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Tema 4 Elección y demanda. Apuntes de Microeconomía para ADE
Tipo: Apuntes
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4.1. Introducción 4.2. La elección óptima 4.3 Ajuste de funciones de utilidad 4.4 La demanda del consumidor 4.4. Tipos de bienes 4.5. La función inversa de demanda 4.6. Ejemplos Glosario Preguntas tipo test Problemas Soluciones a las preguntas tipo test Soluciones a los problemas
Si combinamos lo aprendido en los temas 2 y 3, podemos examinar las decisiones de consumo de cestas de bienes disponibles que realizan los individuos. Esto constituye su elección óptima que nos indica que los individuos eligen la mejor cesta que pueden adquirir. Es decir, eligen de entre su conjunto presupuestario aquella que les proporciona mayor utilidad. La demanda, o la función de demanda, nos va a facilitar expresar la relación entre las cantidades de bienes (o servicios) que los individuos pueden elegir, los precios de dichos bienes y la renta de que disponen. Por tanto, dado el comportamiento, estas funciones recogerán las cantidades óptimas de bienes en función de los precios de los bienes y la renta de los consumidores. En consecuencia, en este capítulo vamos a estudiar el problema fundamental al que se enfrenta el consumidor, que es elegir la cesta de bienes que prefiere, es decir, que satisface sus preferencias, de entre todas las cestas de bienes que pertenecen a su conjunto presupuestario, esto es, que cumplen la restricción presupuestaria a la que se enfrenta el consumidor en su elección. Sabemos que el consumidor no puede gastar en adquirir ambos bienes, dados sus precios, más dinero que la renta de que dispone. Entonces, llegaremos al equilibrio que tendrá lugar cuando el consumidor elige la cesta de bienes que, siendo asequible o alcanzable para él, maximiza su nivel de utilidad. Para el estudio de las decisiones del consumidor utilizaremos todas las herramientas estudiadas en capítulos previos y, en este, introduciremos la función de demanda que nos ayudará a explicar la cantidad demandada por un individuo (la demanda de todos los individuos o demanda del mercado se estudia en el tema 6) en función del precio del bien, del precio de otros bienes (como manejaremos sólo dos bienes, el precio del otro bien) y de la renta del consumidor. En el resto del tema estudiaremos cómo se determina la elección del consumidor y cómo se llega a las funciones de demanda, dadas las funciones de utilidad. Una vez tengamos derivadas las funciones de demanda, explicitaremos sobre la base de la relación entre la cantidad demandada, los precios de los bienes y la renta del consumidor, los diferentes tipos de bienes que podremos encontrar (en la teoría y en la realidad). El capítulo termina con algunos ejemplos de funciones de utilidad y las funciones de demanda a las que dan lugar.
en el gráfico u^0 ) todas las cestas son indiferentes entre sí, el nivel de utilidad de todas será el mismo que proporciona la cesta G, e igual a u(G) = u^0. Gráfico 4.1. Curva de indiferencia u^0 =u(X 1 ,X 2 ) Gráfico 4.2. Función de utilidad u=u(X 1 , X 2 ) La línea curva de pendiente negativa que pasa por G se llama curva de indiferencia. Estas curvas nos permiten saber cómo es la función de utilidad “u” que, para dos bienes, es una superficie tridimensional (Gráfico 4.2). Cada curva de indiferencia es el perfil de un corte horizontal a esa superficie 3D. Cuanto más lejos está la curva de indiferencia del origen de coordenadas, más alto será el nivel de utilidad (porque corresponde con cestas que cuentan con mayor cantidad de bienes - no saciedad-). La pendiente en cada punto de la curva de indiferencia (que hemos denominado relación marginal de sustitución, RMS) es la razón de las utilidades marginales de los bienes X 1 y X 2 (u 1 /u 2 ), que a su vez son las correspondientes derivadas parciales de la función “u”. Conocidos esos perfiles de corte (curvas de indiferencia), conocemos la superficie de la función de utilidad de la misma forma que podemos reconstruir la forma de un objeto escaneándolo. Ya sabemos la forma que tiene la función de utilidad. La restricción presupuestaria (tema 3) se representa como una recta (llamada “recta de balance”) de pendiente negativa igual a – p 1 /p 2 (basta despejar X 2 para verlo, aunque los detalles de la forma en la que se realiza se han facilitado en el capítulo anterior). El consumidor, por tanto, resuelve el siguiente problema de maximización condicionada: u X 1 X 1 ’ X 2 0 X 2 I II X 2 G u^0 III IV (^0) X 1 g X 1
Max u = u(X 1 , X 2 ) s.a. m = p 1 X 1 + p 2 X 2 Se resuelve por el método de Lagrange (optimización matemática) que gráficamente se traduce en “tocar” la curva de indiferencia más alta posible con la restricción presupuestaria (Gráfico 4.3). Allí donde una curva y una recta se tocan tendremos un punto de tangencia como A. Gráfico 4.3. Punto de tangencia, donde RMS = - p 1 /p 2 En el punto de tangencia la pendiente de la recta y de la curva son iguales. Por tanto, resolver este problema matemático de optimización equivale a encontrar en qué punto del espacio la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia tienen la misma pendiente (u 1 /u 2 = p 1 /p 2 , o bien u 1 /p 1 = u 2 /p 2 ). Esa igualdad se obtiene también matemáticamente del problema de maximización arriba indicado, sin necesidad de saber que se trata de una igualdad de pendientes. Es la situación representada en el Gráfico 4.3 mediante el punto A, que representa una determinada cesta (cantidades de los bienes X 1 y X 2 ), que garantiza que la elección que realiza el consumidor es óptima. 4.3. AJUSTE DE FUNCIONES DE UTILIDAD X 2 A u^0 0 X 1
(^2 ) 1 marginal es la variación que tiene lugar en la utilidad del consumidor cuando varía en una unidad suficientemente pequeña la cantidad consumida del bien, permaneciendo constante la cantidad consumida del otro bien. Como se ha supuesto que el consumidor siempre prefiere consumir una mayor cantidad de cualquiera de los bienes, entonces las utilidades marginales de ambos bienes tienen que ser necesariamente positivas y, normalmente, no serán constantes, sino que dependerán de la cantidad consumida de ambos bienes. Situados sobre una curva de indiferencia (u^0 ) como en el Gráfico 4, pasamos de una cesta de bienes a otra muy próxima a la primera. El cociente entre la variación de la cantidad consumida del segundo bien (X 2 ), X 2 = X 1 - X 0 dividido por la variación consumida del primer bien (X 1 ), X 1 = X 1 – X 10 , es, por definición, la relación marginal de sustitución. La RMS, tal como está definida, es la pendiente en un punto determinado de la curva de indiferencia de que se trate. Por ello, la RMS no es constante en general, sino que varía a medida que varían las cantidades demandadas de ambos bienes. De hecho, decrece en valor absoluto a medida que nos desplazamos a lo largo de una curva de indiferencia en sentido descendente, es decir, a medida que aumenta la cantidad demandada de X 1 y se reduce la cantidad demandada de X 2 , ya que la pendiente de la curva de indiferencia también disminuye en valor absoluto, tal como se puede observar en el Gráfico 4.4. En el Gráfico 4.5 se presenta la derivación de la función de utilidad desde las curvas de indiferencia del consumidor, de forma que se pueden observar las propiedades que tienen las X 2 B dX 2 RMS^ =^ -^ p^1 /p^2 ppp 1 ppppp dX 2 /dX 1 A X 2 dX 1 u 0 (^0) X 1 X 1 Gráfico 4.4. Relación Marginal de Sustitución
curvas de indiferencia y las propiedades que debe satisfacer la función de utilidad derivada. No obstante, el concepto de utilidad es ordinal, aunque lo medimos comparando valores que producen dichas funciones. X 2 u^0 <u^1 <u^2 C B A u^2 u^1 u^0 (^0) X 1 Gráfico 4.5. De las curvas de indiferencia a la función de utilidad Dadas las características de la función de utilidad, cualquier función que las cumpla podrá ordenar las preferencias del consumidor y será susceptible de ser utilizada como tal. A modo de ejemplo para que les suene a Uds. y sin ánimo de complicar la exposición, habrá funciones de utilidad aditivas, multiplicativas, lineales, cuasi-lineales, Cobb-Douglas, etc. 4.4. LA DEMANDA DEL CONSUMIDOR Pero no sabemos todavía qué forma concreta tiene esa función “f”, ni por qué hay relaciones entre las demandas de ambos bienes (sustituibilidad, complementariedad). El consumidor no determina de forma independiente cada función de demanda, sino que resuelve un problema conjunto que afecta a las demandas de todos los bienes a la vez: el problema es cómo repartir el gasto de una determinada renta de forma que el nivel de satisfacción (utilidad) total sea máximo. Matemáticamente lo hemos expresado como: Max u = u(X 1 , X 2 ) s.a. m = p 1 X 1 + p 2 X 2 Se resuelve por el método de Lagrange (optimización matemática)
1 Hasta ahora hemos reproducido y ordenado conceptos conocidos, como forma de llegar a la elección óptima del consumidor, pero ¿qué tienen que ver con la función de demanda de la que hablamos en la introducción? Recordamos que la función de demanda, en su forma más simple, relaciona la cantidad de un bien y su precio: X 1 = f(p 1 ). Si reducimos el precio inicial del bien 1 (p 0 > p 11 ), bajo el que elegimos la cesta A, la restricción presupuestaria perderá inclinación (- p 1 /p 2 ), y pasaremos a elegir una cesta como B (Gráfico 4.7). Ya tenemos una muestra de cómo cambia la cantidad del bien X 1 cuando cambia su precio, p 1 , y podemos trazar esa relación mediante una función de demanda como D (parte baja del Gráfico 4.7). Sabemos, además, que en este ejemplo el bien X 2 es sustitutivo de X 1 , ya que al bajar el precio de éste la demanda de aquél se ha reducido (la cesta B contiene más del bien X 1 que la cesta A, pero menos del bien X 2 ). Eso depende de la distribución en el espacio de las curvas de indiferencia y de sus formas específicas, lo que a su vez depende de las preferencias del individuo, que son subjetivas. En el punto C hemos representado una alternativa a B, con otras preferencias (curva de indiferencia u^3 en vez de u^2 ), en la que la cantidad demandada del bien X 2 aumenta con la caída del precio del bien X 1 , lo que hace que ambos bienes sean complementarios (la cesta C tiene más del bien 1 y del bien 2). La curva de demanda asociada sería algo distinta (D’ en lugar de D en el gráfico inferior). Estas curvas de demanda que se han derivado se conocen como curvas marshallianas (por el economista inglés Alfred Marshall). En ellas se expresa la cantidad demandada de los bienes como función de los precios de los bienes y de la renta del consumidor. Veremos más adelante que existen otro tipo de funciones de demanda en las que las cantidades demandadas se expresan en función de otras variables. Por tanto, resumimos diciendo que la función de demanda de un bien se obtiene a medida que recorremos las cestas de demanda elegidas por el consumidor al realizar la optimización para diferentes valores de los precios y de la renta de que dispone el consumidor. Se ha expuesto, asimismo, que los tipos de bienes (se ha hecho para complementarios y sustitutivos) dependen de las preferencias (y de la utilidad) y que el proceso de optimización da lugar a funciones de demanda diferentes. Esto se puede hacer para cualquier tipo de bienes como más adelante veremos con otros ejemplos. Si se mantienen constante el precio del bien X 2 y la renta del consumidor m, entonces tendríamos la función de demanda del bien X 1 , también conocida como curva o función de demanda-precio. Y si mantenemos constantes los precios, p 1 y p 2 , de ambos
negativo (el bien es inferior) y supera en magnitud al efecto sustitución (ES, siempre positivo, llamado ley de la demanda). En efecto, cuando varía un precio – suponemos que baja p 1 – la demanda del bien afectado cambia como hemos visto, pero ese cambio es la suma de esos dos efectos. En el Gráfico 4.8 se observa que la forma de las preferencias da lugar a una optimización por parte del consumidor (parte superior del gráfico) que conduce a puntos de equilibrio (cantidades demandadas del bien X 1 , dados sus precios, p 1 ), tales que cuando aumenta el precio aumenta la cantidad demandada del bien. X 2 (^0) X 1 p 1 0 1 1 1 2 1 0 X 1 X 1 X (^1) X 1 c b a Gráfico 4.8. Bien Giffen Vamos a explicar más en detalle estos efectos con la ayuda de más gráficos. El efecto sustitución es el cambio en la demanda de un bien debido a que se ha abaratado con respecto al otro bien. El ER es el cambio debido a que la caída del precio ha aumentado el poder de compra de la renta p p p
1 1 2 0 1 p p X X^ X X que posee el consumidor. Hay dos métodos para separarlos. Primero, el método de Slutsky. La caída de p 1 modifica la demanda de X 1 (según nuestra función de demanda típica, marshalliana), que pasa de Xa^ a Xc^ (pasamos de A a C, Gráfico 4.9), debido a que la restricción presupuestaria gira perdiendo pendiente y pivotando sobre la abscisa en el origen m/p 20. Ahora, para aislar la parte que se debe a la sustitución corregimos, de forma artificial, la renta después del cambio en el precio, y hacemos pasar la nueva restricción presupuestaria por la misma cesta de bienes en la que estábamos (A). Una nueva tangencia se dará en otro punto, distinto al original (B en vez de A), porque la pendiente ha cambiado. El paso de A a B recoge el ES (más consumo de X 1 y menos de X 2 porque el primero se ha abaratado relativamente al segundo) y el paso de B a C el ER (más consumo de X 1 porque el poder de compra de la renta de la que dispone el consumidor ha aumentado como consecuencia de la caída del precio p 1 ). En la parte baja del Gráfico 4.9 también se ha construido una función de demanda “compensada” que sólo tiene en cuenta el efecto sustitución. X 2 m/p 0 A u^1 B C u^2 (^0) m/p 1 u^3 m/p 1 X 1 ES ER p 1 0 1 11 compensada (método Slustky) marshalliana a b c 1 1 1 1 Gráfico 4.9. Separación de efectos según Slutsky 0
Tanto en el punto A como en el B o el C, la cesta de bienes elegida cumple que u 1 /u 2 = p 1 /p 2 , o bien u 1 /p 1 = u 2 /p 2 , y a esa igualdad (de pendientes) se la conoce como ley de las utilidades marginales ponderadas_._ Es obvio que todos los puntos de una curva de demanda son puntos como el A, B o C, y por tanto todos cumplen la citada ley. 4.6. LA FUNCIÓN INVERSA DE DEMANDA Además de la función de demanda del consumidor, parece conveniente resaltar una interpretación diferente de la misma que llamaremos función inversa de demanda (o curva inversa de demanda). Supongamos que tratamos la demanda del bien X 1. Ya hemos adelantado anteriormente que si se mantienen constante el precio (p 2 ) del otro bien (X 2 ) y renta del consumidor m, entonces teníamos lo que se ha denominado función de demanda – precio. Esta función se puede expresar como: X 1 = f(p 1 ) (4.3) De manera que la función inversa de demanda expresa el precio(p 1 ) del bien X 1 de la siguiente forma: p 1 = g(X 1 ) = f-^1 (X 1 ) (4.4) De la expresión (4.4) se deduce el motivo por el que se denomina función inversa de demanda, ya que expresa el precio en función de la cantidad y para ello se invierte la función original de demanda – precio. Ahora, teniendo en cuenta la condición de equilibrio del consumidor y haciendo p 1 = 1, resulta que: p 1 = f-^1 (X 1 ) = RMS (4.5) De forma que la expresión (4.5) nos dice que la función inversa de demanda de un bien no sólo nos indica el precio que el consumidor está dispuesto a pagar por adquirir en el mercado cierta cantidad del bien de que se trate (en este caso X 1 ), sino nos da idea de la disposición marginal a
pagar por adquirir una unidad adicional del bien X 1 a partir de la cantidad que el consumidor está actualmente demandando. Dicho de otra forma, lo que el consumidor está dispuesto a pagar por la última unidad que adquiere del bien, ya que, en el equilibrio del consumidor, la RMS en valor absoluto debe ser igual al precio del bien de que se trate, cuando el precio del otro bien es igual a la unidad. 4.7. EJEMPLOS Para el estudio de los ejemplos que proporcionamos en este apartado vamos a introducir un concepto algo más sofisticado que el de una derivada parcial. En parte nos permitirá clasificar los bienes tal y como hacíamos con las derivadas parciales, pero al tratarse de un concepto más potente, podremos utilizarlo como herramienta para nuevos análisis. Ese concepto es la elasticidad de una función en un punto de esta. Así como la derivada parcial era el efecto sobre una variable de un cambio infinitesimal en otra, la elasticidad es el cambio porcentual en una variable como consecuencia de un cambio porcentual infinitesimal en otra variable. Esa simple diferencia tiene consecuencias importantes. La elasticidad, para empezar, es independiente de las unidades de medida de las variables, lo que facilita las comparaciones (podemos decir que la elasticidad de la demanda de un bien es más alta que la de otro); además, la elasticidad nos permitirá estudiar con más precisión el ingreso de una empresa, relacionándolo con la demanda (el concepto de derivada no es suficiente para esto). Hay diversos tipos de elasticidades, relacionados con los distintos tipos de derivadas parciales del cuadro que dimos al principio (podríamos definir las mismas elasticidades para el bien 2): Cuadro 4.2. Cálculo de elasticidades y clasificación de bienes según sus elasticidades X 1 /p 1 Elasticidad-precio : � 𝑋 1 % �� ����𝑖� �� 𝑋 1 (^ 𝑋 1 ) 𝐸^ �^ 𝑋^1 �^1 𝑋 1 𝑝 =^ % �� ����𝑖� �� � =^ �� 1 = �� 𝑋 (^1) ( � )^ 1 1 1 Ex1p < 0: bien ordinario Ex1p 0: bien Giffen X 1 /m Elasticidad-renta : �𝑋 1 % �� ����𝑖� �� 𝑋 1 (^ 𝑋 1 ) 𝐸^ �𝑋^1 � 𝑋 1 𝑚 =^ % �� ����𝑖� �� � =^ �� = �� 𝑋 ( (^) � ) 1 Ex1m 0: bien normal Ex1m 1: bien normal de lujo 1> Ex1m 0: bien normal de primera necesidad Ex1m 0: bien inferior X 1 /p 2 Elasticidad^ cruzada :^ E 12 0: bienes sustitutos E 12 0: bienes complementarios E 12 = 0: bienes independientes
1 X 1 = a – bp 1 (4.6) Donde a y b son parámetros positivos. Lógicamente, esta función de demanda está definida dentro del siguiente intervalo de variación del precio del bien 0 p 1 a/b, ya que la cantidad demandada del bien nunca puede ser negativa. La pendiente de esta función de demanda es negativa y constante: 𝑑𝑋 1 = −� (4.7) 𝑑𝑝 1 Sin embargo, la elasticidad no es constante a lo largo de la curva de demanda como puede verse en el Gráfico 4.11. Gráfico 4.11. Función de demanda lineal Sustituyendo en la fórmula de la elasticidad que hemos visto previamente, tendremos: 𝑑𝑋 1 𝑝 1 𝑝 1 𝐸𝑋 1 = − (^) 𝑑𝑝 𝑋 1
�−� 𝑝 1
Cuando p 1 = 1/b, el precio es máximo y, por tanto, la cantidad demandada es X 1 = 0, por lo que la elasticidad toma un valor infinito. A medida que el precio del bien va disminuyendo, la elasticidad decrece hasta anularse cuando el precio p 1 = 0, punto en el que la demanda del p 1 a/b Ex1p^ =^ Ex1p > 1 a/2b EX1p^ =^1 Ex1p < 1 0 a/ Ex1p = 0 a X 1
(^1 ) 1 1 consumidor es X 1 = a. Es fácil comprobar que la elasticidad precio es la unidad cuando el precio es p 1 = a/2b y, en ese punto la cantidad demandada es X 1 = a/2. Ejemplo 2. Funciones de demanda de elasticidad constante. Este ejemplo también constituye otro caso extremo de funciones de demanda, que tienen pendiente variable pero cuya elasticidad – precio es constante a lo largo de toda la función, es decir, en todos sus puntos. Una de ellas toma la siguiente forma: = �� 𝛽
Donde k es una constante y 𝛽 un parámetro negativo con el fin de que tengamos una curva de demanda decreciente, de pendiente negativa. La pendiente de esta curva es: 𝑑𝑋 1 = �𝛽� 𝛽− 1 < 0 (4.10) 𝑑𝑝 1 1 Dado que 𝛽 < 0. Si ahora sustituimos en la expresión que define la elasticidad – precio de una curva de demanda: 𝑑𝑋 1 𝑝 1 𝛽−^1 𝐸𝑋 1 = − (^) 𝑑𝑝 𝑋^1 = −�𝛽� 1
𝑘𝑝 1 Y como puede verse en la expresión (4.11) la elasticidad – precio es constante a lo largo de toda la función de demanda. En el caso que 𝛽 = − 1 , la función de demanda es una hipérbola equilátera con expresión: 𝑋 1 = ��−^1
Que nos indica que el producto del precio del bien por la cantidad demandada del mismo es siempre constante a lo largo de toda la función de demanda. La elasticidad – precio también es constante a lo largo de toda la curva de demanda y será igual a la unidad.
