Tema 6 de estadística, Diapositivas de Estadística

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Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

T6. Contrastes para los parámetros de una

población Normal

Estadística

Intervalos de confianza

Intervalos de confianza : sirven para estimar el valor de los parámetros de la población. Un intervalo de confianza del 1 - α (en %) para un parámetro es un intervalo de valores calculado a partir de los datos de la muestra en el que hay una probabilidad del 1 − 𝛼 de contener el verdadero valor de dicho parámetro. El nivel de confianza 1 − 𝛼 suele ser 0,90 (90%), 0,95 (95%) ó 0,99 (99%).

Intervalo de confianza para la media poblacional

Interpretación gráfica del nivel de confianza para la media de una distribución normal

Entonces, sobre la distribución 𝑁 0 , 1 , podemos seleccionar dos

puntos simétricos −𝑧 !⁄^ "

y 𝑧 !⁄^

" tales que encierren una region de probabilidad de 1 − 𝛼, es decir, un Intervalo de confianza para la media muestral:

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida

% & '

% & '

Gráficamente: para una normal tipificada, un intervalo de confianza del 95% se puede representar como: 95% 2.5% 2.5% La probabilidad de que una variable normal tipificada tome valores en el intervalo − 1. 96 , 1. 96 es del 95%.

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida

𝑃 𝑥̅ − 1. 96 𝜎 𝑛 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 1. 96 𝜎 𝑛 = 0. 95 𝑧 = ̅ 𝑥 − 𝜇 𝜎 ⁄ 𝑛 → 𝜇 = 𝑥̅ − 𝑧 𝜎 𝑛 𝐼! "#$ = 𝑥̅ ± 𝜀 = 𝑥̅ ± 1. 96 𝜎 𝑛 = 𝑥̅ − 1. 96 𝜎 𝑛 , 𝑥̅ + 1. 96 𝜎 𝑛

% & '

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Obtener un I. C. del 95 % para el promedio de la talla de una población de tiburón blanco, de la que se miden 25 individuos,

obteniéndose = 390 cm. Se sabe que s

2 es de 400 cm 2 x.

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida

Ejemplo

Obtener un I. C. del 95 % para el promedio de la talla de una población de tiburón blanco, de la que se miden 25 individuos,

obteniéndose = 390 cm. Se sabe que s

2 es de 400 cm 2 x.

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida

Ejemplo

La talla media de los tiburones se encuentra entre 382.16 y 397.84 con un nivel de confianza del 95%

𝐼E

FG&

% & '

% & '

% & '

𝐼E

I.JK

𝐼E

I.JK

Un laboratorio dedicado a la elaboración de piensos para acuicultura, afirma que su producto aumenta el peso promedio de los peces en 30 g mensuales. En una muestra de 9 peces tomados al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35 g con desviación típica de 3. 04 g. Estimar el intervalo de confianza al 95 % para el verdadero aumento promedio.

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocida

Ejemplo

Un laboratorio dedicado a la elaboración de piensos para acuicultura, afirma que su producto aumenta el peso promedio de los peces en 30 g mensuales. En una muestra de 9 peces tomados al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35 g con desviación típica de 3. 04 g. Estimar el intervalo de confianza al 95 % para el verdadero aumento promedio.

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocida

Ejemplo

𝐼E

FG&

% & '

% & '

% & '

𝐼E

FG&

𝐼E

I.JK

Se estudia el diámetro de la concha en una población de lapas. Tras medir 25 individuos, se obtiene una media de 170 mm y una desviación típica de 10. 206 mm. Calcular un intervalo de

confianza con a de 0. 05 para la varianza del diámetro de las

lapas.

Intervalo de confianza para la varianza poblacional

Ejemplo

Se estudia el diámetro de la concha en una población de lapas. Tras medir 25 individuos, se obtiene una media de 170 mm y una desviación típica de 10. 206 mm. Calcular un intervalo de

confianza con a de 0. 05 para la varianza del diámetro de las

lapas.

Intervalo de confianza para la varianza poblacional

Ejemplo

Tabla Chi-cuadrado

! 𝜒

$ ! !

! ≤

! 𝜒 %&$ (^) #^! !

𝐼 (! "#$ = '#" )!

#" (^)! ! ,^ '#" )!

$% #"^! ! =^ &+#" ("-.&-/)! 12 .1/ , &+#" ("-.&-/)! "&.3-" = = 24 × 104. 162

1. 364 , 24 × 104. 162
2. 401 = 63. 50 , 201. 59
3. 50 ≤ 𝜎 & ≤ 201. 59 → 7. 97 ≤ 𝜎 ≤ 14. 20

Hipótesis estadística

Hipótesis estadística: Afirmación o conjetura sobre la distribución de una o más variables aleatorias. Es una afirmación respecto a alguna característica o propiedad de una o más poblaciones.

• Hipótesis nula ( H 0 ): Hipótesis que se contrasta y que siempre contiene la igualdad.
• Hipótesis alternativa ( H 1 ): Hipótesis complementaria a H0, aceptada cuando la evidencia muestral está en contra de esta última. Un test o prueba para contrastar la H 0 frente a la hipótesis alternativa consiste en decidir, para cada muestra posible, si rechazamos o no rechazamos H 0 ; por lo tanto, un test consistirá en dividir el conjunto de todas las posibles muestras (espacio muestral) en dos regiones: una región de rechazo de H 0 y una región de no rechazo de H 0.

H 0 : Hipótesis nula H 1 : Hipótesis alternativa Los contrastes pueden ser unilaterales o bilaterales dependiendo de cómo se formule la hipótesis estadística

Contrastes de Hipótesis

β α

Errores asociados a las hipótesis estadísticas

X = 20 Dado un contraste, se resuelve suponiendo que H 0 es cierta... ... el resultado del experimento ( 𝑥̅ = 20 ) es muy improbable (menos que 𝛼) y, sin embargo, ¡!ocurrió!! ¿Qué concluye un científico cuando el resultado del análisis estadístico no confirma sus predicciones?

Contrastes de Hipótesis

V 𝐻-: 𝜇 = 40 → 𝛽 𝐻": 𝜇 ≠ 40 → 𝛼

Rechazo que H 0 sea cierta

• Hay evidencia estadística contra H 0
• Se rechaza H 0
• El experimento es concluyente (conocemos α, es decir, el error que cometemos si H 0 es cierta)
• El contraste es significativo

Contrastes de Hipótesis

X = 20 V 𝐻-: 𝜇 = 40 → 𝛽 𝐻": 𝜇 ≠ 40 → 𝛼