TEMA 7: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
Estadística Avanzada
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Dpto. de Estadística y Matemática Aplicada
Universidad de Almería
Dpto. Estadística y Matemática Aplicada TEMA 7: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
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Modelo de Regresión Lineal en Estadística y Matemática Aplicada - Prof. Martínez Puertas, Apuntes de Estadística
El tema 7 de estadística y matemática aplicada, dedicado al modelo de regresión lineal. Se explican los conceptos básicos, los objetivos del análisis de regresión, las etapas del análisis de regresión, las consideraciones a tener en cuenta, el modelo de regresión lineal simple, la estimación de los parámetros, la inferencia en el modelo y la comprobación de las hipótesis. También se incluyen ejemplos y ejercicios resueltos.
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 68
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TEMA 7: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
Estadística Avanzada
Grados en ADE, FYCO, MARKETING Y ECONOMÍA
Dpto. de Estadística y Matemática Aplicada
Universidad de Almería
Regresión Lineal
1
Introducción. El modelo de regresión lineal simple.
2
Estimación de los parámetros.
3
Inferencias en el modelo.
4
Coeficiente de determinación. Correlación.
5
Comprobación de las hipótesis del modelo.
Introducción
Ejemplo
El consumo de un país es función de la renta nacional:
C = g(R)
Una vez dispongamos de datos sobre consumo y renta nos
planteamos elaborar modelos que midan las relaciones entre
ambas variables:
C = β
0
- β
1
R
C = β 0
- β 1
R + β 2
R
2
Introducción
Los modelos económicos no representan de forma exacta
las relaciones entre variables utilizando datos reales.
Siempre existe una discrepancia o error, perturbación
aleatoria, , entro los valores reales y los estimados
mediante el modelo:
Ejemplo
C = β
0
- β
1
R +
C = β
0
- β
1
R + β
2
R
2
Introducción
Objetivos más importantes del análisis de regresión:
Estimar los parámetros desconocidos ⇒ Método de los
mínimos cuadrados.
Comprobar si el modelo es adecuado.
Introducción
Etapas del análisis de regresión:
Especificaci´on
Estimaci´on Validaci´on
Aplicaci´on
1
Especificación del modelo: elegir una o varias variables
respuesta, seleccionar las variables explicativas, elegir la
forma de las ecuaciones (lineal o no lineal).
2
Estimación de la mejor función que se ajusta a los datos
recogidos dentro de las funciones propuestas en el
apartado anterior.
3
Validación: comprobar si la ecuación obtenida ayuda a
describir la variable respuesta.
4
Aplicación de los resultados al objetivo perseguido
(estudio de la realidad, predicción, etc.)
El modelo de regresión lineal simple
y = β
0
- β
1
x +
es la perturbación aleatoria.
e y son variables aleatorias.
x no es aleatorio, ya que sus valores los fija el investigador.
Coeficientes de regresión:
β
0
es el término independiente: la media de y cuando
x = 0.
β
1
es la pendiente: cambio en la media de y producido por
un cambio unitario en x.
Los datos que tendremos serán de la forma (x
i
, y
i
), para i = 1,
hasta n, (con n > 2), entonces:
y i
= β 0
- β 1
x i
i
El modelo de regresión lineal simple
Hipótesis previas del modelo:
E(
i
Var (
i
) = σ
2
Cov (
i
j
i
∼ N( 0 , σ)
E(y i
) = β 0
- β 1
x i
Var (y
i
) = σ
2
Cov (y
i
, y
j
y
i
∼ N(β
0
- β
1
x
i
, σ)
Estimación de los parámetros
Estimación de los parámetros
Solución:
β 0
= ¯y −
β 1
x ,
β 1
S
xy
S
xx
con
x =
n
n
i= 1
x
i
y =
n
n
i= 1
y
i
S
xx
n
i= 1
x
2
i
− n
x
2
n
i= 1
(x
i
x)
2
S
xy
n
i= 1
x
i
y
i
− n
x
y =
n
i= 1
(x
i
x)(y
i
y)
Expresión del modelo:
y = ¯y +
S
xy
S
xx
(x −
x)
Estimación de los parámetros. Ejemplo
Solución del Ejemplo 3
Estimación de los parámetros
n
i= 1
e
i
e = 0 )
n
i= 1
y
i
n
i= 1
y
i
y = ¯y)
La recta de regresión pasa por el centro de gravedad de
los n puntos.
Estimación de los parámetros
Estimación de σ
2
̂ σ
2
=
SCE
n − 2
=
̂
S
2
R
con SCE =
∑
n
i= 1
e
2
i
= S
yy
−
̂
β
1
S
xy
S
2
R
es un estimador insesgado de σ
2
S
2
R
se denomina cuadrado medio residual, o varianza
residual.
La varianza residual mide el grado de variabilidad de los
datos alrededor de la recta de regresión, o el desajuste
experimental del modelo lineal.
Error estándar de la regresión:
S
2
R
Estimación de los parámetros. Ejemplo
Ejemplo 4
Calcular los residuos del modelo y la varianza residual del
Ejemplo 3.