Tema 9 de estadistica, Diapositivas de Estadística

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Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

T.9 Análisis de la varianza de un factor

(ANOVA)

Para comprobar si el peso de una especie de tiburón depende del

hábitat donde vive, se realizó un estudio en 4 hábitats diferentes

(arrecife de coral, roca, arena y pradera). Durante el muestreo se

capturaron de manera independiente 5 tiburones en cada uno de

los hábitats, y sus pesos fueron:

Lago 1 7.8 9.2 6.9 8 8.

Lago 2 7.2 6.5 5.9 7.8 6.

Lago 3 5.6 7.1 6.3 6.7 6.

Lago 4 7.2 6.6 6.3 7.4 6.

Coral

Roca

Arena

Pradera

Ejemplo

H

0

1

2

k

H

1

: Al menos una media es diferente

¿Qué es y para que sirve un ANOVA?

Coral Roca Arena Pradera

Supongamos un universo de notas de 9 alumnos

de 3 grupos distintos.

La media total coincide con la

nota de cada alumno:

No hay diferencia ENTRE grupos ni DENTRO de los grupos

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

5 5 5

5 5 5

5 5 5

¿Cómo funciona?

𝒙

= 𝝁

La ALEATORIEDAD influye en la variabilidad DENTRO de los

grupos

Por razones ALEATORIAS algunos alumnos rinden más

que otros:

Donde 𝜺 𝒊𝒋

= −𝟏, −𝟐, 𝟎, 𝟐, 𝟎, 𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟎 es el efecto aleatorio

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

5 +1- 1 = 5 5 +2+2 = 9 5 +0+3 = 8

5 +1- 2 = 4 5 +2+0 = 7 5 +0+4 = 9

5 +1+0 = 6 5 +2+1 = 8 5 +0+0 = 5

¿Cómo funciona?

𝒙

= 𝝁 + 𝑨

• 𝜺

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

5 +1- 1 = 5 5 +2+2 = 9 5 +0+3 = 8

5 +1- 2 = 4 5 +2+0 = 7 5 +0+4 = 9

5 +1+0 = 6 5 +2+1 = 8 5 +0+0 = 5

𝑋 #.

= 5

𝑋 %.

= 8

𝑋 &.

= 7. 33 ' 𝑋

= 6. 78

1. Calculamos la media de cada grupo y la media total

¿Cómo funciona?

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

5 9 8

4 7 9

6 8 5

𝑋 #.

= 5

𝑋 %.

= 8

𝑋 &.

= 7. 33 ' 𝑋

= 6. 78

3. Para calcular el efecto del FACTOR medimos la variabilidad

ENTRE los grupos:

¿Cómo funciona?

2 2 𝑥 '(

−

𝑋 ..

= 2

2

!

𝑥 '(

−

𝑋 '.

• 2

𝑛 '

𝑋 '.

−

𝑋 ..

Tenemos dos tipos de variabilidad:

• ENTRE grupos (debida al FACTOR )
• DENTRO grupos (debida a la aleatoriedad, RESIDUAL )

Para poder afirmar que el factor produce efectos, la

variabilidad debida al FACTOR ( ENTRE los grupos) debe ser

significativamente mayor que la variabilidad RESIDUAL

( DENTRO de cada grupo)

¿Cómo funciona?

𝒙

= 𝝁 + 𝑨

• 𝜺

Suma de cuadrados Total = SC dentro + SC entre

𝑄 = 𝑸 𝑫

• 𝑸

Estimación de la variabilidad DENTRO

Estimación de la variabilidad TOTAL

Estimación de la variabilidad ENTRE

Suma de cuadrados DENTRO:

Podemos simplificar los cálculos:

Cuadrados

Medios

RESIDUAL (^) FACTOR

Grados de

libertad

¿Cómo funciona?

2

2

!

𝑥 '(

−

𝑋 ..

= 2

2

!

𝑥 '(

−

𝑋 '.

• 2

𝑛 '

𝑋 '.

−

𝑋 ..

!

"#$

%

"

"

& 𝑠 "

&

=

"

'#$

( !

"'

".

&

& = (^7)

&

= (^7)

!

&

= 7

!

¿Cómo funciona?

H

: μ

1

= μ

2

= … = μ

k

H

: Al menos una media es diferente α^ = 0.

β =?

Si hay un efecto del factor (Rechazo H 0

) ENTRE >>> DENTRO

k 1 , n k , a

F

¿? exp

F

No rechazo H

0

Rechazo H

0

Distribución F

Region de no rechazo Region de rechazo

¥

(punto crítico)

𝑒𝑥𝑝

Tabla de F de Fisher-Snedecor

Grados de libertad

Del numerador

Grados de libertad

del denominador

Requisitos necesarios para realizar un ANOVA :

a) Independencia y aleatoriedad de los valores obtenidos

dentro y entre los grupos (mínimo de 10 valores por nivel)

b) Normalidad de los datos en cada nivel

c) Homogeneidad de las varianzas

Requisitos para ANOVA

Requisitos para ANOVA: Normalidad de los datos en cada nivel

• Los datos de cada nivel del factor han de seguir una distribución

normal (simétrica)

• Este supuesto puede comprobarse mediante un contraste de

bondad de ajuste (Kolmogorov-Smirnov test (KS)) para los datos

de cada nivel o un único contraste para los residuales

• Sin embargo el ANOVA es suficientemente robusto a la falta de

normalidad, sobre todo cuando el diseño está balanceado y hay un

gran número de datos (n≥30)

• No es recomendable emplear transformaciones para solucionar

desviaciones de normalidad, sólo deben hacerse cuando no hay

homogeneidad de varianzas, ni usar test no paramétricos (Kruskal-

Wallis)

H

0

: Los datos de cada nivel se ajustan a una distribución normal

H

1 : “ ” “ “ “ NO se ajustan a una distribución normal

¡¡¡Ojo, esta “n” hace referencia

al tamaño muestral dentro del nivel!!!

• El estadístico sería:
• Condición : Tamaños muestrales iguales ( balanceado )
• La distribución G ha sido tabulada
• No rechazamos H 0

si

Requisitos para ANOVA:

Test de Cochran c) Homogeneidad de varianzas

𝐺 ;<=

=

𝑚𝑎𝑥 𝑠 '

∑

')#

𝑠

'

𝐺 ;<=

< 𝐺

!

• El estadístico sería:
• Siendo:
• Pros : Tamaños de n desiguales ( no balanceado )
• Contras : el error de Tipo I es mayor, sensible a la NO normalidad
• Test basado en Chi-cuadrado
• No rechazamos H 0

si:

Requisitos para ANOVA:

Test de Bartlett c) Homogeneidad de varianzas

./

!

&

− /

"#$

%

"

"

&

)

!

&

=

"#$

%

𝑛 "

"

&

"#$

%

"

./

% 1 $, 3

&