¡Descarga Introducción al contraste de hipótesis: Conceptos básicos - Prof. 14 y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Tema 7.- CONTRASTE
DE HIPÓTESIS
I.- INTRODUCCIÓN AL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
II.- CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTRASTES. TIPO
DE ERRORES Y FUNCIÓN DE POTENCIA
III.- CONTRASTES ÓPTIMOS. LEMAS NEYMAN-
PEARSON
III.- CONTRASTES DE SIGNIFICACIÓN.
I.- Introducción al contraste de hipótesis
¿Cuál es el porcentaje de intención de voto por
un partido político?
¿Qué variabilidad de notas hay en la
Selectividad?
¿Qué cantidad gasto de media diaria en un
trimestre en gasolina?
¿Qué porcentaje de máquinas son fabricadas
con un desperfecto?
I.- Introducción al contraste de hipótesis
ESQUEMA DEL PROCESO INFERENCIAL:
POBLACIÓN: Características determinadas. Ej: Estudiantes y su nota de Selectividad X ~ N(μ,σ)
MUESTRA: Serie de valores de la población.
Se obtiene una realización de una variable aleatoria, con Tª DE LA PROBABILIDAD unas características
INFERENCIA ESTADÍSTICA Se infieren características de la población de origen. Ej: ¿LA NOTA MEDIA ES IGUAL A 5?. ¿LA NOTA MEDIA ES SUSPENSO?...
I.- Introducción al contraste de hipótesis
Métodos (tipos) de Inferencia:
- ESTIMACIÓN PUNTUAL
2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
3. CONTRASTACIÓN DE HIPÓTESIS:
3a.- Paramétricos
3b.- No paramétricos
1.- Hipótesis Nula y Alternativa
2.- Región crítica y de aceptación.
3.- Tipo de Errores
4.- Nivel de significación y Potencia del Test
II.- Conceptos Básicos
1.- HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA
Hipótesis nula - H 0 Una hipótesis que se mantiene como cierta si no se obtiene suficiente evidencia de lo contrario.
Hipótesis alternativa - H 1
Una hipótesis frente a la cual se contrasta la hipótesis nula y que se considera cierta si la nula resulta falsa.
Ambas hipótesis deben ser excluyentes.
Dada X que se distribuye según una función de distribución F(x;θ), donde el parámetro θ es desconocido, si con las hipótesis nula y alternativa sobre el parámetro se define completamente la Distribución de la variable aleatoria, entonces tenemos un CONTRASTE PARAMÉTRICO.
En caso de que las hipótesis contemplen más información que el valor del parámetro (por ejemplo, no se conoce la forma de la distribución), entonces estaremos en un CONTRASTE NO PARAMÉTRICO.
II.- Conceptos Básicos
Hipótesis simple
Una hipótesis que especifica un único valor para el parámetro poblacional de interés.
Hipótesis compuesta
Una hipótesis que especifica un rango de valores para el parámetro poblacional
Ejemplos: Moneda equilibrada. Nota media.
Objetivo de una Hipótesis Nula y Región Crítica:
La hipótesis nula se asume como cierta (aunque puede no serla) y se debe contrastar si hay “evidencia” para rechazarla.
La “evidencia de rechazo” son las muestras más incompatibles con la Hipótesis Nula aceptando la alternativa: Región de Rechazo
Ya que el objetivo es ver la “resistencia” al rechazo, es preferible situar como Hipótesis Nula lo contrario que se quiere probar. Si no “aguanta” la evidencia, es porque es cierto lo que se quiere probar.
II.- Conceptos Básicos
Estadístico del contraste:
La Región Crítica (o de Rechazo), se puede resumir en una función de los valores que toman las muestras de la Región, es decir, los valores de un estadístico de la muestra. Es el Estadístico del contraste.
Por ejemplo: las muestras de la Región Crítica son las que su media es superior a una cantidad…
Ejemplos.-
(i) Unos investigadores sostienen que la media de la variable renta familiar, que se distribuye como una normal, es de 23.000€ frente a la hipótesis establecida por los organismos de estadística de que es 25.000€. Se toma una muestra de 1000 familias y se observa la renta media, decidiendo rechazar la hipótesis oficial si la muestra da un resultado menor a 24.000 euros de media. ¿Cuáles son las hipótesis y las regiones del contraste?
(ii) Para probar si una moneda está equilibrada frente a que es más probable que salga cara, se lanza 50 veces una moneda y se adopta la siguiente regla: si se obtienen menos de 35 caras, se rechaza la hipótesis nula. Establecer hipótesis del contraste y regiones de aceptación y rechazo.
II.- Conceptos Básicos
3.- TIPO DE ERRORES
Un contraste consiste en tomar una decisión sobre la hipótesis nula frente a la alternativa: aceptar o rechazar H 0.
Cuando tomamos la decisión podemos estar cometiendo un error dependiendo de si realmente H 0 es cierta o falsa.
Hay 2 posibles tipos de error:
Ejemplos.- (i) Unos investigadores sostienen que la media de la variable renta familiar, que se distribuye como una normal, es de 23.000€ frente a la hipótesis establecida por los organismos de estadística de que es 25.000€. Se toma una muestra de 1000 familias y se observa la renta media, decidiendo rechazar la hipótesis oficial si la muestra da un resultado menor a 24.000 euros de media. Obtener errores tipo I y tipo II. (ii) Para probar si una moneda está equilibrada frente a que es más probable que salga cara, se lanza 50 veces una moneda y se adopta la siguiente regla: si se obtienen menos de 35 caras, se rechaza la hipótesis nula. Obtener el error tipo I.
II.- Conceptos Básicos
4.- Nivel de significación y potencia del test
a) HIPÓTESIS SIMPLES
Se define NIVEL DE SIGNIFICACIÓN ( αααα ) como el error tipo I
α = P(Rechazar H 0 / H 0 )=nivel de significación
Se define POTENCIA DEL CONTRASTE( ηηηη ) como el contrario del error de tipo II
η =Potencia= 1- β =1- P(Aceptar H 0 / H 1 )= P(Aceptar H 1 / H 1 )
Ejemplos:
i. Una variable aleatoria es N(μ,σ=10) y se contrasta si la media vale 5 ó 10. Para efectuar el contraste se toma una MAS de tamaño 16 y se decide rechazar la hipótesis nula si la media muestral es mayor o igual a
7. Obtener el niveles de significación y potencia del test.
ii. Si en el caso anterior se toma como región crítica que la media sea mayor que 8, ¿cuáles son ahora su nivel de significación y potencia?
II.- Conceptos Básicos
Ejemplo: Unos investigadores sostienen que la media de la variable renta familiar, que se distribuye como una normal, es de 23.000€ frente a la hipótesis establecida por los organismos de estadística de que es 25.000€. Se toma una muestra de 1000 familias y se observa la renta media, tomando ésta como estadístico del contraste. a) ¿Podría establecer cuál debe ser la frontera de la Región Crítica para que el nivel de significación fuese 5%?. b) Obtener la potencia del contraste anterior.
B) HIPÓTESIS COMPUESTAS
Si las hipótesis son compuestas:
entonces se definen:
1 1
0 0 :
θ∈ Ω
θ∈Ω ⊂ Ω H
H
Ω 0 ∪Ω 1 =Ω y Ω 0 ∩Ω 1 = φ
0 0 0 0
0 0 0 con
( ) (. I) = = ∈ Ω
= = = θθθθ θθθθ θθθθ
αααα θθθθ P(rechazarH| )
Perrtipo P(rechazarH|H cierta)
0 1 1 1
1 0 1 con
( ) (. II) = = ∈ Ω
= = = θθθθ θθθθ θθθθ
ββββθθ θθ P(AceptarH | )
Perrtipo P(AceptarH|Hcierta)
II.- Conceptos Básicos
Definición.-
Nivel de significación del test (tamaño del test)
Función de potencia:
(^00)
∈Ω ∈Ω
θθθθ θθθθ
máxP(rechaz H |H cierta) máx αααα θθθθ αααα
1 1 1 0
0 0 θθθθ θθθθ ηηηηθθθθ θθθθ ββββ^ θθθθ
ηηηηθθθθ θθθθ
P(rechaz H | )
P( H |θ ) P(rechaz H | )
Si entonces :
Rechazar cierta
Ejemplo: La duración de las bombillas en años de una determinada marca es una exponencial:
Se quiere contrastar si la duración media es de H 0 : β =
año frente a H 1 : β >1 años. Para efectuar el contraste se
toma una MAS de una bombilla y si el valor muestral es superior a 2 se rechaza H 0 : Hallar nivel de significación y potencia del contraste.
II.- Conceptos Básicos
La función de potencia representa la probabilidad de rechazar según el valor del parámetro.
Objetivo: que rechazar en los casos de H 1 sean de probabilidad alta (función de potencia alta) y con los casos H 0 una probabilidad baja (función de potencia baja).
Por lo tanto para obtener un test óptimo, debemos:
- Fijar un tamaño α del test que determine el error tipo I que estamos dispuestos a asumir.
- El test óptimo será el que minimice el error de tipo II de entre todos los posibles test de tamaño α ⇔ El de mayor potencia en H 1 con potencia menor o igual que α en H 0
Obs.- No se garantiza siempre la existencia de test óptimos. Dependerá del tipo de hipótesis: simples o compuestas
