¡Descarga Teorema de Stokes y más Monografías, Ensayos en PDF de Cálculo solo en Docsity!
SESI ´ON 10
Teorema de Stokes
10.1 Introducci´on
En la presente sesi´on se revisa el ´ultimo teorema clave del c´alculo vectorial, el teorema
de Stokes. Este teorema establece una relaci´on entre una integral de l´ınea sobre una
curva del espacio y una integral de superficie. Si bien este teorema lleva el nombre
del f´ısico matem´atico Stokes
∗ , en realidad ´este fue descubierto por el, tambi´en f´ısico
y matem´atico irland´es William Thomson
† , m´as conocido por Lord Kelvin.
George Gabriel Stokes William Thomson
∗ Matem´atico y F´ısico irland´es, 1819-1903. Stokes estableci´o la ciencia de la hidrodin´amica con
su ley de viscosidad que describe la velocidad de una peque˜na esfera a trav´es de fluido viscoso.
† Matem´atico y F´ısico irland´es, 1824-1907. Thomson hizo importantes contribuciones en muchas
´areas de la f´ısica, incluyendo la electricidad, magnetismo y termodin´amica.
10.2 Segunda forma vectorial del Teorema de Green
Recordemos que si P (x, y) y Q(x, y) son campos escalares C
1 en un dominio D de R
2
y C la curva simple, cerrada y orientada en sentido positivo que conforma la frontera
de la regi´on D, entonces el teorema de Green establece que:
C
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
D
∂Q
dx
∂P
dy
dxdy (10.1)
Con respecto al campo vectorial
F = P ̂ı + Q ̂
se tiene (^) ∮
C
F · d
r =
C
P (x, y)dx + Q(x, y)dy (10.2)
y su rotor viene dado por
rot(
F ) =
ı ̂
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q 0
∂Q
∂x
∂P
∂y
k (10.3)
luego,
rot(
F ) ·
k =
∂Q
∂x
∂P
∂y
k ·
k =
∂Q
∂x
∂P
∂y
As´ı entonces, la segunda forma vectorial del Teorema de Green, que recibe el nombre
de Teorema de Stokes en el plano, luego de (10.1), (10.2) y (10.4) es:
C
F · d
r =
D
(rot
F ) ·
kdA (10.5)
que establece que la integral de l´ınea de la componente tangencial de
F a lo largo de
C es igual a la integral doble de la componente vertical del rot(
F ) sobre la regi´on D
encerrada por la curva C.
Nota 10.1. El teorema de Stokes en el plano (10.5) tiene una extensi´on natural al
espacio R
3 , conocido con el nombre de Teorema de Stokes. Este teorema relaciona
una integral de superficie sobre una superficie orientada S con una integral de l´ınea
sobre la curva C correspondiente a la frontera de dicha superficie. La orientaci´on de
la superficie S induce la orientaci´on positiva de su curva frontera C, de modo que la
orientaci´on de la curva y la direcci´on de los vectores normales a S cumplen la regla
de la mano derecha. En otras palabras, si se camina en la direcci´on positiva de C,
manteniendo la cabeza en la direcci´on del vector normal a S, la superficie se mantiene
a la izquierda.
Desarrollo: Se debe comprobar que
C
F · d
r =
S
rot(
F ) · ̂ndS
- C´alculo de
C
F · d
r.
r : x = cos t y = sin t z = 1 t ∈ [2π, 0]
Luego,
d
r : dx = − sin t dt dy = cos t dt dz = 0
Entonces
C
F · d
r =
(sin t, − cos t, 0) · (− sin t dt, cos t dt, 0)
C
F · d
r =
0
2 π
(− sin
2 t − cos
2 t)dt =
2 π
0
dt = 2π (10.8)
- C´alculo de
S
rot(
F ) · ̂n dS.
Ahora, rot(
F ) = (0, 0 , −2),
N = (2x, 2 y, −1) (¿por qu´e?). Luego,
S
rot(
F ) · ̂n dS =
R
2 dA = 2π (10.9)
Luego, (10.8) y (10.9) verifican el teorema de Stokes para el caso pedido.
Ejemplo 10.2. Verificar el teorema de Stokes para el campo
F (x, y, z) = 2yz
i − (2 −
x − 3 y)
j + (x
2
k = (2yz, 2 − x − 3 y, x
2
- z) sobre el lado exterior de la superficie
S intersecci´on de los cilindros x
2
2 = a
2 , x
2
2 = a
2 (a > 0) situada en el primer
octante.
Desarrollo: Se debe comprobar que
C
F · d
r =
S
rot(
F ) · ̂n dS
- C´alculo de
C
F · d
r.
En este caso C = C 1 + C 2 + C 3 + C 4 , donde
C 1 : z = a cos t x = sin t y = 0 t ∈ [0, π/2]
Luego,
dz = −a sin t dt dx = a cos t dt dy = 0
Entonces
C 1
F · d
r =
(2yz, 2 − x − 3 y, x
2
π/ 2
0
(a
3 sin
3 t − a
2 sin t cos t)dt
a
2
a
3 (10.10)
C 2 : x = a cos t y = sin t z = 0 t ∈ [0, π/2]
Luego,
dx = −a sin t dt dy = a cos t dt dz = 0
Entonces
C 2
F · d
r =
(2yz, 2 − x − 3 y, x
2
π/ 2
0
(−a
2 cos
2 t − 3 a
2 sin t cos t + 2a cos t)dt
a
2 π
3 a
2
N 1 = (−fx, −fy, 1) =
x
√
a
2 − x
2
. Luego:
S 1
rot(
F ) · ̂n dS =
D 1
(0, 2 y − 2 x, − 2 y − 1) · (
a
2 − x
2 , 0 , 1)dA
D 1
(− 2 y − 1)dxdy
coord. polares : x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≤ θ ≤ π/ 2 , 0 ≤ r ≤ a
π/ 2
0
a
0
(− 2 r sin θ − 1)rdrdθ
a
3 −
π
a
2 (10.15)
- S 2 = {(x, y, z) / y = g(x, z) =
a
2 − x
2 }, sobre
D 2 = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ a, y 0 ≤ z ≤
a
2 − x
2 }
N 2 = (−gx, 1 , −gz ) =
x
√
a
2 − x
2
. Luego:
S 2
rot(
F ) · n dŜ =
D 2
(0, 2 y − 2 x, − 2 y − 1) · (
a
2 − x
2 , 1 , 0)dA
D 2
(2y − 2 x)dxdy
D 2
a
2 − x
2 − x)dxdz
coord. polares : x = r cos θ, z = r sin θ, 0 ≤ θ ≤ π/ 2 , 0 ≤ r ≤ a
π/ 2
0
a
0
(r sin θ − r cos θ)rdrdθ
Luego, de (10.15) y (10.16), se tiene:
S
rot(
F ) · ̂n dS =
S 1
rot(
F ) · ̂n dS +
S 2
rot(
F ) ·
N dA
a
3 −
π
a
2 = −
a
2
(3π + 8a) (10.17)
Finalmente, comparando (10.14) y (10.17), se verifica el teorema de Stokes para el
caso en cuesti´on.
10.4 Actividades
- En el siguiente dibujo H es una semi esfera y P una porci´on de un paraboloide
Sea
F un campo vectorial con componentes C
1 , explicar por qu´e:
H
F · d
S =
P
F · d
S
- Verificar el teorema de Stokes para el campo
F = (2xy −z, x+y +z, x
2 +y
2 +z)
y S la superficie del hiperboloide z = xy + 1 cortado por el cilindro x
2
2 = 1.
Hint: Para parametrizar la intersecci´on cilindro-hiperboloide se puede tomar
x = cos t, y = sin t, z = sin t cos t + 1. Respuesta: Ambas integrales son iguales
a π.
- Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial radial
F = (x, y, z) y S
la semiesfera superior z =
1 − x
2 − y
2 y z ≥ 0.
Respuesta: Ambas integrales son iguales a 0.
- Usar el teorema de Stokes para calcular
S
rot(
F ) · d
S , para
F (x, y, z) =
yz ̂ı + xz ̂ + xy
k y S la parte del paraboloide z = 9 − x
2 − y
2 que se encuentra
sobre el plano z = 5, orientada hacia arriba.
Respuesta. 0
- Usar el teorema de Stokes para calcular
C
F · d
r , para
F (x, y, z) = e
−x ̂ ı +
e
x ̂ +e
z (^) ̂ k y C es la frontera de la parte del plano 2x+y+2z = 2 que se encuentra
en el primer octante y orientada contrareloj cuando se la mira desde arriba.
Respuesta. 2e − 4
