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Explore el concepto básico de la regresión lineal, aprenda a calcular la ecuación de regresión y entienda su interpretación. Este documento te proporciona un resumen detallado de los conceptos clave, incluyendo el rendimiento y la inteligencia, el cálculo de la ecuación de regresión lineal y el criterio de mínimos cuadrados.
Tipo: Ejercicios
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Tema 6: Regresión lineal.
Nota: Emplearemos los términos “regresión” y “predicción” como casi sinónimos. (La razón del uso del término “regresión” es antigua, y se ha mantenido como tal.)
rendimiento
inteligencia
A es la ordenada en el origen (es donde la recta corta el eje Y) B es la pendiente (observad que en el caso de las relaciones positivas, B será positivo; en el caso de las relación negativas, B será negativo; si no hay relación, B será aproximadamente 0)
Si queremos predecir Y a partir de X, necesitamos calcular (en el caso de relación lineal) la recta de regresión de Y sobre (a partir de) X.
Rendimiento (Y)
Inteligencia (X)
El criterio de mínimos cuadrados nos proporciona un valor de A y uno de B, tal que
La recta por mínimos cuadrados es: Y’=-8’5+0’15X
Observa....
-Cada unidad de CI hace aumentar 0’15 la nota. -Aunque en este caso, lo siguiente no tiene sentido, una persona con CI de 0, sacaría un -8.
2 '
1
n i i i
Y Y
es mínimo
Esa expresión vale 11. en nuestro caso
Las fórmulas.... En puntuaciones directas
Nota: Tanto A como B se pueden obtener fácilmente en cualquier calculadora con opción “LR” (Linear Regression)
2 2
XY nXY B X nX
Pendiente
Ordenada origen A^ Y^^ BX
Las fórmulas en puntuaciones diferenciales
Pendiente
Ordenada origen
a 0
Fijaros que la media de X y la media de Y serán 0 en puntuación típicas
2
xy b x
IMPORTANTE: B=b Es decir, la pendiente en puntuaciones diferenciales es la MISMA que en puntuaciones directas
Por tanto, la recta de regresión en puntuaciones diferenciales es en nuestro caso: y’=0’15x
Las fórmulas en puntuaciones típicas
Pendiente
Ordenada origen
Al igual que en las puntuaciones diferenciales
Por tanto, la recta de regresión en puntuaciones típicas es en nuestro caso: zy’ =0’703zx
a 0
2
x y x y x
z z z z b z n
(^) ^ ^
IMPORTANTE: Como veremos, la pendiente en puntuaciones típicas COINCIDE con el índice de correlación de Pearson
2
Sabemos que
Y por el tema anterior
2 2 x
Y por el tema de variabilidad
xy
xy s n
xy xy x y
s r s s
y
2 2 2 2
xy xy x y y xy x x x
xy xy (^) n s r s s s B b r x x s s s n
^
Se deduce que
En definitiva, y xy x
s B b r s
1 1
y xy xy xy x
s b r r r s
(^)
y y xy x
s A Y r X s
Evidentemente, la ordenada en el origen de la recta de regresión de Y sobre X será 0 para puntuaciones diferenciales y típicas (dado que las medias para las respectivas puntuaciones tanto en X como en Y serán 0 en tales casos).
2 2 (^ ) y
Y Y s n
Si no tuviéramos el predictor X, ¿qué puntuación prediríamos para las puntuaciones de Y?
En tal caso, dado el criterio de mínimos cuadrados, si tenemos datos en Y y carecemos de datos en X, nuestra mejor estimación de Y será su media Recordemos que la media minimiza el sumatorio de las diferencias Cuadráticas
(^) es mínimo
Si empleamos la media como predictor, la varianza de las predicciones será
Pero si tenemos un predictor X, la varianza será
2 2 .
( (^) i i ) y x
Y Y s n
^
Esta es la varianza de Y no explicada por X
Se puede demostrar que 2 2 2 s (^) y x. s (^) y (1 rxy )
Que despejando sale
2
(^1 )
y x xy y
s r s
Yi Y (^) i ^ ( Y (^) i Yi )
Empecemos con una tautología
Esta expresión indica que la puntuación observada por el sujeto i- ésimo es igual a la puntuación predicha para dicho sujeto más un error de predicción.
Se puede demostrar que las puntuaciones predichas y los errores de predicción son independientes , con lo que podemos señalar 2 2 2
s y
2
2 sy x.
Varianza total de Y
Varianza de las puntuaciones de Y predichas por el predictor X
Varianza de los errores de predicción (varianza no explicada por X)
2 2 2 De la transparencia anterior, tenemos s^ y s^^ y ' sy x.
Y sabíamos que
2
(^1 )
y x xy y
s r s
2 2 2 2.^ ´ 2 2
y y x y xy y y
s s s r s s
luego^ ^
En definitiva, el coeficiente de determinación mide la proporción de la varianza de Y que está asociada/explicada por el predictor X
