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Tema 7:Rentas Variables - 1-
TEMA 7 : RENTAS VARIABLES
- RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ÍNDICE
- 1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
- 1.1.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
- 1.1.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL
- 1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
- 1.2.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
- 1.2.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL
- 1.3. RENTAS PERPETUAS
- 1.3.1. RENTAS POSPAGABLES
- 1.3.2. RENTAS PREPAGABLES
- 1.4. RENTAS DIFERIDAS
- 1.4.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS
- 1.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS
- 1.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS
- 1.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS..............................
- 1.5. RENTAS ANTICIPADAS
- 1.5.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS
- 1.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS
- RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA..................
- 2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
- 2.1.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
- 2.1.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL
- 2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
- 2.2.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
- 2.2.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL
- 2.3. RENTAS PERPETUAS
- 2.3.1. RENTAS POSPAGABLES
Tema 7:Rentas Variables - 2-
2.3.2. RENTAS PREPAGABLES ...................................................................... 21
2.4. RENTAS DIFERIDAS .................................................................................. 21
2.4.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS .......................... 21
2.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS .......................... 22
2.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS ............................. 22
2.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS.............................. 23
2.5. RENTAS ANTICIPADAS ............................................................................ 23
2.5.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS .......................... 23
2.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS .......................... 24
3. RENTAS FRACCIONADAS ............................................................. 24
3.1. TÉRMINO ANUAL Y TANTO DE FRECUENCIA ......................................... 25
3.2. TÉRMINO DE FRECUENCIA Y TANTO ANUAL ......................................... 25
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales
equidistantes en el tiempo cuyas cuantías son variables siguiendo una ley
en progresión geométrica , esto es, cada término es igual al anterior
multiplicado por un mismo número (que se denomina razón de la
progresión geométrica) y que denotaremos por «q».
Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de
ellos «c» y la razón de la progresión «q».
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
1.1.1 CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
La representación gráfica de una renta variable en progresión
geométrica , temporal , pospagable , inmediata y entera es la
siguiente:
V 0? c 1 =c
0 1 2 3 n-1 n i
c 2 =c·q c 3 =c·q^2 … cn-1=c·qn-2^ cn=c·qn-
Tema 7:Rentas Variables - 4-
siendo:
a 1 ≡ primer término de la progresión
an ≡ último término de la progresión
r ≡ razón de la progresión^1
Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta, el
valor actual de la renta queda de la siguiente forma:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 i q
1 q 1 i 1 i
1 i
c
1 i q
1 q 1 i 1 i
1 i
c
1 i q
1 q 1 i 1 i
1 i
c
1 i
1 i q
1 q 1 i
1 i
c
1 i
1 i q
1 q 1 i
1 i
c
1 i
1 i q
1 i
q 1
1 i
c
1 i
q 1
1 i
q
1 i
q 1
1 i
c A
n^ n
n n n n
n n
n n
n
n
n 1
n 1
(c;q)ni
−
− −
−
−
−
−
de donde finalmente se puede obtener:
( )
1 i q
1 q 1 i A c
n^ n
(c;q)ni
−
Esta es una expresión que solamente se podrá utilizar cuando:
q ≠ 1 + i
Cuando se cumple:
q = 1 + i
la expresión del valor actual quedará de la siguiente forma:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n 1
3
2
2 (c;q)ni 1 i
c 1 i
1 i
c 1 i
1 i
c 1 i
1 i
c A
−
K
Sacando factor común:
1 Obsérvese que la progresión geométrica del corchete a la que nos referimos en esta ocasión, de razón
«r» es diferente a la progresión geométrica de la propia renta, cuya razón es «q».
Tema 7:Rentas Variables - 5-
1 i
c
se obtiene:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ 1 1 1 (n veces) 1 ] 1 i
c
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i 1 1 i
c A n 1
n 1
2
2
(c;q)ni
^ =
−
−
K
K
El corchete, al simplificarse, no es más que la suma aritmética de n
veces la unidad, quedando el valor actual así:
1 i
n c A (c;q)ni
1.1.2 CÁLCULO DEL VALOR FINAL
A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en
cualquier otro momento, utilizando la relación que existe entre los
valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En
concreto, el valor final será el resultado de capitalizar el valor actual
antes calculado.
Matemáticamente, recordando que la fórmula de la capitalización
compuesta para calcular el valor final de un determinado capital
inicial n períodos es:
( )
n Cn =C 0 ⋅ 1 +i
esta relación se expresa así:
V 0
c 1 =c
0 1 2 3 n-1 n i
c 2 =c·q c 3 =c·q^2 … cn-1=c·qn-2^ cn=c·qn-
Vn?
Tema 7:Rentas Variables - 7-
b. Valorando al 5%.
Como la razón de la progresión q=1,05 y el tanto de valoración i=0,05, se
cumple q = 1 +i, por lo que se para calcular el valor actual se tiene que
aplicar la siguiente fórmula:
1 i
n c A (c;q)ni
A ( 20. 000 ; 1 , 05 ) 40 , 05 =
A ( 20. 000 ; 1 , 05 ) 40 , 05 = 76. 190 , 48 €
El valor final se calcula con la misma fórmula que en el caso anterior:
( ) (c;q)ni
n S( c;q)ni= 1 +i ⋅A
( )
S 1 0 , 05 A
4
( 20. 000 ; 1 , 05 ) 4 0,
4 ( 20. 000 ; 1 , 05 ) 4 0,
S ( 20. 000 ; 1 , 05 ) 4 0,05= 92. 610 , 00 €
1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
Para una renta variable con términos en progresión geométrica ,
temporal (n capitales), prepagable , inmediata , entera y valorada en
compuesta , la representación gráfica queda de la siguiente forma:
1.2.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por
una parte, el primer capital, que ya está en el origen y el resto de
capitales, n–1, como renta pospagable inmediata de n–1 términos:
V 0?
c 1 =c
0 1 2 3 n-1 n i
c 2 =c·q c 3 =c·q^2 … cn=c·qn-
Vn?
Tema 7:Rentas Variables - 8-
Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable
multiplicando por (1 + i) todos los términos.
A (c ;q)ni= ( 1 +i) ⋅A(c;q)ni
1.2.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL
Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta.
La expresión a la que se llega es:
( ) (c;q)ni
n S( c ;q)ni 1 i A
1.3. RENTAS PERPETUAS
El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza,
como las demás rentas perpetuas, a través del límite cuando el número
de términos de la renta (n) tiende a infinito.
1.3.1. RENTAS POSPAGABLES
En primer lugar consideraremos que no se cumple:
q = 1 + i
así que utilizamos la fórmula del valor actual de una renta variable en
progresión geométrica, temporal, pospagable, inmediata y entera y le
aplicamos los límites:
V 0?
c 1 =c
0 1 2 3 n-1 n i
c 2 =c·q c 3 =c·q^2 … cn=c·qn-
V 0
c 1 =c
0 1 2 3 n-1 n i
c 2 =c·q c 3 =c·q^2 … cn=c·qn-
Vn?
Tema 7:Rentas Variables - 10-
1.4.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS
Para valorar la renta diferida, primero valoraremos la renta en su
origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y
posteriormente descontaremos dicho valor actual (como un solo
capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento
compuesto al tanto de interés vigente durante el período de
diferimiento. Gráficamente sería:
El resultado final quedaría así:
( ) ( )
d
- d (c;q)ni (c;q)ni (c ;q)ni 1 i
A
A 1 i A
d
El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor
final se calcula como en una renta inmediata.
1.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS
Al igual que razonamos para las rentas perpetuas, prepagables,
inmediatas y enteras, para calcular el valor actual de una renta
temporal, prepagable, diferida y entera basta con multiplicar el valor
actual de una renta de las mismas características, pero pospagable
por (1 + i). Así:
( ) ( c;q)ni A(c;q)ni
1 i d A
d (^) = + ⋅ &&
1.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS
Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor
actual de una renta perpetua, pospagable, diferida y entera basta con
V 0
c 1 =c
0 1 2 3 n i
c 2 =c·q c 3 =c·q^2 … cn=c·qn-
Vn?
t
Período de diferimiento
(d)
Momento de valoración
Origen
Vt
Tema 7:Rentas Variables - 11-
aplicar límites cuando n tiende a infinito en el valor actual de una
renta temporal, pospagable, diferida y entera. Así:
( ) ( )
( ) 1 i q
c 1 i
Lim A 1 i 1 i Lim A A
Limd A
d
(c;q)ni n
-d -d (c;q)ni (c;q) i n (c;q)ni n
∞ →∞ →∞ →∞
Es decir:
( ) (c;q) i
-d
(c ;q) i
1 i A A
d (^) ∞ ∞
Tal y como sucedía con las rentas inmediatas, hay que recordar dos
cuestiones:
El valor actual de la renta perpetua, pospagable, diferida y
entera sólo tendrá sentido financiero cuando:
q < 1 + i
No tiene sentido calcular el valor final de una renta perpetua.
1.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS
Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor
actual de una renta perpetua, prepagable, diferida y entera basta con
multiplicar el valor actual de una renta de las mismas características,
pero pospagable por (1 + i). Así:
( ) ( c;q) i A(c;q) i
1 i d A
d ∞ ∞
1.5. RENTAS ANTICIPADAS
Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final , siendo el
período de anticipación de la renta el tiempo que transcurre entre el
final de la renta y el momento de su valoración.
1.5.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS
Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en su final y
posteriormente capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el
período de anticipación (h). También se podrá valorar la renta en su
origen y posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado.
Tema 7:Rentas Variables - 13-
1.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS
Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor
actual de una renta temporal, prepagable, anticipada y entera basta
con multiplicar el valor final de una renta de las mismas
características, pero pospagable por (1 + i). Así:
( ) ( c;q)ni S(c;q)ni
1 i h S
h (^) = + ⋅ &&
EJEMPLO 2
Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los próximos 15
semestres si para el primer período ascienden a 500 euros y se estima un
incremento semestral del 8% durante los primeros 10 semestres y manteniéndose
constante a partir de entonces. Tipo de valoración el 10% efectivo semestral.
Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sería
aleatoria. Por el contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros términos
(renta en progresión geométrica, inmediata, pospagable, temporal y entera) y a
continuación los 5 últimos (renta constante, pospagable, temporal, diferida y entera),
podremos emplear fórmulas de rentas.
Así,gráficamente:
Fórmula del valor actual de la renta variable en progresión geométrica, temporal,
pospagable, inmediata y entera, cuando no se cumple que q=1+i:
( )
1 i q
1 q 1 i A c
n^ n
(c;q)ni
−
( )
- 191 , 02 € 1 0 , 10 1 , 08
A 500
10 10
( 500 ; 1 , 08 ) 100 , 1 =
−
A ( 500 ; 1 , 08 ) 100 , 1 = 4. 191 , 02 €
0 1 2 3 … 10 11 12 13 14 15 semestres
500
500·1,
500·1,08^2
500·1,08^9
500·1,08^9 … 500·1,08^9
i 2 =10%
Tema 7:Rentas Variables - 14-
Fórmula del valor actual de la renta constante, pospagable, temporal, diferida y
entera^2 :
( )
d
ni
n i 1 i
A
A
d
An i=c⋅an i
( )
i
1 1 i a
n
ni
− − + =
( ) 3 , 790787 0 , 1
a
5
5 0,10 =
−
A 500 1 , 08 a 500 1 , 08 3 , 790787 3. 788 , 90 €
9 5 0,
9 5 0,10= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( )
A
A
10 10
5 0,
5 0,
Ya podemos sumar los valores actuales de las dos rentas:
A
A 10
5 0,
V 0 = 5. 651 , 80 €
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Este tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantías
van variando y lo hacen siguiendo una ley en progresión aritmética , esto
es, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en una misma
cuantía (que se denomina razón de la progresión aritmética) y que
notaremos por «d», siempre expresada en unidades monetarias.
Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de
ellos «c» y la razón de la progresión «d».
2 Este tipo de rentas las estudiamos en el tema anterior.
Tema 7:Rentas Variables - 16-
Si multiplicamos ambos miembros por v:
( ) ( ) [ ( ) ]
[ ( ) ]
n 1
2 3 4 n (c;d)ni
c n 1 d v
v A c v c d v c 2 d v c n 2 d v
⋅ = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +K+ + − ⋅ ⋅ +
Y si restamos a esta expresión la anterior tendremos:
( ) ( )
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
( ) [( ) ] [( ) ( )]
[( ( ) ) ( ( ) )] [ ( ) ]
( ) [ ] [ ]
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ]
( ) [ ]
[ ]
( ) [ ]
2 3 n n 1 (c;d)ni
n 1
2 3 n (c;d)ni
n n 1
2 3 (c;d)ni
n n 1
2 3 (c;d)ni
4 n n 1
n 1 n 2 3
2 3 (c;d)ni (c;d)ni
A 1 v c v d v d v d v c nd d v
c nd d v ;
A 1 v c v d v d v c nd d c nd 2 d v
c n 1 d c n 2 d v c n 1 d v ;
A 1 v c v c d c v c 2 d c d v
c n 1 d c n 2 d v c n 1 d v ;
A 1 v c v c d c v c 2 d c d v
c 2 d v c n 2 d v c n 1 d v ;
c n 2 d v c n 1 d v c v c d v
A v A c v c d v c 2 d v
−
K
K
K
K
K
K
Operando en el segundo miembro de la igualdad:
( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
n 2 n n 1 (c;d)ni
n 1 n 1
2 3 n n 1 (c;d)ni
n 1
2 3 n (c;d)ni
A 1 v c v 1 v d v v v v nd v
nd v d v ;
A 1 v c v d v d v d v c v
c nd d v ;
A 1 v c v d v d v d v
K
K
K
Teniendo ahora en cuenta que:
( )
1 v 1 i
− = +
entonces:
i v 1 i
i
1 i
1 i 1
1 i
1 v 1 = ⋅
( ) ( )
2 n
2 n
1 i
1 i
1 i
v v v
+ +K+ = K
Esta última expresión es el valor actual de una renta unitaria,
constante, pospagable, temporal, inmediata y entera, por lo que
ocurre que:
( )
i
1 1 i v v v a
n
ni
2 n
− − +
Tema 7:Rentas Variables - 17-
Si:
( )
1 v 1 i
− = +
entonces:
( )
n n v 1 i
− = +
Así:
( )
i
1 v
i
1 1 i v v v a
n n
ni
2 n −
−
K
Retomando y sustituyendo en la fórmula anterior:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
v ; i
nd a i
d A c
v ; i
nd
i
d a A c a
i
nd v
i
d a
i
c 1 v A
i v
nd v
i v
d v a
i v
c v 1 v A
i v
c v 1 v d v a nd v A
A i v c v 1 v d v a nd v ;
A 1 v c v 1 v d v v v v nd v ;
n (c;d)ni n
ni n (c;d)ni ni
n ni
n
(c;d)ni
n 1 ni
n
(c;d)ni
n 1 ni
n
(c;d)ni
n 1 ni
n (c;d)ni
n 2 n n 1 (c;d)ni
⋅ −^ ⋅
K
Por último, si en el segundo miembro de esta igualdad sumamos y
restamos:
i
nd
tendremos:
( )
( ) ; i
nd 1 v i
nd a i
d A c
i
nd v 1 i
nd a i
d A c
i
nd
i
nd v i
nd a i
d A c
n (c;d)ni ni
n (c;d)ni ni
n (c;d)ni ni
Tema 7:Rentas Variables - 19-
( )
i
1 1 i a
n
ni
− − + =
4100 a 0 , 07
A ( 2. 000 ; 100 ) 40 , 07 2. 000 4 0,
( ) 3 , 387211 0 , 07
a
4
4 0,07 =
−
A ( 2. 000 ; 100 ) 40 , 07 2. 000 =
A ( 2. 000 ; 100 ) 40 , 07 = 7. 253 , 89 €
Valor final:
( ) (c;d)ni
n S( c;d)ni= 1 +i ⋅A
S ( 1 0 , 07 ) 7. 253 , 89 9. 508 , 37 €
4 ( 2. 000 ; 100 ) 40 , 07 = + ⋅ =
S ( 2. 000 ; 100 ) 40 , 07 = 9. 508 , 37 €
2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
Para una renta variable con términos en progresión aritmética ,
temporal (n capitales), prepagable , inmediata , entera y valorada en
compuesta , la representación gráfica queda de la siguiente forma:
2.2.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por
una parte, el primer capital, que ya está en el origen y el resto de
capitales, n–1, como renta pospagable inmediata de n–1 términos:
V 0?
c 1 =c
0 1 2 3 n-1 n i
c 2 =c+d c 3 =c+2d … cn=c+(n-1)·d
Vn?
Tema 7:Rentas Variables - 20-
Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable
multiplicando por (1 + i) todos los términos.
A (c ;d)ni= ( 1 +i) ⋅A(c;d)ni
2.2.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL
A partir del valor actual se podrá calcular cualquier otro valor
financiero, utilizando la relación que existe entre los diferentes
valores financieros en los distintos momentos de tiempo:
Así, el valor final:
( ) (c;d)ni
n S( c ;d)ni 1 i A&&
2.3. RENTAS PERPETUAS
El cálculo de la renta en progresión aritmética perpetua se realiza,
como las demás rentas perpetuas, a través del límite cuando el número
de términos de la renta (n) tiende a infinito.
2.3.1. RENTAS POSPAGABLES
Si aplicamos el concepto de límites cuando n tiende a infinito:
( ) [ ( ) ]
i
nd nd 1 i -nd
i
1 - 1 i
i
d A lim c
i
nd 1 - 1 i -nd
i
1 - 1 i
i
d A lim c
i
nd
i
1 - 1 i nd i
1 - 1 i
i
d A lim c
i
nd a nd a i
d A lim c
i
nd nd a i
d A lim c
n
(c;d) i
n
(c;d) i
n
(c;d) i
ni ni n
(c;d) i
ni n
(c;d) i
→ ∞
∞
→∞
∞
→∞
∞
→∞
∞
→∞
∞
V 0?
c 1 =c
0 1 2 3 n-1 n i
c 2 =c+d c 3 =c+2d … cn=c+(n-1)·d
Vn?
