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MATEMÁTICA

Curso de Refuerzo para

Aspirantes a Nuevo Ingreso

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO

MATEMÁTICA

CURSO DE MATEMÁTICA EN LÍNEA

Contenido

DEFINICIÓN EMPÍRICA O FRECUENCIAL O A POSTERIORI ............................................................. 1

DEFINICIÓN FRECUENCIAL O EMPÍRICA .......................................................................................... 2

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA............................................................................................................... 2

PROPIEDADES MÁS IMPORTANTES DE LA PROBABILIDAD .............................................................. 3

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DEFINICIÓN FRECUENCIAL O EMPÍRICA

Sea A un evento contenido en el espacio muestral de un experimento aleatorio,

denotemos por nA al número de veces que ocurre el evento A, luego de n

repeticiones

→∞ →∞ A^ A n^ lim f nlim^

n

P(A) = =

n

Desafortunadamente se tiene que para cada A fijo, fA no es constante pues su valor depende de n ; sin embargo se ha observado que cuando un experimento aleatorio se realiza un número suficientemente grande de veces, bajo condiciones similares, la frecuencia relativa fA se estabiliza alrededor de un valor específico entre 0 y 1.

En la práctica la probabilidad se aproxima por la frecuencia relativa al repetir el experimento un número grande de veces; es decir: P(A) ≈ fA = nA/n.

La estabilidad de fA , no es del todo una conclusión matemática, sino simplemente una realidad empírica. Por esto, la definición anterior no es una definición correcta de probabilidad, matemáticamente.

Ejemplo 4.27. Un ingeniero eléctrico estudia la demanda máxima en una planta generadora de electricidad. Se observa que en 80 de 100 días seleccionados aleatoriamente para estudio, de registros pasados, la demanda máxima ocurre entre las 18:00 y 19:00 horas. Es natural suponer que la probabilidad de que ello ocurra en cualquier otro día es:

P(A)≈ fA=nA/n =80/100=0.

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA

La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov (1903-1987) y aceptada por estadísticos y matemáticos en general.

Definimos la probabilidad de A, P(A), como una función de conjuntos, donde el dominio son eventos y el recorrido son el conjunto de los números reales.

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DEFINICIÓN AXIOMÁTICA

Sea S espacio muestral finito y C conjunto de eventos de S, se define la función real P :

P : C ──────> R

A ⊂ S , A ~~~~~~~> P(A)

tal que satisface los siguientes axiomas:

Axioma 1: Para cada evento A: 0≤P(A)≤ 1 Axioma 2: P( S)= 1 Axioma 3: Si A ∩ B=Φ, entonces P(A U B)=P(A) + P(B)

Entonces P se denomina función de probabilidad y P(A) es denominada probabilidad del evento A. El Axioma 1, señala que P(A) es un número en el intervalo real [0, 1]. Axioma 2, la probabilidad máxima de 1 se asigna a S****. Axioma 3, la función probabilidad es aditiva. Obsérvese que los axiomas no dicen como asignar las probabilidades, ellos restringen únicamente la manera de como hacer la asignación.

La asignación se basa en:

1. Estimaciones en base a observaciones previas (enfoque a priori).
2. Consideración analítica del experimento (enfoque a posteriori).

De los axiomas anteriores podemos demostrar varios teoremas sobre probabilidad que son importantes en el estudio posterior.

PROPIEDADES MÁS IMPORTANTES DE LA PROBABILIDAD

Teorema 1: Si Ac^ es el complemento de A entonces

P A ( ) = 1 − P A ( c )

AUAC=S ¿Por qué?

P(A)+P(AC)=P(S) ¿Por qué?

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Ejemplo 4.31. En el ejemplo anterior, ¿cuál es el porcentaje de partes usadas sin defectos? partes usadas sin defectos =partes usadas y que no tienen defectos = A ∩ BC P(A)=P(A ∩ B) + P(A ∩ BC) P(A ∩ BC)=P(A) – P(A ∩ B) =0.60 – 0.04 =0.56.

A = (A ∩ B) U (A ∩ BC)

P(A)=P(A ∩ B) + P(A ∩ BC)