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Mecánica de Medios Continuos:
Resumen de Álgebra y Cálculo Tensorial
José M.a^ Goicolea Ruigómez,
Depto. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras,
- 27 de septiembre, Universidad Politécnica de Madrid
- Álgebra vectorial y tensorial Índice
- 1.1. Escalares, puntos y vectores
- 1.2. Producto escalar y vectorial
- 1.3. Bases y coordenadas
- 1.4. Tensores de orden dos
- 1.5. Operaciones y clases especiales de tensores
- 1.6. Cambio de coordenadas de un tensor
- 1.7. Coe cientes de permutación
- 1.8. Formas bilineal y cuadrática asociadas a un tensor
- 1.9. Vector axial asociado a un tensor hemisimétrico
- 1.10. Determinante de un tensor
- 1.11. Autovalores y descomposición espectral
- 1.12. Teorema de Cayley-Hamilton
- 1.13. Descomposición simétrica - hemisimétrica
- 1.14. Descomposición Polar
- 1.15. Tensores de orden cuatro
- Cálculo vectorial y tensorial
- 2.1. Derivada de un campo escalar
- 2.2. Derivada de un campo vectorial
- 2.3. Divergencia, rotacional y Laplaciano
- 2.4. Teorema de la divergencia
- 2.5. Teorema de Stokes
- 2.6. Funciones de tensores de orden dos
Aptdo. 1. Álgebra vectorial y tensorial 2
- Álgebra vectorial y tensorial
Se resumen aquí algunos conceptos y de niciones de vectores y tensores, con pretensión de sencillez y brevedad, que resultan importantes para la mecánica de medios continuos. En consecuencia, nos limitaremos al espacio Euclídeo ordinario E^3 y a coordenadas cartesianas. Para un tratamiento más completo se recomienda consultar otros textos^1.
1.1. Escalares, puntos y vectores
En lo que sigue trataremos de los escalares (números reales R), de los puntos (espacio (a n) geométrico ordinario E^3 ), y de los vectores asociados (espacio vectorial euclídeo V de dimensión 3). Los elementos α ∈ R se denominan escalares y pueden considerarse como tensores de orden cero, denominación que justi caremos más adelante. Los elementos A ∈ E^3 se denominan puntos. El segmento orientado que transporta un punto A hacia otro B, o lo que es lo mismo, con origen en A y nal en B, se denomina vector :
v
A
B
Figura 1: Vector entre dos puntos A y B
v =
AB = B − A; A + v = B. (1)
El conjunto de los vectores, junto con las operaciones de suma de vectores mediante la regla del paralelogramo y producto por un escalar tiene la es- tructura de espacio vectorial euclídeo, denominándose V, espacio vectorial asociado a E^3. Esquemáticamente, las propiedades axiomáticas del espacio vectorial, pa- (^1) J. Rodríguez Piñero: Tensores y geometría diferencial, 1998; D.A. Danielson: vectors
and tensors in engineering, 1991; G.E. Hay: Vector and tensor analysis, 1953.
1.2 Producto escalar y vectorial 4
Por otra parte, el producto escalar puede interpretarse geométricamente como
a
b θ
Figura 3: Producto escalar de dos vectores
a·b = |a| |b|cos θ, (4)
siendo θ el ángulo formado por a y b. Cuando el producto escalar de dos vectores es nulo (a · b = 0 ) se dice que son normales, ortogonales o perpen- diculares. El producto vectorial de vectores es una operación hemisimétrica (anti- simétrica) entre vectores, simbolizada por una cuña (∧), cuyo resultado es otro vector (a ∧ b ∈ V), con las propiedades:
b ∧ a = −a ∧ b, (λa + μb) ∧ c = λ(a ∧ c) + μ(b ∧ c), a·(a ∧ b) = 0, (a ∧ b)·(a ∧ b) = (a·a)(b·b) − (a·b)^2 ≥ 0.
El producto vectorial se interpreta geométricamente como un vector per- pendicular al plano formado por los dos vectores que se multiplican, orientado según la regla de la mano derecha (sentido del pulgar cuando el índice va del primer vector al segundo), y cuya magnitud es
|a ∧ b|= |a|·|b||sen θ|,
es decir el área del paralelogramo formado por los dos vectores.
θ a
b
a ∧ b
Figura 4: Producto vectorial de dos vectores a y b.
1.3 Bases y coordenadas 5
Por último, a partir de los productos escalar y vectorial se puede de nir el producto mixto de tres vectores:
[a, b, c] = a·(b ∧ c). (6)
El producto mixto es obviamente un escalar. Por las propiedades de los productos escalar y vectorial puede demostrarse fácilmente (se propone como ejercicio al lector) que a·(b ∧ c) = (a ∧ b)·c, (7)
es decir que se pueden intercambiar los productos escalar y vectorial. Como consecuencia, se obtienen las igualdades
[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] = −[a, c, b] = −[b, a, c] = −[c, b, a], [λa + μb, c, d] = λ[a, c, d] + μ[b, c, d], [a, b, c] = 0 ⇔ (a, b, c) linealmente dependientes.
Vemos por tanto que el signo del resultado se mantiene si se efectúa una permutación par de los vectores, y se invierte si es impar. La interpretación geométrica del producto mixto es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores.
θ a
c b
Figura 5: Producto mixto de tres vectores a, b y c.
1.3. Bases y coordenadas
El espacio vectorial euclídeo V tiene dimensión 3, es decir se puede es- tablecer una base de 3 vectores linealmente independientes (e 1 , e 2 , e 3 ) que permite expresar un vector cualquiera v ∈ V como combinación lineal,
v =
∑^3
p=
vpep
= vpep = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3.
1.3 Bases y coordenadas 7
e 1
e 3
e 2
e
′ 2
e
′ 1
e
′ 3
Figura 6: Cambio de base entre {ei} y la nueva base {e′ i}, ambas ortonor- males.
de forma equivalente, podemos expresar la relación de cambio de base me- diante la ecuación matricial
( e′ 1 e′ 2 e′ 3
e 1 e 2 e 3
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
(^) ⇔ (e′ i) = (ei)[A], (13)
donde (ei), (e′ i) indican matrices la (1 × 3) con los vectores de la base, y [A] = [aij ] es la matriz ( 3 × 3 ) con los coe cientes del cambio de base^2. Una forma útil para obtener las componentes de la matriz de cambio en la práctica es considerar que la columna i-ésima de [A] representa las coordenadas del vector correspondiente e′ i en la base anterior (ei). Sin más que trasponer (13), la expresión matricial anterior puede escri- birse también de la forma
e′ 1 e′ 2 e′ 3
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
e 1 e 2 e 3
⇔ {e′ i} = [A]T{ei}, (14)
donde {ei}, {e′ i} indican matrices columna (3 × 1). Podemos observar también que se cumplen las siguientes igualdades, cuya obtención es inmediata a partir de (12) y las relaciones de ortogonalidad:
ei·e′ j = aij. (15) La expresión en coordenadas de un vector v dado en ambas bases será v = vpep = v′ qe′ q;
multiplicando escalarmente ambos lados de la igualdad anterior por e′ j , y teniendo en cuenta (15),
v·e′ j =
vpep·e′ j = vpapj ,
v q′e′ q·e′ j = v q′δqj = v′ j. (^2) Emplearemos la notación (ai) ó (a) para indicar matrices la, {bi} = (bi)T (^) ó {b} para indicar matrices columna, y [cij ] ó [C] para otros tipos de matrices.
1.4 Tensores de orden dos 8
obteniéndose las ecuaciones de cambio de coordenadas en forma indicial
v′ j = apj vp. (16)
Esta expresión puede escribirse también de forma matricial,
v′ 1 v′ 2 v′ 3
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
v 1 v 2 v 3
⇔ {v}′^ = [A]T{v}. (17)
En la expresión anterior {v} y {v}′^ son respectivamente las matrices columna de coordenadas en la base antigua y nueva. Por otra parte, podemos desarrollar la expresión en componentes de v empleando las relaciones de cambio (12),
v = vpep = v′ qe′ q = v′ qarqer,
e identi cando coe cientes se llega a
vi = aiqv q′ ⇔ {v} = [A]{v}′. (18)
Comparando las ecuaciones (17) y (18) se deduce la relación
[A]−^1 = [A]T^ ⇔ aipajp = δij. (19)
Las matrices que cumplen esta propiedad (la inversa coincide con la tras- puesta) se denominan ortogonales. Esta característica surge al obligar a que ambas bases sean ortonormales.
1.4. Tensores de orden dos
Aplicaciones lineales. Dentro de los entes que hemos considerado, las aplicaciones lineales más sencillas son las de R → R, es decir que para un escalar x ∈ R producen otro escalar y = φ(x). Es fácil comprobar que si cumple la propiedad de linealidad (φ(λx + μy) = λφ(x) + μφ(y)), la forma que debe tomar la función es el producto por un determinado escalar, que sin que dé lugar a equívoco llamamos también φ: φ(x) = φ · x. Esta aplicación, que se asimila por tanto a un escalar φ, puede considerarse como un tensor de orden cero. El siguiente tipo de aplicación que consideramos es la que asocia a un vector cualquiera u ∈ V un escalar, σ(u) ∈ R. La propiedad de linealidad en este caso es σ(λu + μv) = λσ(u) + μσ(v). Esta propiedad precisamente la veri ca el producto escalar (3) 3 , por lo que un vector cualquiera a de ne una aplicación lineal asociada, el producto escalar:
σ(u) = a·u.
1.4 Tensores de orden dos 10
- Producto por un escalar. Dado S ∈ V^2 y α ∈ R se de ne el producto αS ∈ V^2 por (αS) · v = α(S · v) ∀v ∈ V (23)
- Producto o composición de tensores. Dados S, T ∈ V^2 se de ne el producto S·T ∈ V^2 por^4
(S·T ) · v = S·(T ·v) ∀v ∈ V (24)
Con estas de niciones, es fácil comprobar que la suma de tensores es conmutativa y asociativa, así como el producto por un escalar. Asimismo, el producto por un escalar y el producto de tensores son distributivos respecto de la suma. Se de nen las componentes de un tensor S en una base cualquiera {ei} como los coe cientes escalares
Sij = ei·(S·ej ) (i, j = 1, 2 , 3). (25)
Por tanto, la expresión en componentes de la aplicación de un tensor sobre un vector es
v = S·u ⇒ vi = ei·v = ei·(S·upep) = Sipup. (26)
Las componentes de un tensor se pueden escribir en forma de matriz,
[S] =
S 11 S 12 S 13
S 21 S 22 S 23
S 31 S 32 S 33
indicando el primer índice la y el segundo columna de la matriz. Nótese que para diferenciar la matriz de componentes del tensor respecto del tensor mismo se emplea la notación [S] en lugar de S. La de nición de un tensor es intrínseca, independiente de la base, mientras que sus componentes son distintas según la base elegida. La representación anterior puede interpretarse como una extensión de la representación de un vector v (tensor de orden uno) por medio de sus componentes en una base como un conjunto de coe cientes de un índice vi, ó una matriz columna {v}. De esta forma, en una base dada, el producto de tensores se expresa mediante la notación indicial siguiente y el correspondiente producto de ma- trices: U = S · T ⇒ Uij = SipTpj ⇔ [U ] = [S][T ]. (28) (^4) Aquí también la notación que emplean otros autores para el producto de tensores es la
simple yuxtaposición de ambos símbolos, ST , aunque nosotros preferiremos escribir punto (·) para enfatizar que en la expresión indicial se contrae un índice entre ambos (28), de forma similar a la aplicación del tensor sobre un vector.
1.5 Operaciones y clases especiales de tensores 11
El producto tensorial (también llamado diádico) de dos vectores a y b se de ne como un tensor de orden dos, de acuerdo a
(a ⊗ b) · v = a(b · v) ∀v ∈ V. (29)
La expresión en componentes es
u = (a ⊗ b) · v ⇒ ui = aibpvp. (30)
Las componentes del tensor a ⊗ b son
[a ⊗ b]ij = ei · ((a ⊗ b) · ej ) = ei · (a(b · ej )) = aibj , (31)
lo que en expresión matricial es
[a ⊗ b] = {a}{b}T. (32)
Mediante el producto tensorial de los vectores de la base, se puede escribir el desarrollo de un tensor en función de sus componentes,
T = Tpq ep ⊗ eq. (33)
1.5. Operaciones y clases especiales de tensores
Dado un tensor S de nimos su traspuesto, ST, como otro tensor que veri ca v·(S·u) = u·(ST·v) ∀u, v ∈ V. (34)
Decimos que un tensor S es simétrico si ST^ = S, mientras que será hemisi- métrico si ST^ = −S. Un tensor S admite inverso si existe otro tensor S−^1 tal que
S·S−^1 = S−^1 ·S = 1. (35)
Decimos que un tensor Q es ortogonal si QT^ = Q−^1 , es decir,
Q·QT^ = QT·Q = 1. (36)
La traza es una operación tensorial lineal que asocia a un tensor de orden dos un escalar. Aplicada al producto tensorial de dos vectores, cumple
tr(a ⊗ b) = a·b ∀a, b ∈ V. (37)
Por tanto, para los vectores de la base ortonormal,
tr(ei ⊗ ej ) = δij , (38)
y aplicando esta expresión en el desarrollo de un tensor T ,
tr T = tr(Tpq ep ⊗ eq) = Tpqδpq = Tpp = T 11 + T 22 + T 33. (39)
1.6 Cambio de coordenadas de un tensor 13
x 2
x 1
u
θ
R · u
Figura 9: Tensor rotación de ángulo θ
aplicando la regla al efecto (25):
P 11 = e 1 ·(P ·e 1 ) = e 1 ·e 1 = 1; P 12 = e 1 ·(P ·e 2 ) = 0; P 21 = e 2 ·(P ·e 1 ) = 0; P 22 = e 2 ·(P ·e 2 ) = 0. ⇓
[P ] =
- Rotación de ángulo θ. Es fácil comprobar también la linealidad de esta aplicación, por lo que constituye un tensor que denominamos R ( gu- ra 9). Las componentes se hallan de la misma forma que antes:
R 11 = e 1 ·(R·e 1 ) = e 1 ·(cos θ e 1 + sen θ e 2 ) = cos θ; R 12 = e 1 ·(R·e 2 ) = e 1 ·(− sen θ e 1 + cos θ e 2 ) = − sen θ; R 21 = e 2 ·(R·e 1 ) = sen θ; R 22 = e 2 ·(R·e 2 ) = cos θ. ⇓
[R] =
cos θ − sen θ sen θ cos θ
1.6. Cambio de coordenadas de un tensor
Veamos ahora cómo cambian las componentes de un tensor frente a un cambio de base, como el de nido en (12). Como ya se ha dicho, nos limita- remos aquí a considerar bases ortonormales^5. En primer lugar, observamos que el cambio de nido es equivalente a la actuación de un tensor A que transforma los vectores de la antigua base en los de la nueva:
e′ i = A · ei. (42) (^5) Esta restricción da lugar a los denominados tensores cartesianos.
1.7 Coe cientes de permutación 14
En efecto, desarrollando las componentes de los nuevos vectores e′ i en la base ei, e′ i = (ep·e′ i)ep = (ep·(A·ei)) ep = Apiep, (43)
como queríamos demostrar, ya que las componentes de A coinciden con las antes de nidas en (12). Asimismo, puede obtenerse una expresión directa del tensor de cambio mediante: A = e′ p ⊗ ep (sumatorio implícito en p). (44) El tensor A que de ne un cambio entre bases ortonormales, teniendo en cuenta (19), es un tensor ortogonal:
[A]T[A] = [ 1 ] ⇒ AT^ · A = 1. (45)
El tensor A asociado a un cambio de bases ortonormales es por tanto orto- gonal. Si además de un triedro a derechas produce otro triedro igualmente a derechas, se denomina ortogonal propio o rotación. En caso contrario produ- ciría una rotación seguida de una re exión respecto de un plano del triedro. Más abajo (apartado 1.10) veremos que una condición equivalente para el tensor ortogonal sea propio es que su determinante valga +1. Sea un cambio de base de nido por las expresiones tensoriales (42) o de forma equivalente, por las expresiones algebraicas (43). Un tensor T de ne una aplicación lineal en V, v = T ·u, (46)
que expresada en unas u otras coordenadas resulta en las siguientes ecuacio- nes matriciales: {v} = [T ]{u}, {v}′^ = [T ]′{u}′. (47)
Teniendo en cuenta las relaciones de cambio de coordenadas para los vectores, (17) y (18):
{v}′^ = [A]T{v} = [A]T[T ]{u} = [A]T[T ][A]{u}′; (48)
por lo que [T ]′^ = [A]T[T ][A] ⇔ T (^) ij′ = ApiAqj Tpq. (49)
1.7. Coe cientes de permutación
Se trata de coe cientes con tres índices, que se pueden de nir a partir de los vectores de una base ortonormal a derechas (e 1 , e 2 , e 3 ) mediante la expresión general siguiente:
ijk = (ei ∧ ej )·ek. (50)
1.9 Vector axial asociado a un tensor hemisimétrico 16
1.9. Vector axial asociado a un tensor hemisimétrico
La forma bilineal asociada a un tensor hemisimétrico es igualmente he- misimétrica. En efecto, aplicando la de nición de tensor traspuesto (34) a un tensor W hemisimétrico, que veri ca W T^ = −W :
u·(W ·v) = v·(W T·u) = −v·(W ·u) ∀u, v ∈ V. (57)
Particularizando esta propiedad para los vectores de la base (u = ei, v = ej ), deducimos que la matriz de coordenadas es también hemisimétrica:
Wij = −Wji ∀i, j = 1, 2 , 3. (58)
Una propiedad importante de todo tensor hemisimétrico es que existe siempre un vector axial asociado al mismo, que lo hace equivalente a un producto vectorial:
W ∈ V^2 , W = −W T^ ⇒ ∃w ∈ V, W ·x = w ∧ x ∀x ∈ V. (59)
Desarrollando las componentes de esta expresión,
Wqpxpeq = rpqwrxpeq, (60)
e igualando éstas, rpqwrxp = Wqpxp, (61)
por lo que Wij = wppji. (62)
Asimismo, se puede invertir esta relación para obtener
wi =
piqWpq. (63)
(Ejercicio: demostrar, multiplicando (62) por kij y aplicando (52).) El tensor hemisimétrico asociado a un vector w lo denominaremos también ŵ , ó w∧. La equivalencia es por tanto
W = w∧ = ŵ (64) m
{w} =
w 1 w 2 w 3
, [W ] = [ ŵ ] =
0 −w 3 w 2 w 3 0 −w 1 −w 2 w 1 0
1.10 Determinante de un tensor 17
1.10. Determinante de un tensor
El determinante de un tensor es un escalar cuyo valor coincide con el determinante de la matriz de componentes asociada en una base dada.
det T = det[T ]. (66)
En función de los coe cientes de permutación puede expresarse como
det T = pqrTp 1 Tq 2 Tr 3 = pqrT 1 pT 2 qT 3 r. (67)
Se trata igualmente de una operación tensorial intrínseca, por lo que el re- sultado es el mismo independientemente de la base empleada para calcular las coordenadas. Es por tanto otro invariante del tensor. El determinante tiene las propiedades siguientes.
- Un tensor cuyo determinante es no nulo posee siempre inverso:
det T 6 = 0 ⇒ ∃T −^1 | T · T −^1 = 1. (68)
- El determinante de un producto de tensores es el producto de los de- terminantes, det(A · B) = det(A) det(B) (69)
- El determinante del tensor identidad vale 1 , y el del inverso de un tensor es el inverso del determinante,
det 1 = 1, det T −^1 =
det T
- El determinante del traspuesto de un tensor es igual al determinante del tensor original, det
T T
= det (T ) (71)
- Otra forma equivalente a (67) de expresar el determinante es
det T =
pqrstuTpsTqtTru. (72)
(Ejercicio: demostrar, a partir del desarrollo de las sumas en los índices s, t, u y la de nición de stu.)
- Para vectores a, b, c cualesquiera se veri ca
[T ·a, T ·b, T ·c] = det T [a, b, c] (73)
- Se veri ca T ·a ∧ T ·b = T ∗·(a ∧ b) , (74) siendo T ∗^ = (det T )T −T.
1.11 Autovalores y descomposición espectral 19
Equivalentemente, S puede expresarse mediante el desarrollo espectral si- guiente:
S =
∑^3
r=
λr pr ⊗ pr
= λ 1 p 1 ⊗ p 1 + λ 2 p 2 ⊗ p 2 + λ 3 p 3 ⊗ p 3.
Es fácil comprobar que el cuadrado de un tensor simétrico tiene los mis- mos vectores propios, mientras que los valores propios son los cuadrados. En efecto, para p principal,
S^2 ·p = S·(S·p) = S·(λp) = λ^2 p,
por lo que su descomposición espectral será
S^2 =
∑^3
p=
λ^2 r pr ⊗ pr,
y prosiguiendo con este razonamiento, la potencia n-ésima vale
Sn^ =
∑^3
p=
λnr pr ⊗ pr.
Por otra parte, podemos expresar la raíz cuadrada de un tensor simétrico semide nido positivo como
√ S =
∑^3
p=
λr pr ⊗ pr.
De forma análoga se pueden expresar la exponencial de un tensor simétrico,
exp(S) = eS^ =
∑^3
p=
eλr^ pr ⊗ pr,
o el logaritmo de un tensor simétrico de nido positivo,
ln(S) =
∑^3
p=
ln(λr) pr ⊗ pr.
Cálculo de los autovalores. El cálculo de los autovalores de un ten- sor S se realiza considerando que el determinante de la denominada matriz característica debe ser nulo,
S·p = λp ⇔ (S − λ 1 )·p = 0 ⇒ det(S − λ 1 ) = 0.
1.11 Autovalores y descomposición espectral 20
La expresión anterior constituye un polinomio de orden 3, denominado poli- nomio característico, cuyo desarrollo es
det(S − λ 1 ) = P (λ) = −λ^3 + I 1 (S)λ^2 − I 2 (S)λ + I 3 (S), (77)
siendo los tres coe cientes indicados de dicho polinomio los denominados invariantes escalares principales de S:
I 1 (S) = tr(S) = Spp,
I 2 (S) =
[
(tr(S))^2 − tr(S^2 )
]
[
(Spp)^2 − SpqSqp
]
I 3 (S) = det(S) = pqrS 1 pS 2 qS 3 r.
Todo tensor tiene al menos un autovalor real, propiedad heredada del polinomio característico (cúbico) que tiene al menos una raíz real por el teorema fundamental del álgebra^6. Sólo en ciertos casos, como son los tensores simétricos, puede a rmarse que existen tres autovalores / autovectores reales. Como los invariantes no dependen del sistema de coordenadas, en caso que existan tres autovalores reales podremos expresar los invariantes también en el triedro principal:
I 1 (S) = λ 1 + λ 2 + λ 3 , I 2 (S) = λ 1 λ 2 + λ 2 λ 3 + λ 3 λ 1 , I 3 (S) = λ 1 λ 2 λ 3.
Invariantes J. Los invariantes I = (I 1 , I 2 , I 3 ) no son los únicos que pue- den obtenerse de un tensor, aunque cualquier otro invariante puede ponerse en función de éstos. En particular, para el estudio de las tensiones a veces se emplean los invariantes J = (J 1 , J 2 , J 3 ) de nidos como sigue:
J 1 (S) = tr(S) = Spp = λ 1 + λ 2 + λ 3 ,
J 2 (S) =
tr(S^2 ) =
SpqSqp =
(λ^21 + λ^22 + λ^23 ),
J 3 (S) =
tr(S^3 ) =
SpqSqrSrp =
(λ^31 + λ^32 + λ^33 ).
Como puede comprobarse, la de nición general de estos invariantes, genera- lizable a espacios de dimensión mayor, es Jn(S) = (^) n^1 tr(Sn). La equivalencia con los invariantes I es: J 1 = I 1 ,
J 2 =
I^21 − I 2 ,
J 3 =
I^31 − I 1 I 2 + I 3.
(Ejercicio: demostrar.)
(^6) Habrá un autovalor real o bien tres autovalores reales, ya que las soluciones complejas vienen en parejas conjugadas.
