45 ) =( 4 , 104 5 , 942 )
H 1 : β 3 < 1
ˆ 3
=^3 −^3 = − =−
t t 560 ,^05 ≅− 1 , 671
No se rechaza la hipótesis nula por lo que β 3 no es menor que 1.
d) H 0 : β 1 =β 3 = 0
H 1 :Notodoslos βson cero
341 , 63 ( 1 0 , 923 )/( 60 3 )
2
2
− −
R n k
R k F F 20 , , 5705 ≅ 3 , 15
Se rechaza H 0. Los parámetros con conjuntamente significativos.
APÉNDICE
Distribución probabilística de la suma de los cuadrados de los residuos
Si u i → N ( 0 , σ^2 ) ( 0 , 1 )
u (^) i → N
La distribución Chi-cuadrado χ n^2 : Es una suma de variables aleatorias N(0,1)
independientes al cuadrado.
Por tanto, 2 1
2 2
n
n
i
ui χ σ ∑ → =
En el caso de los residuos como tan solo son linealmente independiente n-k tendremos que
2 1
2 2 ˆ
nk
n
i
u (^) i −
∑ →χ
Una distribución t de Student con n grados de libertad se define de la siguiente forma:
n
x t n
n (^) 2
donde x es una variable N(0,1) y la chi-cuadrado con n grados de libertad es independiente estadísticamente de x.
Luego, (^) nk i
k k
t
n k
u
k → −
∑
2
ˆ
1 ˆ
β
Operando queda la expresión del estadístico del apartado 4.
( )
( )
( )
n k
k k
k k
k k
k k
i
k k i
k k
k k
t
n R S n R S
n k
u n k
u
n R S
k
∑ ∑ σβ
ˆ 2
2
2 2
2
ˆ
