Tema 2 –LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.1.- Conceptos básicos
2.2.- Funciones de una y varias variables
2.3.- Limites y continuidad
2.4.- Funciones elementales. Gráficas y límites
2.5.- Función homogénea, compuesta e implícita
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ASIGNATURA DE MATEMATICAS PRIMERO DE TADE UV
Tipo: Apuntes
2018/2019
1 / 26
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Tema 2 – LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.1.- Conceptos básicos
2.2.- Funciones de una y varias variables
2.3.- Limites y continuidad
2.4.- Funciones elementales. Gráficas y límites
2.5.- Función homogénea, compuesta e implícita
SECCIÓN 2.1 – Conceptos básicos
- ℝ^2 = { (x,y) / x,y ∈ ℝ } o bien ℝ^2 = { (x 1 ,x 2 ) / x 1 ,x 2 ∈ ℝ }
Conjunto formado por todos los posibles pares ordenados de dos números reales Sus elementos se llaman: Vectores de dos componentes
Representación geométrica de los elementos de ℝ^2 : puntos del plano
- ℝ^3 = { (x,y,z) / x,y,z ∈ ℝ } o bien ℝ^3 = { (x 1 ,x 2 ,x 3 ) / x 1 ,x 2 ,x 3 ∈ ℝ }
Conjunto formado por todas las posibles ternas ordenadas de tres números reales Sus elementos se llaman: Vectores de tres componentes
Representación geométrica de los elementos de ℝ^3 : puntos del espacio
- ℝn^ = { (x 1 ,x 2 ,…,xn) / xi ∈ ℝ ∀ i =1,…,n}
Conjunto formado por todas las n-tuplas ordenadas de n números reales Sus elementos se llaman: Vectores de n componentes Notación: x ∈ ℝn^ o bien ∈ℝn
Si n>3 no hay representación geométrica de los elementos de ℝn
x
- A ⊆ ℝn^ A es un subconjunto de ℝn. Es decir A esta contenido o es igual a ℝn.
Todos los elementos de A son también elementos de ℝn
Ejemplos
Indica, si es posible, varios elementos de los siguientes conjuntos: A = { (x,y) ∈ ℝ^2 / x+y ≥ 4, x ≥ 0} A = { (x,y) ∈ ℝ^2 / x+y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 } A = { (x,y) ∈ ℝ^2 / x+y ≤ - 2, x ≥ 0, y ≥ 0 } A = { (x,y,z) ∈ ℝ^3 / x+y ≤ 0, z ≥ 0 } A = { (x,y,z) ∈ ℝ^3 / x+y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 }
Ejemplo
Un consumidor tiene 40 euros con los que se propone comprar refrescos, hamburguesas y patatas. Cada refresco vale 1€, cada hamburguesa 2.5€ y cada bolsa de patatas 2€. a)Escribe el conjunto de elementos que corresponden a consumos posibles según el presupuesto disponible.
b) Indica de qué espacio es subconjunto.
c) Indica si los siguientes elementos pertenecen o no a dicho subconjunto. (2,1,3) (40,0,0) (20,-5,2) (20,10,10) d) Escribe un subconjunto del conjunto calculado en el apartado a) (^5)
SECCIÓN 2.2 - Funciones de una y
varias variables
Ejemplo 1
Una empresa fabrica un producto en cantidad x. El ingreso que percibe por cada unidad de producto es de 2 u.m. Escribe la función de ingresos. Calcula los ingresos para diversos niveles de producción.
Ejemplo 2
Una empresa fabrica tres productos en cantidades x, y, z. Los ingresos que percibe por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 u.m. respectivamente. Escribe la función de ingresos. Calcula los ingresos para diversos niveles de producción.
Ejemplo 3
Una empresa fabrica tres productos en cantidades x, y, z. Los ingresos que percibe por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 u.m. respectivamente y los costes unitarios son 1, 2.5 y 3 u.m. respectivamente. Escribe la función de ingresos y la de costes. Representa ambas funciones con una sola función. Calcula los ingresos y los costes para diversos niveles de producción.
Ejemplos
Indica el tipo de función (indica el espacio inicial y final) y calcula su dominio.
- f(x) = x^3 +x^2
- f(x) = 1 − 𝑥𝑥
- f(x,y) = x^2 +y^3
- f(x,y,z) = x^2 +y^3
- f(x,y,z) = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧
- f(x,y) = (^) 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 (^) +𝑥𝑥 2
- f(x,y) = �
𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ≥ 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥^ <^ 𝑦𝑦
- f(x,y) = �
𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = (0,0) 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥^2 (𝑥𝑥,^ 𝑦𝑦)^ ≠^ (0,0)
- La función de demanda de un bien que relaciona la cantidad x demandada de ese bien en unidades físicas, la renta per cápita del país (Y) en €, el precio de ese bien (p 0 ) en €, y el precio del resto de bienes (p) en € tiene la siguiente expresión: x(Y,p 0 ,p)= pY
2 3p 02
Determinación del dominio de una función
- Los polinomios tienen por dominio todo ℝn.
- Un polinomio es una función escalar determinada por una expresión en la que las únicas operaciones entre las variables son sumas, productos, productos por números reales y potencias con exponentes naturales.
- Una función lineal es un polinomio de la forma a 1 x 1 +…+ anxn.
- El denominador de una fracción ha de ser distinto de 0.
- El argumento de un logaritmo ha de ser > 0.
- El radicando de una raíz de índice par debe ser ≥ 0.
- El dominio de una raíz de índice impar es el mismo que el del radicando.
- El dominio de una función exponencial, una función seno o una función coseno es el mismo que el del argumento.
- La base de una potencia de exponente variable ha de ser positiva.
- En ocasiones, si una función tiene una interpretación económica conviene considerar un dominio distinto del matemático y que podemos denominar “dominio económico”. Ej.: Ingreso(p) = 10p con p = precio; dominio matemático = ℝ, dominio económico = {p∈ℝ / p>0} (^11)
Representación gráfica
1.- Función real de variable real ⇒ f : D ⊆ ℝ → ℝ
f(x) = x+3 f(x) = x^2 f(x) =
2.- Función real de 2 variables reales ⇒ f : D ⊆ ℝ^2 → ℝ
f(x,y) = x^2 +y^2 +1 f(x,y) = −y+
3.- Función real de n variables reales con n>2 ⇒ f : D ⊆ ℝ n^ → ℝ
No podemos representarlas
4.- Función vectorial con n+m>3 ⇒ f : D ⊆ ℝ n^ → ℝ m No podemos representarlas
x
x
Ejemplo (Calvo, Ivorra 2012)
El saldo de la cuenta corriente de un cliente de un banco en el periodo 2000-2006 ha venido dado por la función A(t) = 70t 3 -370t^2 +1440€, donde el tiempo está en años y t=0 corresponde al año
- La figura muestra la gráfica de esta función. a) Explica en líneas generales la evolución del saldo a la vista de la gráfica, ¿el cliente ingresaba a menudo dinero en su cuenta o más bien lo gastaba? b) ¿En que momento fue mayor el saldo de la cuenta corriente? c) Haz una estimación a partir de la gráfica del incremento de los ahorros correspondiente al año 2001 (es decir, desde el 1 de enero de 2001 hasta el 1 de enero de 2002 ¿Fue positivo o negativo? d) Calcula el incremento del apartado anterior de forma exacta y compáralo con tu estimación. e) Deduce de la gráfica en qué periodo el ahorrador estuvo en “números rojos”. Comprueba analíticamente que al principio y al final de ese periodo sus ahorros eran nulos. f) ¿En qué periodo de tiempo el saldo de la cuenta varió más rápidamente?
Ejemplo (Calvo, Ivorra 2012)
Una editorial lanzó al mercado una nueva novela cuyo precio en € ha variado en el tiempo según la función p(t) =4+4e -t^ , donde t es el tiempo en meses desde el día de lanzamiento. a) Calcula el precio inicial del libro (en t=0). b) Calcula el precio al que se vendía al cabo de 6 meses. c) Describe la evolución del precio a largo plazo que muestra la gráfica. d) ¿Llegará el precio a ser igual a 4 en algún momento? e) Calcula el precio al cabo de un año (t=12). Interpreta el resultado.
SECCIÓN 2.3 – Límites y continuidad
Ejemplo
Considera las funciones cuya gráfica se muestran en las siguiente figuras y estudia su
continuidad
3
2
5
4
8
4
Límite de una función real de n variables reales
Sea f: D ⊆ ℝn^ → ℝ y p punto de acumulación de D
significa que si vamos tomando puntos x cercanos a p que sean de D pero que no sean
el propio p (lo que representamos con x→p) entonces sus imágenes van acercándose a L.
Comentarios
- p es un punto de acumulación de D si hay puntos de D distintos del propio p tan cercanos a p como
queramos.
- Si f es una función de varias variables se escribe también como:
↔
- El límite de una función en un punto sólo depende del valor de las imágenes de los puntos x cercanos a p distintos del propio p.
- Si una función tiene límite en un punto, el límite es único. Es decir, una función no puede tener 2 límites distintos en el mismo punto.
f x xn L x xn p pn
→
lim ( 1 ,..., ) ( 1 ,..., ) ( 1 ,..., )
lim f ( x ) L x p
= →
lim f ( x ) L x p
= →