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PROGRAMAS
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Verificación formal de programas: Principio de inducción noetheriana - Prof. Paredes, Apuntes de Ingeniería del Software
El principio de inducción noetheriana y cómo se utiliza para verificar la corrección de funciones recursivas. El principio de inducción noetheriana es una herramienta matemática para demostrar que una función es correcta en todos los casos recursivos. El documento detalla la definición del principio, cómo demostrar que una función cumple las condiciones y cómo verificar la completitud de la función.
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 18
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TEMA 2
VERIFICACIÓN FORMAL DE
PROGRAMAS
Contenido
VERIFICACIÓN FORMAL
Inducción noetheriana Verificación de programas recursivos.
•^
Dado un conjunto D, una relación binaria en D,
= se dice que es
Preorden
D,
=), si tiene propiedades reflexiva y transitiva
•^
Dado un preorden (
D,
=), definimos la relación
, que
llamamos
preorden estricto
D,
), si ocurre:
x^
y
cuando
x
y
( y
x)
•^
Dado un preorden (
D,
), se dice que un elemento
m
es
minimal
en D si no tiene predecesores estrictos
x
D
x
m
PREORDEN BIEN FUNDADO
(pbf)
•^
Un preorden (
D,
=) se dice que es bien fundado (abreviado pbf)s
si no existe en D sucesiones infinitas estrictamente decrecientes(SIEED), es decir no existe:
SIEED
x^ i
i^ ∈
N
tal que
i^
N
x
i+
x
i
Definición de pbf
PREORDEN BIEN FUNDADO
(pbf)
Principio de Inducción
Noetheriana
•^
Definición formal del principio de inducción Noetheriana
a
P
D
a
a P b P a b D b D a
•^
( D,
=) es un
pbf
P(x) x
D
pbf
P
reorden B
ien F
undado
•^
Suponiendo que
b
D
. b
a
se cumple
P
( b
•^
Si se demuestra que se cumple
P
( a
), entonces se cumple que
a
D
se cumple
P
( a
Principio de Inducción Noetheriana
•^
Base de la inducción
Demostrar
P
( m
)^
m
que sea un
minimal
en (
D,
•^
Hipótesis de la inducción
HI)
Dado un
a
no minimal suponer que
b
a
P
( b
•^
Paso de inducción
Demostrar que se cumple
P
( a
DEMOSTRACCIÓN POR INDUCCIÓN
Verificar la validez del predicado
siendo
Demostrar que la función está bien definida
Demostrar que cada vez que se invoca a lafunción, se hace en un estado que satisface laprecondición
La llamada interna a
f^
se hace con parámetros
estrictamente más pequeños
que los actuales
t: D
→ f^
N;
Por comodidad
t: D
T
→
Z
Los elementos minimales de (D
,^ f
=
) están
incluidos en el caso trivial de
f
1 Se demuestra porinducción en base al principio de inducciónnoetheriana 5 No hace faltademostrarlo si lo están1 y 4. Introducci
ó
n a la
VerificaciónFormal fun.recursivas
dev
fun
2
y,
x
R
T
y
T
x
x f
Q
1
)) (
(
.^
x , f x R D
x
f
∈ ∀
(^
x B x B x Q
nt
t^
(^
x s Q x B x Q
nt
x x s x B x Q
nt
) ( ) ( )
(^
∧ 0 ) (
) (^
≥
x t
x Q
) (
))
(s(
) (
) (^
x t x t x B x Q
nt^
<
∧
) (
) (^
x B
x Q
t ∧
) ( xs
x
)} ( .
{
1
x Q
D
x
D
T
f^
∈
≡
VERIFICACIÓN DE
PROGRAMAS RECURSIVOS
¿Es correcta la función?{
Q(x)}
fun
f(x:T
1
)^
dev
(y:T
2
caso
B
(x)t
triv(x)
[]
B
nt
(x)
c(f(s(x)),x)
fcaso
ffun {R(x,y)}
VERIFICACIÓN DE
PROGRAMAS RECURSIVOS
2) Satisfacción de la precondición por la
llamada interna.
los parámetros de las llamada recursivas
satisfacen la precondición
Q(x)
B
nt
(x)
Q(s(x))
{ Q(x)} fun
f(x:T
) 1 dev
(y:T
) 2
caso
B
(x)t
triv(x)
[] B
(x)nt
c(f(s(x)),x)
fcaso
ffun {R(x,y)}
VERIFICACIÓN DE
PROGRAMAS RECURSIVOS
3) Base de inducción.Comprobar que la solución que devuelve en el
caso(s) trivial cumple la postcondición(cumpliendo los argumentos laprecondición)
Q(x)
B
(x)t
R(x, triv(x))
{ Q(x)} fun
f(x:T
) 1 dev
(y:T
) 2
caso
B
(x)t
triv(x)
[] B
(x)nt
c(f(s(x)),x)
fcaso
ffun {R(x,y)}
VERIFICACIÓN DE
PROGRAMAS RECURSIVOS
5) Establecer una estructura de preorden bienfundado (p.b.f).Encontrar una función h:D
TI
Z ,, Q(x)
h(x)
Una función que a cada parámetro de entrada asocieun entero no negativo. Se suele establecer unaaplicación con los naturales.
{ Q(x)} fun
f(x:T
) 1 dev
(y:T
) 2
caso
B
(x)t
triv(x)
[] B
(x)nt
c(f(s(x)),x)
fcaso
ffun {R(x,y)}
VERIFICACIÓN DE
PROGRAMAS RECURSIVOS
6) El tamaño del problema decrece estrictamente.En cada llamada recursiva los datos decrecenestrictamente en relación al pbf del paso 5) (el valorque devuelve h ha de ser menor).Q(x)
B
nt
(x)
h(s(x)) < h(x)
Probamos la función s.
{ Q(x)} fun
f(x:T
) 1 dev
(y:T
) 2
caso
B
(x)t
triv(x)
[] B
(x)nt
c(f(s(x)),x)
fcaso
ffun {R(x,y)}