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NOTAS BREVES SOBRE MATRICES Y DETERMINATES
1.- Definición de matriz. Una matriz real de orden mxn siendo m y n números naturales es un conjunto de mxn números distribuidos en “m” filas y “n” columnas.
Ejemplos:
4 x 3
2 x 3 3 3 1
A los números que componen las matrices se les llama elementos. Se representan en general por la expresión aij donde “i” representa la fila y “j” la columna en la que se encuentra.
Ejemplo: (^2122232) x 3
11 12 13 a a a
a a a ⎟⎟ ⎠
2.- Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además los elementos colocados en el mismo lugar, valen lo mismo. ( han de ser la misma matriz)
3.- Operaciones con matrices
a) Suma. Dadas dos o más matrices del mismo orden , su suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.
Ejemplo: (^0262) x 3
2 x 3 3 3 5 2 x 3
⎟⎟^ =
b) Multiplicación por un número. Para multiplicar una matriz cualquiera por un número real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número.
Ejemplo: – 2· (^0262) x 3
(^04122) x 3
c) Producto de matrices. El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa el lugar cij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna “j” de la segunda matriz.
Ejemplo: (^) ⎟⎟ ⎠
⎟⎟^ =
Nótese que para que esta operación tenga sentido tal y como se ha definido, es preciso que el número de columnas de la primera matriz, coincida con el de filas de la segunda. En caso contraria no casarían las multiplicaciones parciales. La matriz resultante tiene el número de filas de la primera y el de columnas de la segunda. Es importante subrayar también que en el caso en que se pudieran multiplicar las matrices A·B y B·A , el resultado generalmente es diferente, lo que nos dice que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa.
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4.- Matrices traspuestas
Dada una matriz A, su traspuesta ( A t^ ) es la que se obtiene al cambiar filas por columnas en el
mismo orden. Ejemplo: A = (^0262) x 3
A t^ = (^463) x 2
Ejemplo: Dadas las matrices A = ⎟
y B = ⎟
, calcular :
a) A + B; b) A – B c) 2A d) – 3B e) 3A + 2B; f) (A – B) t^ ; g) A·B ; h) B·A ; i) At
Solución
a) A + B = ⎟
b) A – B = ⎟
c) 2A = ⎟
d) – 3B = ⎟
e) 3A + 2B = ⎟
f) (A – B) t^ =
g) AB = ⎟
h) BA = ⎟
i) A t^ = ⎟
5.- Determinante de una matriz cuadrada
Es un número asociado a toda matriz cuadrada y que en el caso de las de 2x2 y 3x3 se calcula de las siguientes maneras.
Sea A = (^) ⎟⎟ ⎠
21 22
11 12 a a
a a su determinante que se expresa (^11221221) 21 22
(^11 12) a ·a a ·a a a
a a A = = −
En el caso de que sea A = ⎟
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a se calcula como:
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a A a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 32 a 13 −a 13 a 22 a 31 −a 12 a 21 a 33 −a 23 a 32 a 11
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TEMA I. ESPACIO VECTORIAL
1.- ESPACIO VECTORIAL
Es una estructura algebraica formada por un conjunto E a cuyos elementos llamaremos vectores en el que se ha definido una ley de composición interna (operación) que denotaremos por “+” que cumple las siguientes propiedades:
a) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w Asociativa
b) u + v = v + u Conmutativa
c) Existe un elemento de E que denotaremos por 0 tal que u + 0 = u y que llamaremos elemento neutro
d) Dado un elemento u de E existe otro llamado – u tal que u + ( – u) = 0 que llamaremos elemento simétrico
También se ha definido una ley de composición externa sobre un cuerpo K (generalmente el cuerpo de los números reales), es decir una operación de un elemento de E con otro de K para obtener otro de E que cumple las propiedades siguientes:
a) a( u + v ) = au + av
b) ( a + b )u = au + bu
c) a(bu) = (ab)u
d) 1 ·u = u
Siendo a y b elementos de K y u y v elementos de E
Entonces al conjunto E con estas operaciones y cumpliendo las 8 propiedades se dice que es un espacio vectorial sobre K
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos de K se les llama escalares.
Ejemplo
El conjunto R 2 que son pares de números reales (x , y) con la suma definida como:
( x 1 , y1 ) + ( x 2 ,y2 ) = ( x 1 + x 2 , y1 + y 2 ) y la multiplicación por un número definida como:
a( x, y ) = ( ax , ay ) también es un espacio vectorial sobre R.
Análogo para R^3 y en general Rn^.
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2.- COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores {u 1 ,u 2 ,u 3 ,.......un}, una combinación lineal de ellos es el
vector que se obtiene al sumar los vectores dados multiplicados previamente por números cualesquiera.
Ejemplos:
a) Sean los vectores (^) {( 3 ,− 2 ),(− 1 , 1 )}. Multiplicamos el primero por – 2 por ej. y el segundo por 4 quedando – 2( 3, – 2) + 4( – 1, 1) = ( – 10, 8 ). Este vector ( – 10, 8 ) se dice que es combinación lineal de los dos primeros. Obviamente se podrán obtener infinitos vectores generados por ellos, sin más que cambiar los números por los que multiplicamos.
b) ¿Es el vector ( – 5 , 6 ) también una combinación lineal de los dados?
Si lo fuera tendría que haber dos números a y b tales que ( – 5, 6) = a( 3, – 2) + b( – 1, 1 )
Operando el segundo miembro e igualando componentes llegaríamos a un sistema que
resolvemos, es decir ( – 5, 6 ) = ( 3a – b, – 2a + b ) y de aquí ⎭
2 a b 6
3 a b 5 de donde
a = 1 y b = 8. Por tanto sí que lo es
c) ¿ Es el vector ( 4, – 3 ) una combinación lineal de los vectores ( 1, – 2 ) ( – 2, 4 )?
Planteando lo mismo de antes llegamos a que ( 4, – 3 ) = a( 1, – 2 ) + b( – 2, 4 ) y de aquí al
sistema ⎭
2 a 4 b 3
a 2 b 4 Al resolver este sistema vemos que es incompatible. Por lo tanto no
es combinación lineal.
3.- VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES e INDEPENDIENTES
Dado un conjunto de vectores {u 1 ,u 2 ,u 3 ,.......un}, diremos que constituyen un sistema
linealmente independiente o sistema libre, si la única forma de obtener el vector nulo como combinación lineal de ellos es que “todos los escalares” valgan 0. En caso contrario, es decir si al menos un escalar es distinto de 0, el sistema es linealmente dependiente.
Ejemplos: a) ¿Cómo son los vectores (^) {( 3 ,− 2 );(− 1 , 1 )}?
Hemos de plantear la siguiente condición a(3, – 2) + b( – 1, 1) = (0, 0 ). El sistema que
obtenemos será ⎭
2 a b 0
3 a b 0 que al resolverlo nos da a = b = 0 y por tanto son linealmente
independientes ( L. I.)
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Así la dimensión de R^2 es 2 ; la de R^3 es 3 y en general la de Rn^ es n. La dimensión del subespacio vectorial formado por el {0} tiene dimensión 0 A la base cuyos vectores tienen sus componentes 0 excepto una que vale 1 se le llama “base canónica”. En R^2 sería { ( 1, 0) ( 0, 1) }. En R 3 { ( 1,0, 0 ) ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) } y así sucesivamente.
6.- COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE
Son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base para obtener el vector dado
Ejemplos: a) Calcular las coordenadas del vector ( – 5, 6) respecto de la base {( 3, – 2) ;( – 1, 1 )}
Ya hemos visto antes que ( – 5, 6) = a( 3, – 2) + b( – 1, 1 ) nos da como resultado a = 1 y b = 8. Dichos números 1 y 8 son las coordenadas buscadas
b) ¿Y respecto de la base canónica?.
Obsérvese que en este caso ( – 5, 6) = a( 1, 0) + b( 0 ,1 ) nos da a = – 5 b = 6. Es decir en la base canónica, coinciden “las componentes del vector con las coordenadas de dicho vector respecto de la base canónica”
c) Calcular las coordenadas de los vectores a) ( 10, – 6 , – 9) b) ( 1, – 7, 10) c) ( – 1, 7, 7) respecto de la base (^) {( 1 , 0 , 1 );(− 2 , 1 , 4 );( 2 ,− 3 , 1 )} ( Habría que hacer un sistema para cada vector): Sol: a) 2, – 3, 1 b) – 1, 2, 3 c) 5, 1, – 2
7.- TEOREMAS RELATIVOS A BASES
7.1.- En Rn^ “n” vectores linealmente independientes son base
7.2.- En Rn^ “n” vectores que forman un sistema generador son base
Estos teoremas nos permiten a la hora de demostrar que un sistema de vectores es una base, comprobar una sola de las dos condiciones de base.
8.- SUBESPACIO VECTORIAL
Sea E un espacio vectorial y sea F un subconjunto de E. Diremos que F es un subespacio vectorial de E si es un espacio vectorial con sus elementos y las operaciones inducidas de E. Nota importante : Como F ha de ser espacio vectorial ha de contener el elemento neutro de E
Caracterización: Sea E un espacio vectorial y sea F ⊂^ E diremos que F es subespacio
vectorial de E si ∀ u, v∈F ∀α,β∈K es αu+βv∈F es decir cualquier
combinación lineal de elementos de F es un elemento de F.
Ejemplo: Sea E = R^2 un espacio vectorial y sea F = (^) {( x,y)∈ R^2 /x 1 = 0 }es decir F lo forman los vectores de R^2 cuya primera componente vale 0. Veamos que es un subespacio vectorial. Cogemos dos elementos de F u = ( 0 , y 1 ) v = ( 0, y 2 ) y dos números reales
α y β. Calculamos α u +βv=α( 0 ,y 1 )+β( 0 ,y 2 )=( 0 ,αy 1 )+( 0 ,βy 2 )=
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= ( 0 ,αy 1 +βy 2 ) que es un elemento de F, por tener la primera componente nula. Por lo
tanto F es subespacio vectorial.
9.- FORMAS DE EXPRESAR UN SUBESPACIO
Son tres:
a) Mediante las ecuaciones implícitas o cartesianas que son igualdades que relacionan las componentes de los vectores.
Ejemplo 1º:
Sea F = (^) {( x ,y)∈ R^2 / 2 x+y= 0 }. En este caso los vectores de F son aquellos que verifican que el doble de la primera componente más la segunda es igual a 0. Vectores de F serían ( – 3,
- ( 2, – 4) ( 0, 0 ) (^) ⎟ ⎠
etc..
Ejemplo 2º :
Sea F = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 / 3x1 – 2x 2 + x 3 = 0 }. En este caso podrían ser de F los vectores ( 1, 1, – 1) ( 0, 0, 0 ) ( 2, 3, 0 ) ( – 2, 4 , 14) etc.
b) Mediante las ecuaciones paramétricas. Las componentes se relacionan mediante parámetros que son letras que pueden tomar valores arbitrarios.
Ejemplo 1º:
Sea F = (^) {( x ,y)∈ R^2 /(x,y)=(λ,− 3 λ}. En este caso nos indica que si x toma un valor cualquiera, la y ha de valer el triple con signo cambiado. Vectores de F serían ( 0, 0) ( 1, – 3) ( – 2, 6) ( 4, – 12) etc..
Ejemplo 2º:
Sea F = { ( λ, 2 λ,−λ) λ∈R}. Se nos indica que los vectores, que son de R^3 , tienen la
característica de que la 1ª y la 3ª componente son opuestas y la 2ª es el doble de la 1ª; por ejemplo los vectores ( 3, 6, – 3 ) y ( – 1, – 2, 1 ) pertenecen a F
Ejemplo 3º :
Sea F = { ( λ, μ,λ−μ) λ,μ∈R}
En este caso se significa que la 1ª componente x 1 toma un valor arbitrario λ , la 2ª x 2 toma otro valor independiente del 1ª que llamamos μ y la 3ª, vale la resta de los dos. Por ejemplo: ( 3, – 1, 4 ) ( – 2, 1, – 3 ).
c) Dando los vectores que generan el subespacio. En este caso los vectores de F son los generados por él o ellos.
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Ejemplo 2º
Sea F = { (x1, x2 , x3 ) de R^3 / x 1 + x 2 – 2x3 = 0 }
El valor de cada una de ellas depende de las otras dos, por lo tanto al calcularla tendremos que darle a x 2 por ej. el valor “a” y a x 3 el valor “b” con lo que x 1 = – a + 2b y el subespacio quedaría: F = { ( x 1 , x2 , x3 ) = ( – a +2b, a, b ) } que al sacar factor común a y b quedaría
F = { a ( – 1, 1, 0 ) + b ( 2, 0, 1 ) } = R ( – 1, 1, 0 ) + R ( 2, 0, 1 ) y estaríamos en la forma c).
Por último, en el caso en que F viniera en función de dos ecuaciones implícitas por ej.
F = {( x 1 , x 2 , x 3 ) / x 1 + x 2 – 2x 3 = 0 x 1 – x 2 = 0 }, resolveríamos el sistema quedándonos con dos incógnitas al haber dos ecuaciones, con lo que dependerían de una sola incógnita
x x 0
x x 2 x 0
1 2
1 2 3 ⎭
x x 0
x x 2 x
1 2
1 2 3
le damos a x 3 el valor “a” y resolvemos el sistema obteniendo x 1 = a y x 2 = a.
Luego F será F = { ( x 1 , x2 , x3 ) = ( a, a, a ) } = {a ( 1, 1, 1 ) } = R( 1, 1, 1)
10.- SUBESPACIO INTERSECCIÓN DE OTROS
Dados dos subespacios L y M, el subespacio intersección L ∩ M, está formado por los vectores que pertenecen simultáneamente a los dos. La forma más fácil de averiguarlo es, una vez expresados en forma implícita, resolver el sistema formado por sus ecuaciones. ( se verá en la parte práctica ).
Si la intersección es el vector nulo se dirá que los subespacios son independientes.
Ejemplo 1º
Sea L = (^) {( x ,y)∈ R^2 / 2 x+y= 0 }y sea M = (^) {( x ,y)∈ R^2 /(x,y)=(λ,− 3 λ}
Veamos cuál es el subespacio intersección. Escribamos la ecuación implícita o cartesiana del subespacio M. Para ello eliminamos el parámetro λ
Como y 3 x y 3
x ⇒ =− ⎭
=−λ
= λ es decir 3x + y = 0. Resolviendo el sistema formado por las
dos ecuaciones cartesianas tendremos ⎭
3 x y 0
2 x y 0 cuya solución es x = y = 0.
Es decir el único vector que pertenece a los dos subespacios simultáneamente es el vector nulo, que sabemos que pertenece a cualquier subespacio. Por tanto L y M son independientes
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Ejemplo 2º
Sea L = { ( λ, 2 λ,−λ) λ∈R}. y sea M = { (x, y, z ) de R^3 / x + y – 2z = 0 }
Escribimos la(s) ecuación(es) cartesiana(s) de L teniendo en cuenta que ⎪ ⎭
=−λ
= λ
= λ
z
y 2
x y
eliminando el parámetro tenemos y = 2x z = – x que son las ecuaciones buscadas.
Resolvemos ahora el sistema ⎪ ⎭
x y 2 z 0
x z 0
2 x y 0 Que nos da x = y = z = 0. Luego el único
vector es el ( 0, 0, 0 ) y los subespacios son independientes
Ejemplo 3º:
Sea L = { ( x, y, z ) = ( – a +2b, a, b ) } y M = { (x, y, z ) de R^3 / 3x – y + z = 0 }
Eliminamos “a” y “b” del primer subespacio. Como ⎪ ⎭
z b
y a
x a 2 b sustituyendo en la 1ª
ecuación se tiene x = – y + 2z o lo que es lo mismo x + y – 2z = 0. Si resolvemos ahora el
sistema ⎭
3 x y z 0
x y 2 z 0 al sumar nos queda 4x – z = 0 de donde z = 4x y = 7x. Por tanto
la solución del sistema que es compatible e indeterminado será (^) ( x ,y,z) = (λ, 7 λ, 4 λ)que al sacar factor común λ ( x, y, z ) = λ ( 1, 7, 4 ) es decir el subespacio L ∩ M está generado por el vector ( 1, 7, 4 ) que es de dimensión 1.
11.- SUBESPACIO SUMA
Dados dos subespacios vectoriales A y B del espacio vectorial E, definimos el subespacio suma de ambos que escribimos A + B como aquél en el que cada uno de sus vectores se puede poner como suma de uno de A y otro de B. Es decir A + B = {w (^) ∈E/w=u+v u∈A v∈B} Los vectores que lo generan se obtienen añadiendo los que generan A a los que generan B.
Ejemplo:
Sea A = R ( –1, 0, 1 ) y sea B = R ( 2, 1, 1 ) entonces A + B = R ( –1, 0, 1 ) + R ( 2, 1, 1 )
Si A y B son independientes, la suma de A y B se llama suma directa y se escribe A ⊕ B. Si además, la suma de A y B nos da el espacio vectorial E, siendo independientes, se llaman subespacios suplementarios.
12.- TEOREMA
F 1 y F 2 son independientes ⇔ F 1 (^) ∩ F 2 ={ } 0 , es decir : Dos subespacios son independientes sí y sólo sí , su intersección es el vector nulo
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14.- SUBESPACIO AFIN
Dado un espacio vectorial E, diremos que A es un subespacio afín de E si A = v + F siendo v un vector cualquiera de E y F un subespacio vectorial de E, es decir:
A = v + F = { z ∈E tales que z = v + x con x ∈F }
( cualquier vector de A es suma del v que es fijo y otro de F )
Ejemplo:
Sea A = ( 2, 1, 1) + R( 1, 0 , – 1). En este caso v = ( 2, 1, 1) y F = R ( 1, 0, – 1).
En A estarían por ej. los vectores ( 2, 1, 1) + ( 1, 0 ,–1 ) = ( 3, 1, 0) ;
( 2, 1, 1 ) + ( 3, 0, – 3 ) = ( 5, 1, – 2) ( 2, 1, 1) + ( – 2, 0, 2 ) = ( 0, 1, 3 ) etc….
También puede venir el subespacio afín de esta forma A = (^) {( x 1 , x 2 , x 3 )∈ R^3 / x 1 + x 2 = 3 }
En este caso como x (^2) = 3 − x 1 el vector (^) ( x 1 (^) , x 2 , x 3 )= ( x 1 , 3 − x 1 , x 3 )=( 0 , 3 , 0 )+ (^) ( x 1 (^) , − x 1 , x 3 )
= ( 0, 3 , 0) + x 1 ( 1 , − 1 , 0 ) + x 3 ( 0 , 0 , 1 )y por tanto A es la suma del vector v = ( 0 , 3, 0 ) más
el subespacio F engendrado por los vectores ( 1, – 1, 0 ) y ( 0, 0, 1), es decir
A = ( 0, 3, 0 ) + R( 1, – 1, 0 ) + R( 0, 0, 1 )
Nótese que cualquier subespacio vectorial es un subespacio afín ya que siempre se puede poner como A = {0} + F. El contrario no es cierto. El ejemplo anterior nos sirve ya que en él no estaría el vector neutro
15.- HIPERPLANOS DE R n
Un hiperplano de Rn^ es el conjunto de vectores que verifican una ecuación lineal. Se expresa así H = {( x 1 , x 2 , x 3 ,....... xn )∈ Rn / a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +.......+ anxn = d } donde los ai y la d son números reales y las ai no son simultáneamente nulas.
Ejemplos: H 1 = {( x 1 (^) , x 2 )∈ R^2 / 3 x 1 + 2 x 2 = 6 }es un hiperplano de R^2
H 2 = (^) {( x 1 (^) , x 2 , x 3 )∈ R^3 / 3 x 1 + 2 x 2 − x 3 = 1 }es un hiperplano de R^3
16.- TEOREMA. Todo hiperplano es un subepacio afín
17.- SUBESPACIOS AFINES PARALELOS y DÉBILMENTE PARALELOS
Dos subespacios afines A = v + F y B = w + G son paralelos si F = G y son débilmente paralelos ( v + F es débilmente paralelo a w + G ) si F ⊆ G
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EJERCICIOS
1.- ¿Qué valores han de tener “x” e “y” para que los vectores (2, 1, x ) y ( 6, y, 15 ) sean linealmente dependientes? Sol: x = 5 e y = 3
2.- ¿Y para que sean linealmente independientes? Sol: x ≠ 5 ó y ≠ 3
3.- a) ¿Pueden ser tres vectores de R^2 una base de éste? Sol: No. Las bases de R^2 sólo pueden tener dos vectores
b) ¿Y un vector? Sol : Tampoco
c) ¿ Puede ser una base un sistema de vectores que contenga el vector nulo? Sol : No ya que el vector nulo depende de los demás y por lo tanto no sería L. I.
d) ¿Puede ser una base de R^2 dos vectores proporcionales?. Por ejemplo { ( –2, 1 ) ( 6, – 3 ) } Sol: No porque uno de ellos se puede poner como combinación del otro y por lo tanto no serían L. I.
e) ¿Cuál de estos sistemas de vectores podrá ser una base, atendiendo a lo anterior? e.1) {( – 1, 1 ) ( 3, – 3 ) e.2) {( 1, 1 ) ( –1, 0 ) ( 2, 1 ) } e.3) {( 1, – 3 ) }
e.4) {( 4, 1 ) ( – 2, 0 ) } e.5) {( 1, 0 ) ( – 1, 3 ) ( 0, 0 ) } Sol : e.
4.- ¿Cuál es el rango de los sistemas de vectores siguientes? También se podría preguntar, ¿ cuál es la dimensión de los subespacios generados por los siguientes sistemas de vectores? 4.1.- { ( 1, 0, 1 ) ( – 2, 1, 4 ) } Sol : 2 4.2.- { ( 1, – 2 ) } Sol : 1 4.3.- { ( 1, – 1 ) ( – 2, 2 ) } Sol : 1 4.4.- { ( 1, 0, 1 ) ( – 1, 1, 0 ) ( 0, 1, 1 ) } Sol : 2 4.5.- { ( 2, 1, 0 ) ( – 2, – 1, 0 ) ( 4, 2, 0 ) } Sol : 1 4.6.- { ( 1, 0, 1 ) ( – 1, 1, 1 ) ( 3, 1, – 2 ) } Sol : 3
5.- ¿Cuánto tiene que valer “a” para que los vectores (1, – 1, 0 ) (2, 1, – 3 ) ( a, 1, 6 ) sean linealmente dependientes? Sol : a = – 7
6.- ¿Cuánto ha de valer “b” para que la dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores ( 1, – 2, 2 ) ( b, 6, – 6 ) a) Sea dos? Sol : b ≠ – 3 b) Sea 1? Sol : b = – 3
7.- ¿Qué tienen que valer “a” y “b” para que los vectores ( 1, a, – 2, 0 )( 2, – 3, 0, a) ( – 4, 1, 4, b ) sean a) linealmente dependientes.? Sol : a = 1 y b = – 1
b) ¿Y para que sean linealmente independientes? Sol : a ≠ 1 ó b≠ 1
8.- Consideremos los vectores ( 1, 1, 0, 1 ) ( 0, 0, 1, 2 ) ( 0, 1, – 2, – 1 )( 0, – 1, 3, a ).
¿ Cuál es el valor de “a” para que el rango del sistema de vectores sea 3.
Sol : a = 3. Nota : Aplicar determinantes
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16.- Sean los subespacios F 1 = R ( 0, 1, 1 ) y F 2 = { ( x 1 , x2 , x3 ) / x 1 = 0 } Demostrar que F 1 + F 2 = F (^2)
Sol : F 2 = R ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) y como ( 0, 1, 1 ) = ( 0, 1, 0 ) + ( 0, 0, 1 ), cualquier vector de F 1 es de F (^2)
17.- Dada la base ( 1, 2) ( 1, 1 ) calcula las coordenadas de un vector ( a, b )
Sol : α =b −a y β= 2 a −b
18.- ¿Cuál de los siguientes subconjuntos no es subespacio vectorial de R^3? a) { ( a, b, c ) / a + b + c = 0 } b) { “ / 2b + 3c = 5a } c) { “ / a 2 + b^2 + c^2 = 0 } d) { “ / a = 1 } Sol : La d por no contener al neutro
19.- ¿Para qué valores de b los vectores ( b, – 3, 2 ) ( 2, 3, b ) ( 4, 6, 4 ) no son una base de R^3? Sol : b = 2 ó b = – 2
20.- La dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores
( 1, 2, 3 ) ( 4, 5, 6 ) ( 7, 8, 9 ) es : Sol : 2
21.- Sean las bases de R 2 B = {(1, – 1 )( 0, 2 } y B’={( – 1, 0 ) ( 2, 1 )}. Si las coordenadas de un vector respecto de la 1ª son – 1 y 1, ¿ cuáles son las coordenadas respecto de la 2ª base?. Sol : 7 y 3
22.- Dados los subespacios L = {( x 1 , x2 , x3 ) / x 1 = x 3 , x2 = 0 } y M = { ( x 1 , x2 , x3 ) / x 3 = 0 }. Demostrar que L ⊕ M = R 3
Sol : Como L = R ( 1, 0, 1 ) y M = R( 1, 0, 0 ) + R( 0, 1, 0 ) y como son independientes y además L + M = R^3 , los subespacios L y M son suma directa.
23.- Sean los vectores ( a, – 1, 1 ) (– 1, 2, – 1 ) ( 0, a, 0 ). Si “r” es el rango de los tres vectores, entonces:
a) r = 3 si a = 1 b) r = 2 si a = 0 c) r = 1 si a = 0 d) r = 2 si a = – 1 Sol : la b
24.- Sean los vectores ( 2, 3, 0 ) ( 0, 1, 2 ) ( 2, 2, – 2 ) ( – 2, – 1, 4 ).¿ Cuáles son sus ecuaciones cartesianas?
a) x 1 + x 2 = 0 x 1 – x3 = 0 b ) x 3 = 0 c) 3x 1 – 2x2 + x 3 = 0 d) R^3
Sol : Comprobando las que verifican los vectores se comprueba que es la c
25.- ¿ Cuál es el rango del sistema de vectores anterior? Sol : 2
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26.- Dados los subespacios vectoriales:
F 1 = R ( 1, 1, 1 ) y F 2 = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) / x 1 = 2x 2 , x 3 = 3x 2 }. Determinar cual de estos vectores no pertenece a F 1 + F 2 :
a) ( 3, 2, 4 ) b) ( 2, 1, 3 ) c ) ( 1, 1, 1 ) d) ( 3, 2, 1 ) Sol : La d
27.- Los vectores ( 3, 0, a, – 1 ) ( 1, 1, 0, b ) ( 2, 5, b, – 4 ) son L. D. si :
a) a = 1 y b = – 1 b) a ≠ 1 y b≠− 1 c) a ≠ 1 o b≠− 1 d) a = 1 ó b = – 1
Sol : la a
28.- La dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores
( b, – 5, 3 ) ( 3, 5, b ) ( 6, 10, – 6 ) es igual a 1 si : Sol : b = – 3.
29.- Sean los subespacios de R^3
L = {( x, y, z ) / x + 3y – z = 0 , x + y = 0 } M = { ( a, 0, 3a ) }.
¿ Cuál es el subespacio L + M? Sol : L + M = { ( x, y, z ) / 3x + 5y – z = 0 }
30.- La dimensión del subespacio L ∩ M ( siendo L y M los del ejercicio anterior) es : Sol : 0
31.- Calcula la dimensión del sistema de vectores:
( 2, 3, 0 ) ( 0, 1, 2 )( 2, 2, – 2 ) ( – 2, – 1, 4 ). Sol : 2
32.- Calcula la ecuación cartesiana del subespacio que generan estos vectores.
Sol : 3x – 2y + z = 0
33.- Consideremos los vectores ( a, 2, a ) ( 1, 0, 0 ) ( 1, 3, 1 ). Calcula para qué valores de “a” forman una base de R^3. Sol : a 3
34.- Calcular la dimensión del subespacio generado por los vectores: ( 0, 1, – 1 ) ( 1, 0, 1 ) ( 1, 1, 0 ) ( 2, 1, 1 ). Sol : 2
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Sol: Por teoría sabemos que la a) , b) y d) son ciertas. La c) puede ser falsa si el vector v 1 es combinación lineal de los otros tres. En este caso, el rango no aumenta en una unidad.
3.- Los vectores (b, − 3, 2) (2, 3, b) y (4, 6, 4) NO forman base de R 3 si el parámetro real a verifica:
a) b ∈ {2, − 2} b) b ∈ {3, 0} c) b ∈ {1, − 1} d) b = 5
Sol: C alculamos 6 24 2 4
− =− b^2 + b
b que se anula para b = 2 y b = − 2. En estos casos
los vectores son L.D. y no forman base. La respuesta es la a)
4.- Una base del subespacio vectorial de R 4
{ ( (^) x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) ∈ R^4 /x 1 + 2 x 2 − x 3 = 0 ; x 1 + x 4 = 0 } es:
a) {(1, 0, 1, 1) (1, 0, 2, 1)} b) {(0, 2
c) {(0, 0, 1, 0) (2, 0, 0, 1)} d) {( 2
Sol: El subespacio viene dado por sus ecuaciones cartesianas. Aquellos vectores que formen
parte de él tendrán que cumplir estas ecuaciones.
Si vamos sustituyendo las posibles bases, vemos que es la b) la que las cumple.
5.- Consideremos el subconjunto de R 3 : A = { ( (^) x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R^3 /bx 2 + x 3 = a ; x 1 = 0 }
donde a y b son números reales. Entonces:
a) A es un subespacio vectorial de R 3 cualesquiera que sean a y b
b) Si a = b = 0 entonces A = R( 0, 1, 0)
c) (0, 0, 0) ∈ A cualesquiera que sean a y b
d) Si a = b = 0 entonces A no es subespacio vectorial de R^3
Sol: La a) es falsa ya que si a no es 0 no puede ser subespacio vectorial porque el elemento
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neutro no cumpliría la primera ecuación cartesiana. Este argumento sirve para la c). La d) es
falsa ya que si a = b = 0 entonces (^) {( x 1 (^) , x 2 , x 3 )∈ R^3 / x 3 = 0 ; x 1 = 0 }que sí sería un
subespacio vectorial y además sus vectores son de la forma:
{( 0 , x 2 , 0 )} ={ x 2 ( 0 , 1 , 0 )} =R( 0, 1, 0) que es la b)
6.- Consideremos los vectores de R^3 : (a, − 1, 1) ( − 1, 2, − 1) y (0, a, 0). Entonces:
a) r = 3 si a = 1 b) r = 2 si a = 0 c) r = 1 si a = 0 d) r = 2 si a = − 1
Sol: Lo podemos hacer probando las soluciones o por determinantes. Si calculamos
2
1 1 0
a a a
a =− + −
que se anula para a = 0 y a = 1.
Para estos dos valores, el rango no es 3. Ahora bien si a = 0 las dos primeras columnas por
ejemplo son L.I. por no ser proporcionales y el rango es 2 que es la b)
7.- Los vectores (1, 2, a) y (2, b, 6) son L.I. de R 3 si y sólo si:
a) a ≠^ 3 y b ≠^ 4 b) a ≠^ 3 o b ≠^ 4 c) a = 3 y b = 4 d) Ninguna de ellas
Sol: Para que sean L.I. no pueden ser proporcionales. Para que lo fueran a = 3 y b = 4. Para
que no lo sean basta con que no se cumpla una de ellas es decir: a ≠ 3 o b ≠ 4 que es la b)
8.- Consideremos en subconjunto de R 2 : (^) A (^) K = { ( x 1 ,x 2 ) ∈ R^2 /ax 1 + bx 2 = k } con a , b y
k números reales. Si k = 0 qué opción es incorrecta:
a) A 0 es subespacio vectorial de R^2 cualesquiera que sean a y b
b) Si a = b = 0 entonces A 0 = R^2
c) A 0 = R( − b, a) cualesquiera que sean a y b
d) (0, 0) ∈ A 0 cualesquiera que sean a y b
Sol: La a) es correcta ya que A 0 (^) = {( x 1 , x 2 )∈ R^2 / ax 1 + bx 2 = 0 }sería el subespacio dado
mediante su ecuación cartesiana. La b) también sería correcta ya que si a = b = 0, tendríamos
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