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Se declara el temario de la unidad de la carrera de logística
Tipo: Apuntes
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m n
En términos generales, un polinomio es una expresión algebraica formada por una serie finita de sumandos que involucran variables y constantes. Expresiones como las siguientes son polinomios de varias variables:
De una manera sintetizada se pueden expresar de la siguiente manera:
ki 1
kin
i 1 n (^) , i = 1 donde a 1 , …, am son constantes (números de un conjunto), x 1 , …, xn son las variables y cada ki 1 , …, kin son números naturales diferentes entre sí para cada valor de i. Comenzaremos con los polinomios de una sola variable o indeterminada que
n
i = 0
no negativos. De manera desarrollada la expresión anterior queda como sigue:
i = 0
1
n n i i^0 .
Al respecto, podemos hacer las siguientes observaciones:
llama término independiente.
matemáticos diferentes. Algunos ejemplos de polinomios de una variable son los siguientes:
(En lo anterior b se toma como una constante.) Una observación importante que relaciona lo que hiciste en la unidad anterior con lo que harás
(es decir, elementos del anillo ℤ) entonces el conjunto de polinomios de una variable es también un anillo, es decir, cumple con los primeros ocho axiomas mencionados en la primera unidad. Una ventaja enorme es que entonces lo que estudiaste sobre los números enteros en tus primeros años de escuela se puede aplicar a los enteros. Veamos cómo. Antes que nada piensa en la notación desarrollada de un número entero, por ejemplo 34,912, y pregúntate: ¿qué pasaría si se sustituyera el 10 (en cada uno de los términos) por una variable
suma de polinomios en forma de columna queda como sigue:
Es importante notar que, a diferencia de la suma de números, en esta suma no aparece el primer renglón de “acarreos”. Esto es porque en el caso de polinomios los coeficientes son números reales y en el caso de la primera suma los coeficientes son sólo los dígitos. Pero la estructura es la misma. También es muy importante que notes que en la suma de polinomios los términos no están ordenados de acuerdo a “unidades”, “decenas”, “centenas”, etcétera, sino al grado de los polinomios. Esto quiere decir que la parte literal (variables y potencias) coinciden en cada columna y a los términos de cada columna se les denomina términos semejantes. Podemos pues escribir la suma de polinomios como sigue y a la derecha una manera simplificada (el resultado) que se obtiene reduciendo términos semejantes :
En cuanto a la resta, aprovecharás las similitudes mencionadas y así esta operación se define como la suma del minuendo y del inverso aditivo del sustraendo. En cuanto al inverso aditivo se
siguiente manera:
Observa que en este último caso también se aprovechó el axioma 5 de distributividad, pues así se agruparon los coeficientes de los términos que tienen el mismo grado. Este último proceso se llama reducción de términos semejantes.
0 0 m n m 1 1 También observa que el signo de la resta afecta a los signos de todos los coeficientes que están dentro del paréntesis al que antecede. El procedimiento “usual”, que toma como implícitos tanto la definición de la resta como el uso del axioma 5, indica “multiplicar” el signo de la resta y “distribuirlo” sobre la suma que está dentro del paréntesis. Cuando ya se tiene práctica con el manejo de los signos es más rápido hacerlo así y entonces simplificar la operación anterior como sigue:
m P ( x ) = (^) ai x i = 0
0
1
n y Q ( x ) = (^) b (^) j x j = 0
0
1
m
suma de los polinomios queda como: P ( x ) + Q ( x ) (^) = i = 0 ai x (^) i
𝑃 (𝑥)^ − 𝑄(𝑥)^ = 𝑃(𝑥)^ + [−𝑄(𝑥)]^ = ∑^ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖= 0 𝑥𝑖^ +^ (−^ ∑^ 𝑏𝑗 𝑚 𝑗= 0 𝑥 𝑗 ) = ∑^ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖= 0 𝑥𝑖 + ∑^ (𝑏𝑗 𝑚 𝑗= 0 𝑥 𝑗 ) = = (𝑎 0 𝑥^0 + 𝑎 1 𝑥^1 +…+𝑎𝑛𝑥𝑛) + (−𝑏 0 𝑥^0 − 𝑏 1 𝑥^1 +…- 𝑏𝑚𝑥𝑚)= = (𝑎 0 − 𝑏 0 )𝑥^0 + (𝑎 1 − 𝑏 1 ) 𝑥^1 +…+ (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 ) 𝑥𝑛 + …+ ( 𝑎𝑚 − 𝑏𝑚 ) 𝑥𝑚= =∑^ (𝑎𝑗 − 𝑏𝑗) 𝑚 𝑗= 0 𝑥 𝑗
En este caso ocurre algo similar que para la suma y la resta, así que puedes compararla con la multiplicación de números en la notación desarrollada. Por ejemplo, cuando se calcula el n n m 1 1 j i j j 1
1 0 0 n Observa que a partir del tercer renglón es prácticamente una suma de polinomios (incluyendo una reducción de términos semejantes). En particular elevar un polinomio a una potencia n implica realizar una multiplicación del
m P ( x ) = (^) ai x i = 0
0
1
n y Q ( x ) = (^) b (^) j x j = 0 queda como:
0
1
m , entonces la multiplicación de los polinomios n i ^ m j ^0 n 0 1 m P ( x ) Q ( x ) = (^) ai x i = 0 ^ b^ j x j = 0 (^) = ( a x
Te explicaremos el caso de la división utilizando las similitudes con la notación desarrollada, pero primero hay que decir lo siguiente: Los polinomios con coeficientes enteros como estructura algebraica son un anillo y por lo tanto no cumplen con el axioma 9 de la existencia de inverso multiplicativo para todos sus elementos. En otras palabras, a diferencia de los números reales donde podemos expresar el resultado de una división como un número racional (en ℚ) o bien utilizando notación decimal (sea finita o no), en el caso de los polinomios habrá muchísimas divisiones que no sean exactas y tengan residuos. Así que la vieja expresión aprendida en la primaria de “tal número entre otro da tanto y sobra tal cosa” se repetirá aquí. En particular si se quiere calcular la operación
n i 1 j m
sí pueden serlo. ¿Por qué crees que ocurre esto? De manera rápida te explicamos una división de enteros, digamos 3 637 302, en notación desarrollada para después retomar la estructura como base para continuar: (1 10) + 2 Cociente (3 102 ) + (0 10) + 2 (3 103 ) + (6 102 ) + (3 10) + 7
división se lleva a cabo de la siguiente manera:
expresión considerada:
Dos observaciones al respecto de la división de polinomios:
Como se mencionó previamente, un binomio al cuadrado o al cubo es lo mismo que multiplicar el
incluso cualquier polinomio (de una o varias variables). Con esto se hace el desarrollo correspondiente y la simplificación para el binomio al cuadrado :
Esto quiere decir que el primer término se obtiene elevando el primer término del binomio al cuadrado, el segundo es el doble del producto de los dos términos y finalmente el tercer término se obtiene elevando el segundo término del binomio al cuadrado. Algo importante es que el resultado del binomio al cuadrado, es decir, las expresiones del tipo
retomaremos para el proceso de factorización. Observa los siguientes ejemplos:
Puedes ver el ejemplo que proporciona Julio Ríos en su video Binomio al cuadrado que está disponible en https://youtu.be/o6PkQJEQql Para el binomio al cubo el desarrollo quedaría como sigue:
Observa que los exponentes van decreciendo para uno de los términos y van aumentando para el otro. Los coeficientes aumentan y luego disminuyen. Así que dos ejemplos:
Puedes ver el video Cubo de un binomio de Julio Ríos que está disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=8Ncm_ZsPrmQ
Se dice que dos binomios son conjugados si son iguales excepto en que en uno de ellos un
simplifica el resultado lo que se obtiene es, de manera general, lo siguiente:
Es decir, lo que se obtiene es la diferencia de los cuadrados de los términos de los binomios originales.
Ahora observa el video Suma por diferencia de Julio Ríos que está disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=xH0d1suuYsM
También está el caso de que se multipliquen dos binomios en los que aparezca un término
general es el siguiente:
Como se puede ver, el primer término es el término común en los binomios elevado al cuadrado,
no comunes en los binomios y el tercer término es el producto de los mismos términos.
Producto notable Factorización Binomio al cuadrado ⎯⎯⎯ ⎯→ desarrollando ⎯ facto ⎯ riza ⎯ ndo ⎯ Trinomio cuadrado perfecto
Binomios conjugados ⎯⎯⎯⎯→ desarrollando ⎯ facto ⎯ riza ⎯ ndo ⎯ Diferencia de cuadrados
Binomios con un término común ⎯⎯⎯ ⎯→ desarrollando ⎯ facto ⎯ riza ⎯ ndo ⎯ Trinomio de la forma
Las tres técnicas de factorización recién mencionadas las verás a continuación, pero primero se te mencionará el caso de cuando se tiene un polinomio y cada uno de sus términos tiene un factor común.
el axioma 5 de distributividad para hallar una factorización:
Ésta última expresión es una factorización de polinomio original y la técnica utilizada se le llama factorización por factor común. Para reforzar los conceptos mencionados, puedes ver los siguientes videos:
Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de la forma a^2 + 2 ab + b^2.
identificación, pero permite llevar a cabo una factorización en un binomio al cuadrado. Por ejemplo los siguientes son polinomios que pueden ser identificados con la estructura de los trinomios cuadrados perfectos:
Una vez identificada la estructura de trinomio cuadrado perfecto, entonces se puede proceder a factorizar considerando el proceso inverso al visto en el desarrollo del producto notable binomio al cuadrado :
Así que para cada uno de los casos de arriba se tienen las siguientes factorizaciones:
Observa que en el último ejemplo es muy complicado identificar que es un trinomio cuadrado perfecto si se toma el desarrollo simplificado que aparece más arriba, porque entonces se puede escribir directamente como:
Es por ello que la práctica es lo que resulta útil para la identificación adecuada. Ahora observa el video Factorización de un trinomio cuadrado perfecto de Julio Ríos que está disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=1dvGz8vQCeU
La diferencia de cuadrados es un polinomio de la forma a^2 – b^2 , con a y b términos o polinomios. El producto notable que le corresponde es el de binomios conjugados , por lo que su factorización queda como sigue:
Como ya se mencionó, será necesario que practiques para que desarrolles habilidades para identificar las formas de los polinomios que puedan factorizarse y así manipularlos adecuadamente. Te invitamos a ver el video Factorización de Trinomios de la forma x^(2n)+bx^n+c de Julio Ríos que está disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=TZcUxb1gnDk
decir, para cuando el primer término del trinomio es 2 y el segundo es uno.
Los polinomios, al igual que muchos otros objetos matemáticos, pueden representarse gráficamente y esta representación permite observar de otra manera sus propiedades, sus operaciones y las repercusiones que se tienen cuando se modifican sus parámetros. El cambio de representación y el observar las repercusiones de sus propiedades te permitirá también ampliar la comprensión al respecto y luego aplicar las habilidades desarrolladas para interpretar gráficas en casos como los que estudiarás en el Cálculo o en la aplicación de modelos de logística.
La representación de los polinomios se hace en el llamado plano cartesiano ,^2 el cual es el mismo que el plano geométrico tradicional pero con la introducción de un marco de referencia necesario para aplicar el método analítico en el estudio de los objetos geométricos. Este marco de referencia son dos rectas no paralelas (generalmente perpendiculares y así las trabajaremos) que se llaman ejes cartesianos. El punto donde se cortan los ejes se establece como el origen, es decir, como el punto de inicio para medir las distancias pues los dos ejes funcionan como las rectas numéricas que se trabajan desde la Primaria. Tradicionalmente y por facilidad, un eje se dibuja de manera horizontal y el otro vertical. Al eje horizontal se le llama eje de las abscisas y al vertical eje de las ordenadas , siendo que al primero se le asigna la x como variable para representarlo (queda como eje x ) y al segundo se le
plano en cuatro regiones que se denominan cuadrantes , siendo el primero el que está en la parte superior derecha y luego siguiendo la dirección opuesta a las manecillas del reloj están los siguientes tres. (^2) El nombre hace referencia a René Descartes, un filósofo y matemático francés. Aunque en realidad Descartes no utilizó los ejes cartesianos en su trabajo, se le ha llamado así porque propuso el método analítico para estudiar los objetos geométricos. Este método llevó, inevitablemente, a considerar un marco de referencia que son los ejes.
De esta manera cada punto en el plano se puede representar por una pareja ordenada de números y viceversa. El énfasis en la palabra “ordenada” se refiere a que el primer número de la pareja siempre corresponderá a la medida horizontal de la distancia desde origen al punto en consideración y el segundo número será la medida vertical de dicha distancia. Juntos, la pareja, son las coordenadas del punto. Por ejemplo , en el dibujo de abajo se representan los ejes cartesianos del plano y un punto A. Sus coordenadas (2.62, 2.56) indican que se encuentra a 2.62 unidades a partir del origen hacia la derecha de manera horizontal y 2.56 unidades a partir del origen hacia arriba.
continuación:
