Matemáticas para Aspirantes a Nuevo Ingreso: Curso de Refuerzo - UES, Apuntes de Matemáticas Aplicadas

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MATEMÁTICAS

Curso de Refuerzo para

Aspirantes a Nuevo Ingreso

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO

MATEMÁTICAS

CURSO DE MATEMÁTICA EN LÍNEA

Contenido

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 1 UNIDAD 1 ALGEBRA ................................................................................................................... 2

• NUMEROS REALES (IR) .................................................................................................... 2
• VALOR ABSOLUTO .......................................................................................................... 7
• OPERACIONES CON NÚMEROS CON SIGNOS................................................................... 8
• EXPONENTE ENTERO .................................................................................................... 10

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UNIDAD 1 ALGEBRA

• NUMEROS REALES (IR) Los números reales son aquellos números que utilizamos diariamente, para realizar operaciones tales como sumas, retas, productos, cocientes, etc. O para expresar resultados de medidas.

Ejemplos de números reales son:

π e

− AXIOMAS DE CAMPO Los axiomas de campo de los números reales son evidencias no susceptibles de demostración sobre los cuales se fundamenta dichos números.

AXIOMAS PARA LA OPERACIÓN SUMA

1) Ley conmutativa Para todo
y  de ℝ,
+  =  +

2) Ley asociativa Para todo
,  y c de ℝ, ( a^ +^ b^ ) +^ c^ =^ a^ +^ ( b^ + c ) 3) Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo Hay un elemento y solo un elemento en ℝ, al que denotaremos por “0” tal que para todo
∈ ℝ se cumple:

a + 0 = 0 + a = a

4) Existencia y unicidad del inverso aditivo

Para cada a^ ∈^ ℝ^ , hay uno y solo un elemento en ℝ, al que denotaremos por “

− a ”, tal que:

a + − ( a (^) ) = (^) ( − a (^) ) + a = 0

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AXIOMAS PARA LA OPERACIÓN DE MULTIPLICACIÓN

5) Ley conmutativa

Para todo a^ y b^ de ℝ^ , ab = ba 6) Ley asociativa Para todo a b c , ,^ de ℝ^ ,

( ab c )^ = a bc ( )

7) Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo

Hay uno y solo un elemento en ℝ^ que denotaremos por “1”, tal que para todo

a ∈ ℝ ,

a (^) ( (^1) ) = (^) ( 1 ) a = a

8) Existencia y unicidad del inverso multiplicativo

Para cada a^ ∈^ ℝ^ , diferente de cero, hay uno y solo un elemento en ℝ^ , que

denotaremos por “ a −^1 “ ó “ 1

a

”, tal que,

( ) ( ) a a −^1 = a −^1 a = 1

9) Ley distributiva Para todo a b c , , en ℝ,

a b ( + c (^) )= ab + ac ó

( b^ +^ c a )^ =^ ba^ + ca

Además, los números reales cumplen las siguientes propiedades para la relación de igualdad:

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Veamos como deducir una de las partes de la ley 5), justificando cada paso, para que después usted deduzca las otras leyes. Una forma :

a + −( a ) = 0 , elemento inverso ( ( )) 0( ) , propiedad de igualdad ( ) 0 , ley distributiva y ley 3) ( ) ( ) ( ) 0 , propiedad de igualdad ( (

a a b b ab a b ab ab a b ab ab

− ) ) ( ) ( ) , ley asociativa y elemento neutro 0 ( ) ( ) , elemento inverso ( ) ( ) , elemento neutro

ab a b ab a b ab a b ab

Si , , entonces ( )

Ejemplo

1. 5 3 5 ( 3)

2. 2 5 2 ( 5)

a b a b a b

− − = + −

− = + − − = + −

∈

SUSTRACCIÓN ℝ

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1

Si , y 0, ento

1

nces:

( )

a a b a

a b

a b b

b

b

−

−

÷ = ^ = =    

∈ ≠

DIVISIÓN ℝ

( ) 1

(^1 1 )

Sean , , , , con 0, 0, entonces,

Á

1

a c ad bc d b d bd a c ac a b b d bd b

a b c d b

a

ad a bd b

d

bd b

− (^) −

−

− (^) + = +

   

∈

      =^     =  

≠ ≠

=

     

=

OTRAS LEYES DEL LGEBRA ℝ

13. 0, 0,

0

a b ad b c d c (^) bc d a c a c d d d

= ≠ ≠ ≠

• =

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• OPERACIONES CON NÚMEROS CON SIGNOS Tomando en cuenta la ley distributiva y la definición de valor absoluto, podemos enunciar leyes prácticas para operar con números:

a) Para sumar dos números del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se coloca el signo común. Ejemplo:

1. Sumar 3 con 5 Solución:

Valor absoluto: 3 =^3 , 5 =^5

Suma de valores absolutos: 3 + 5 = 8

Colocando signo común: 3 + 5 = 8

2. Sumar -3 con - Solución:

Valor absoluto: −^3 =^3 , −^5 =^5

Suma de valores absolutos: 3 +^5 =^8

Colocando signo común: − + − 3 ( 5) = − 8

b) Para sumar dos números con signos opuestos, se resta el número de menor valor absoluto del número de mayor valor absoluto y se coloca el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplo:

1. Sumar 5 con - Solución:

Valor absoluto: 5 =^5 , −^2 =^2

Resta de valores absolutos: 5 −^2 =^3

Colocando signo : 5 + −( 2) = 3

2. Sumar 6 con - Solución:

Valor absoluto: 6 =^6 , −^10 =^10

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Resta de valores absolutos: 10 − 6 = 4

Colocando signo: 6 + −( 10)^ = −^4 c) Para multiplicar dos números con signo, se multiplican sus valores absolutos y se le coloca signo positivo si los números son del mismo signo y signo negativo si son los números de signos opuestos. Ejemplo:

1. Multiplicar -5 con - Solución:

Valor absoluto: −^5 =^5 , −^3 =^3

Producto de valores absolutos: 5(3) = 15

Colocando signo: −5( 3) − = 15

2. Multiplicar 4 con - Solución:

Valor absoluto: 4 =^4 , −^3 =^3

Producto de valores absolutos: 4(3) = 12

Colocando signo: 4( 3)−^ = −^12

d) Para restar dos números con signo, se cambia el signo del sustraendo y se suman como indica la ley a) y b).

1. Restar 5 de 8 Solución: 8 − 5 = 8 + −( 5) = 3

2. Restar -4 de 6 Solución:

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4) ,^0

n (^) n n

a a

b

b b

1

1

m n m n n m

a a a a

−

−

   = (^)   

Trataremos de obtener la ley 1), justificando cada paso, para que usted obtenga las otras leyes.

Una forma:

am. an

factores

. (.. ... )(.. ... ) (.. ... )(.. ... ), Definición de exponente entero

m factores n

a a =  a a a  a  a a a   a a a a  a  a a a  a

( ) factores

(.. ... ) , ley asociativa m n

a a a a

=

= am + n , Definición de potencia

Ejemplo, calcular:

4 .4^2 3 = 4 2 +^3 = 45 (^ )^ (^ )(^ )(^ )(^ )

3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3(4) 12

2 = 2 2 2 2 = 2 +^ +^ + = 2 = 2

, si m>n

, si n>m

, si m=n

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(^4 ) 4

  =^ =

3. (^ )(^ )^ ( )( )

(^3 3 )  2 4  = 2 4

3 5 5 3 2

5 5 3 2 3

2 2 2 4 2

= − = =

4 4

2 1 2

=