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- Divide y vencerás
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4. Divide y vencerás Diseño y Análisis de Algoritmos
Antonio Pérez Carrasco
- Divide y vencerás
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Diseño y Análisis de Algoritmos
Introducción
- Divide y vencerás
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Diseño y Análisis de Algoritmos
Introducción • Técnica informática de diseño de algoritmos
que resuelve un problema grandedescomponiéndolo en problemas máspequeños
iguales
- La técnica se aplica de manera
recursiva
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Diseño y Análisis de Algoritmos
Introducción • Condiciones
que deben cumplirse:
- Poder dividir el problema en
subproblemas:^ • del
mismo tipo
que el original
que el original
entre sí
mismo/similar tamaño entre sí
- Poder resolver problemas pequeños de
manera directa
posible combinar
posteriormente
las
subsoluciones
obtenidas de manera
eficiente
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Diseño y Análisis de Algoritmos
Introducción •^
Pasos de aplicación de la técnica:
- Se plantea un problema para
dividir
•^
Subproblemas del
mismo tipo
•^
Subproblemas
más pequeños
- Resolución
de cada subproblema
•^
Caso base:
directo
•^
Caso recursivo:
llamadas recursivas
- Combinación
de las subsoluciones obtenidas
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1º
2º
3º
4º
5º
2.1º
2.2º
2.3º
2.4º
2.5º
Introducción
- Divide y vencerás
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Introducción •^
División en
k
subproblemas
-^
k^
pequeño
-^
k^
independiente del tamaño de la entrada
-^
Subproblemas
de igual tamaño entre sí
-^
Por eficiencia, subproblemas
no solapados
-^
k^
= 1, problemas de simplificación
-^
Ejemplo: factorial
-^
Versión iterativa fácil de encontrar
-^
Esquema de
código sencillo y legible
-^
Técnica
recursiva
-^
Quizá no buen comportamiento en memoria
-^
Quizá no buen comportamiento en tiempo
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Máximo de un vector
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Análisis de complejidad en DYV
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Análisis de complejidad en DYV • Tenemos un problema de tamaño
n
- Cuando dividimos un problema, obtenemos
k^
subproblemas
tamaño de los subproblemas
será
n
/ b
siendo
b
una constante
de división y
combinación
n
k
n’=n/b
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Análisis de complejidad en DYV • Función de recurrencias
T(n) =
g(n)
caso base
T(n)=
T(n) =
k · T(n / b) + f(n)
caso recursivo
k ≥ 1 , b ≥ 2f(n) = c·n
p^ Є
O(n
p), p entero
= tiempo requerido para dividir el problema y combinar las subsoluciones
= tiempo requerido para calcular solución del caso base
= tiempo total para el algoritmo
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Análisis de complejidad en DYV • Si se realizan
k llamadas recursivas
(k
subproblemas) de
tamaño n/b
, y el orden de
complejidad de las operaciones de
división y
combinación es p
(c·n
p^ Є
Θ(n
p), p entero)
T(n) =
Θ(n
p) ,
k < b
p
T(n) є
Θ(n
p^ · log n) ,
k = b
p
T(n) =
Θ(n
log
kb
k > b
p
- No calculamos T(n), sólo el orden de
complejidad
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Análisis de complejidad en DYV • Problema:
- En un problema de Divide y Vencerás
cualquiera, dividimos nuestro problemarecursivamente en 4 subproblemas detamaño la mitad que el original y con laslabores de división y combinación acotadaspor O(n). ¿Cuál es el orden decomplejidad?^ k=4b=2p=
k^
?^
pb
4
?^
(^12)
4
^
(^12)
k^
b
p
Θ(n
log
k)b
Θ(n
log
(^42) ) = Θ(n
2 )
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Búsqueda en vectores
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Búsqueda en vectores: b. dicotómica Tenemos un vector ordenado:•^
Queremos encontrar un número x
-^
El número x puede no estar
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Búsqueda en vectores: b. dicotómica ¿En cuántos subproblemas dividimos el
problema inicial? Secuencial: Caso promedio y caso peor: O(n)DYV: Caso promedio y caso peor: O(log n)•^
¿Por qué? T(n) = Θ(n
p^
· log n) , k = b
p
k=1, dividimos el problema en un subproblemap=0, no hay operación de combinaciónb=2, el tamaño del subproblema es la mitad
1 = 2
0
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Ordenación de vectores: mergesort • Permite paralelización• Es el algoritmo que mejor comportamiento
tiene con estructuras de acceso complejo,como listas enlazadas
- Realiza un 39% menos de comparaciones en
el peor caso que Quicksort en el caso medio
- Mergesort, caso peor: 2n-1 llamadas rec.• Quicksort, caso peor: n llamadas recursivas
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Ordenación de vectores: mergesort • Código public static void mergeSort (int[] v){
ordenarPorMezcla (v, 0, v.length-1);
} public static void mergeSort(int[] v, int inf, int sup){
if (inf<sup) {
int medio = (inf+sup)/2;
(inf+sup+1)/2;
mergeSort (v, inf, medio);
v,inf, medio-
mergeSort (v, medio+1, sup);
v,medio,sup
merge (v, inf, medio, sup);
// implicaciones
} }
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Ordenación de vectores: mergesort • Funcionamiento del método “merge”
…
…
v1 v
v
v v
…
v
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Ordenación de vectores: mergesort • Variaciones del método “merge”
- Un vector auxiliar independiente en cada
subllamada
- Un subvector auxiliar independiente en
cada subllamada
- Un vector auxiliar para todas las
subllamadas
k=
b=
p=
Θ(n
1
log n) = Θ(n log n)
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Ordenación de vectores: quicksort
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Ordenación de vectores: quicksort •^
Ordenación rápida:1. Selección de un
pivote
- Mover
el resto de elementos
-^
Los
menores
del pivote, a su
izquierda
-^
Los
mayores
del pivote, a su
derecha
- Al final, el
pivote
queda
ordenado
-^
Mejor caso: en el centro Θ(n·log n)
-^
Caso medio: aprox. centro, Θ(n·log n)
-^
Peor caso: en un extremo Θ(n
2 )
- Aplicación recursiva del algoritmo sobre
las mitades, separadas por el pivote
- Divide y vencerás
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Ordenación de vectores: quicksort •^
Ordenación rápida,
selección de pivote
–^
Cualquier elemento
: no cálculo adicional
-^
Riesgo de mala elección, poca eficiencia
-^
Recorrer lista para “
adivinar
” elemento
central, O(n) •^
Asegura que el algoritmo sea Θ(n·log n)
-^
Introduce cálculos, eficiencia baja
-^
Tres elementos, elegir el
valor en medio
-^
Muy pocos cálculos
-^
Relativamente fiable en caso medio
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Ordenación de vectores: quicksort •^
Ejemplo–^
Tomamos como pivote el primerelemento^ “Fundamentos de Algoritmia”, G. Brassard, P. Bratley
Capítulo 7, Sección 4, Pág. 262
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Ordenación de vectores: quicksort •^
Ejemplo–^
Se reanuda la búsqueda^ “Fundamentos de Algoritmia”, G. Brassard, P. Bratley
Capítulo 7, Sección 4, Pág. 262
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Ordenación de vectores: quicksort •^
Ejemplo–^
Los punteros se cruzan^ “Fundamentos de Algoritmia”, G. Brassard, P. Bratley
Capítulo 7, Sección 4, Pág. 262
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Ordenación de vectores: quicksort •^
Ejemplo–^
Se intercambia el pivote con el elementono mayor^ “Fundamentos de Algoritmia”, G. Brassard, P. Bratley
Capítulo 7, Sección 4, Pág. 262
-^
Ordenación recursiva de cada mitad
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Ordenación de vectores: quicksort Algoritmo
•^
Tomamos como pivote el primer elemento
-^
Buscamos el primer elemento mayor que elpivote y el último no mayor que el pivote
-^
Se intercambian los dos elementosencontrados
-^
Si los punteros no se han cruzado, vamos alpunto 2º
-^
Se intercambia el pivote con el elemento nomayor
-^
Ordenación recursiva de las dosmitades, separadas por el pivote
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Mediana de dos vectores
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Mediana de dos vectores • Problema:
x
e
y
ordenados de manera
no decreciente, ambos de longitud n
-^ x y Queremos calcular cuál de los elementos de^ los dos vectores sería la mediana del vectorresultante de la unión de esos dos vectores
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Mediana de dos vectores • Problema:
z
, también ordenado,
tiene longitud 2n
- La mediana es el elemento “central”, que
tiene tantos elementos a su izquierda comoa su derecha
- Este algoritmo nos da el elemento que será
la mediana del vector resultante, no realizala mezcla de los vectores z
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Mediana de dos vectores • Resolviendo...:
- Caso base: n=
- La mediana es el valor mínimo de los dos
x
y de
y
,^ m
y x m
y
m
= x m
, entoncesy
m
es igual a z
m
y x m
y
x y z
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Multiplicación de matrices (Strassen)
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Multiplicación de matrices (Strassen) • Algoritmo clásico:
– C
=ij
A
ik^
Bkj
;^
i,j = 1 .. N
for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=0; j<n; j++)
for (int k=0; k<n; k++)
C[i][j]=+A[i][k]B[k][j];*
- Objetivos de Volker Strassen:
- Reducir el número de multiplicaciones
aumentando el número de sumas/restasy el número de variables auxiliares
log
(^72) )= Θ(n
2,
N-1K=
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Multiplicación de matrices (Strassen) • Tenemos dos matrices:
x^
a^ – c11 = a11 · b11 + a12 · b21– c12 = a11 · b12 + a12 · b22– c21 = a21 · b11 + a22 · b21– c22 = a21 · b12 + a22 · b22– 8 multiplicaciones– 4 sumas
b^
c
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Multiplicación de matrices (Strassen) • Tenemos dos matrices:
x^
a^ – m1 = (a21 + a22 - a11)·(b22 - b12 + b11)– m2 = a11 · b11– m3 = a12 · b21– m4 = (a11 - a21) · (b22 - b12)– m5 = (a21 + a22) · (b12 - b11)– m6 = (a12 - a21 + a11 - a22 ) · b22– m7 = a22 · (b11 + b22 - b12 - b21)
b^
c
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Multiplicación de matrices (Strassen) • Tenemos dos matrices:
x^
a^ – c11 = m2 + m3– c12 = m1 + m2 + m5 + m6– c21 = m1 + m2 + m4 – m7– c22 = m1 + m2 + m4 + m5– 7 multiplicaciones– 24 sumas (reducible)
b^
c
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Multiplicación de matrices (Strassen) • Caso 2
n^ x 2
n: x
multiplicaciones de matrices
nxn
sumas (reducible) de matrices
nxn
- Casos donde n no es potencia de 2 :
- Ampliamos filas y columnas con ceros
hasta que n sea potencia de 2
- Se opera con normalidad
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Multiplicación de matrices (Strassen) • Sólo si
n>
se notan mejorías
más costoso
de implementar y mantener
fácilmente mientras que
el algoritmo clásico sí
- El algoritmo clásico precisa espacio adicional
constante, mientras que Strassen necesitaun
espacio mucho mayor
más que práctico
algoritmos mejores:
Strassen: Θ(n
log
(^72) )= Θ(n
2,
Coppersmith y Winograd: Θ(n
2,
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Multiplicación de enteros
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Multiplicación de enteros Con esta versión, O(n
1,
) < O(n
Diferencia menor que entre n
2 y n·log n
El algoritmo sólo es interesante para números
muy grandes La mejor implementación:- no usará base 10 sino la mayor base que
pueda multiplicarse por hardware
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Divide y Vencerás multidimensional
- Divide y vencerás
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Divide y vencerás multidimensional Generalización de la técnica Trabajamos en un
entorno m-dimensional
(hasta ahora era unidimensional) Al resolver
un problema de tamaño n
•^
Dos
problemas de
tamaño n/
en entorno
m-dimensional
-^
Un
problema de
tamaño n
en entorno
(m-
1)-dimensional
- Divide y vencerás
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Divide y vencerás multidimensional Problema geométrico:•^
Conjunto S de puntos
-^
P=(p
,p 1
) domina a Q=(q 2
,q 1
) si 2
p^1
q
1
y p
q 2
2
•^
Rango de p=Nº de puntos dominados
Hallar rango de
cada punto:¿idea intuitivapara resolver?
p
q
- Divide y vencerás
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Divide y vencerás multidimensional Resolvemos...:•^
Calculamos el rango para cada puntocomparándolo con los puntos restantes Punto[]
puntos=new
Punto[...];
...public
void
calculaRangos()
{
for
(int
i=0;
i<this.puntos.length;
i++)
for
(int
j=0;
j<this.puntos.length;
j++)
if^
(puntos[i].domina(puntos[j]))
puntos[i].incRango();
} Orden de complejidad: O(n
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Divide y vencerás multidimensional Resolvemos con DYV:•^
Línea vertical L que
divide
S en dos, A y B:
La línea es la mediana del conjunto de las abscisas(primera coordenada) de los puntos de S
-^
Resolvemos recursivamente los dos subconjuntos
-^
Combinamos
los resultados
obtenidos:–^
Ningún punto de A dominaa ninguno de B
-^
Un punto P de B dominará auno Q de A si p
q 2
2
p
q A^
B L
- Divide y vencerás
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Divide y vencerás multidimensional Resolvemos con DYV:•^
Cuando consideremos de nuevo S–^
El rango de los puntos de A será igual
-^
Añadir a puntos de B el nºde puntos de A que domina
-^
Para ello: •^
Proyectamos en L lospuntos
-^
Recorremos L: –^
Vamos sumando puntos de A
-^
Cuando encontremos punto de B,le sumamos a su rango el númerode puntos de A encontrados
p
q A^
B A A B B^ A B L
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Divide y vencerás multidimensional Hemos resuelto con DYV:•^
Hemos resuelto dos problemas de tamañon/2 en espacio m-dimensional
-^
Hemos resuelto un únicoproblema de tamaño n enun espacio (m-1)-dimensional
-^
Orden de complejidad:O(n log
n) 2
p
q A^
B L
