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Teorema de Superposición
Santiago Hernández, María Camila Mendez, Sara Murte
Bioingeniería, Universidad El Bosque Bogota D.C, Colombia [email protected] [email protected] [email protected] Abstract — El análisis de circuitos es una herramienta útil para encontrar las diferentes variables de un caso específico, desde un punto de vista matemático se tiene la opción de aplicar el teorema de superposición, permite obtener valores divididos de cierta variable del circuito, ofreciendo datos más específicos. Esto se realiza al calcular por separado el aporte de las fuentes de voltaje o corriente. I. INTRODUCCIÓN Muchos de los circuitos utilizados son conformados por elementos pasivos con valores constantes y fuentes de corriente continua donde se aplican como análisis de circuitos los métodos sistemáticos de mallas y nodos además de la simplificación del mismo, que en este caso corresponde al de las resistencias. Al aumentar la complejidad de los circuitos algunos parámetros no cumplen con las condiciones establecidas por los métodos mencionados o se necesite de un dato de una rama en específico se utilizan los teoremas [1]. Un concepto importante que determina cuál de los teoremas aplicar es la linealidad, los circuitos que entran en esta categoría son los que aseguran que la respuesta del circuito a un determinado número de entradas es la suma de las mismas [2]. Por otra parte el comportamiento de los elementos respecto al paso del tiempo, los resistencias y fuentes de voltaje o corriente utilizada tienen un valor constante y no varían en el tiempo. En otras palabras, el retraso temporal de la entrada es el mismo en la salida [1]. Para estas condiciones se puede utilizar el teorema de superposición, que encuentra las variables específicas de una fuente independiente, donde se debe apagar consecutivamente las fuentes que no se quieren estudiar y dejar activa la estudiada, esto se realiza con todas las fuentes del circuito, pero esto solo se puede llegar a cumplir si las fuentes de voltaje se llevan a corto circuito y las de corriente a circuito abierto [3]. Esto se puede observar en la imagen 1, se desea estudiar la fuente número uno por lo cual se lleva el resto a las condiciones mencionadas. Imagen(1). Estado original Imagen(2). Fuente de corriente apagada II. PALABRAS CLAVES Superposición, linealidad, suma, circuito, fuentes. III. OBJETIVOS Analizar el funcionamiento del aporte energético de las fuentes independientes de un circuito. Aplicar el principio de superposición y la importancia que tiene en un circuito con más de una fuente independiente. IV.MARCO TEÓRICO Ley de Ohm Es la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un conductor eléctrico es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo. Matemáticamente se representa:
𝑉 𝑅 En el sistema internacional de de unidades: I= Intensidad en amperios (A) V= Diferencia de potencial en voltios (V) R= Resistencia en ohmios (Ω) [4] Leyes de Kirchoff Las leyes de Kirchhoff complementan el análisis de circuitos como una herramienta eficaz para analizar y resolver una gran variedad de circuitos eléctricos. Primera ley: Ley de corriente de Kirchhoff La ley de corriente de Kirchhoff o primera ley está basada en la ley de la conservación de la carga, lo cual implica que la suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede cambiar.[5] Esto se puede expresar matemáticamente como: (2) 𝑛= 𝑁 ∑ 𝑖𝑛 = 0 Donde : N = Número de ramas conectadas al nodo. in = n-ésima corriente que entra o sale del nodo. Segunda ley: Ley de voltaje de Kirchhoff La ley de voltaje de Kirchhoff o segunda ley está basada en el principio de conservación de la energía, lo cual implica que la suma algebraica de la energía producida dentro de un sistema siempre permanece constante.[6] Esto se puede expresar matemáticamente como: (3) 𝑚= 𝑀 ∑ 𝑣𝑚 = 0 Donde : M = Número de tensiones presentes en la malla. Vm = m-ésima tensión en la malla. Teorema de superposición El principio de superposición establece que la tensión entre los extremos (o la corriente a través) de un elemento en un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debido a que cada fuente independiente actúa sola. El principio de superposición ayuda a analizar un circuito lineal con más de una fuente independiente, mediante el cálculo de la contribución de cada fuente independiente por separado. Sin embargo, al aplicarlo deben tenerse en cuenta dos cosas:
- Las fuentes independientes se consideran una a la vez mientras todas las demás fuentes independientes están apagadas. Esto implica que cada fuente de tensión se reemplaza por 0 V (o cortocircuito) y cada fuente de corriente por 0 A (o circuito abierto). De este modo se obtiene un circuito más simple y manejable.
- Las fuentes dependientes se dejan intactas, porque las controlan variables de circuitos.[6] V.INVESTIGACIÓN
- Teorema de Reciprocidad y muestre su uso. El teorema de reciprocidad nos dice que: en una red donde solo tenemos una fuente de voltaje en cualquier malla, R, al producir una corriente en otra malla diferente, S, el generador se puede cambiar a la malla S, y nos producirá en la malla R la misma corriente que se producía previamente en S. Esa es la causa, generador de voltaje, con el efecto, corriente, se puede intercambiar en las respectivas mallas [9] También se podría argumentar que en un circuito lineal con una sola fuente, la relación de excitación a respuesta es constante cuando se intercambian las posiciones de excitación y respuesta. En los circuitos 1 y 2 este teorema de reciprocidad es la representación que podemos probar con base en la impedancia de transferencia.[7] En el circuito 1 tenemos que: 𝑍𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓 .𝑅𝑆 = (4) 𝑉𝑅 𝐼𝑆^ =^ ∆𝑍 ∆𝑆𝑅 y teniendo en cuenta que para el circuito 2 la matriz de impedancias sigue siendo la misma y que, además, es simétrica, tendremos que; ∆𝑅𝑆 = ∆𝑆𝑅 𝑍𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓 .𝑅𝑆 = (5) 𝑉𝑆 𝐼𝑅
𝑆𝑅
En el sistema de ecuaciones se obtuvieron los siguientes resultados: 𝑖 2 =− 4. 70 𝑚𝐴 𝑖 3 =− 2. 81𝑚𝐴 𝑖 4 =− 86, 68 μ𝐴 Ya con esto se puedo calcular los valores de voltaje, son los siguientes: 𝑉𝑅1 = 330(− 4. 70 𝑚𝐴) = 1, 55𝑉 𝑉𝑅2 = 330(− 2. 81𝑚𝐴 − 4. 70𝑚𝐴) =− 2. 48𝑉 𝑉𝑅3 = 1000(− 86. 68 μ𝐴) =− 866 𝑚𝑉 𝑉𝑅4 = 2000(− 2. 81𝑚𝐴 + 86, 68 μ𝐴) = 3. 78𝑉 𝑉𝑅5 = 1000(− 2. 81𝑚𝐴) =− 2. 81𝑉 𝑉𝑅6 = 1000(− 4. 70𝑚𝐴) =− 4. 7𝑉 Y ya para terminar esta parte del proceso se encuentra la corriente por ley de Ohm: 𝐼𝑅1 = 1,55𝑉330Ω = 4, 69 𝑚𝐴 𝐼𝑅2 = −2.48𝑉330Ω =− 7, 51 𝑚𝐴 𝐼𝑅3 = −866 𝑚 𝑉 10𝐾Ω = 86, 6𝑚𝐴 𝐼𝑅4 = 3,78𝑉 2000Ω = 1, 89 𝑚𝐴 𝐼𝑅5 = −2.8𝑉1000Ω = 2, 81 𝑚𝐴 𝐼𝑅6 = (^) 1000Ω4.7𝑉 = 4, 7 𝑚𝐴 El siguiente paso es apagar la primera fuente y la segunda se deja activa como se ve en la imagen 3: Imagen (3). Primera fuente apagada Para estas condiciones las ecuaciones son las siguientes: 𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 2 : 10 + 1000𝑖 2 + 330𝑖 2 + 200(𝑖 2 − 𝑖 3 ) = 0 1330𝑖 2 + 2000𝑖 2 − 2000𝑖 2 = 0 3330𝑖 2 − 2000𝑖 3 = 0 𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 3 : 2000(𝑖 3 − 𝑖 2 ) + 330(𝑖 3 + 𝑖 4 ) + 1000𝑖 3 = 0 2000𝑖 3 − 2000𝑖 2 + 330𝑖 3 − 330𝑖 4 + 1000𝑖 3 = 0 − 2000𝑖 2 + 3330𝑖 3 − 330𝑖 4 = 0 𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 4 : 8 + 330(𝑖 4 − 𝑖 3 ) + 10000𝑖 4 = 0 10330𝑖 3 − 330𝑖 2 =− 8 Los valores obtenidos son los siguientes: 𝑖 2 = 71, 7 μ𝐴 𝑖 3 = 119, 4 μ𝐴 𝑖 4 =− 770, 6 μ𝐴 Nuevamente utilizando la ley de Ohm se hallaron los valores de voltaje y corriente: 𝑉𝑅1 = 330(71, 7 μ𝐴) = 23, 3 𝑚𝑉 𝑉𝑅2 = 330(119, 4 μ𝐴 + 770, 6 μ𝐴) =− 214, 8𝑉 𝑉𝑅3 = 1000(119, 4 μ𝐴) = 119, 4 𝑚𝑉 𝑉𝑅4 = 2000(71, 7 μ𝐴 − 119, 4) = 95, 4 𝑚𝑉 𝑉𝑅5 = 1000(119, 4 μ𝐴 ) = 119, 4𝑚𝑉 𝑉𝑅6 = 1000(− 770, 6 μ𝐴) =− 7, 7𝑉 Corrientes: 𝐼𝑅1 = 23,3𝑉 330Ω = 70, 6 𝑚𝐴 𝐼𝑅2 = −214,8𝑉330Ω =− 650, 9 𝑚𝐴 𝐼𝑅3 = −7,7 𝑚 𝑉10𝐾Ω =− 770 𝑚𝐴 𝐼𝑅4 = 95,4𝑉 2000Ω = 47, 7 𝑚𝐴 𝐼𝑅5 = 119,4𝑉 1000Ω = 119, 4𝑚𝐴 𝐼𝑅6 = (^) 1000Ω71,7𝑉 = 71, 7𝑚𝐴 VII.DATOS EXPERIMENTALES Los datos obtenidos son los siguientes: TABLA I DATOS OBTENIDOS Rx p5 mA p6 mA p5 (V) p6 (mV)
1 4,69 71,7 1,55 71, 2 -7,51 70,6 -2,48 23, 3 866 47,7 866 95, 4 1,89 -650,9 3,78 -214, 5 2,81 119,4 -2,81 119, 6 4,7 -770 4,7 -0, S corrient e S voltaje p mA p4 (V) E% corriente E% voltaje 76,39 73,250 4,75 1,57 1508, 5 4565, 5 63,09 20,82 870,9 -287,400 92,8 -107, 4 134,3 961,4 86,8 8,68 54,7235 10976 -649,01 -211, 2 3,82 3,64 17089,79 5897, 3 122,21 116,59 2,95 -2,95 4042, 9 -4052, 03 -765,3 4,6923 4,77 4,77 16144, 52 1, VIII.ANÁLISIS Evidenciamos al momento de apagar una de las dos fuentes, empezando por la de 8v, se presentan ciertos cambios comparados al apagar la otra fuente 10v. La mayoría de cambios se notan respecto a la corriente, pues si se apaga la fuente de 8v los valores presentes de I son pequeños, a diferencia de apagar la fuente de 10v, donde los valores de I son elevados, esto muestra que al obtener ambos valores de los cálculos previos, se suman, así teóricamente y de manera simulada su total indica la presencia de la corriente existente si ambas fuentes están encendidas. Para los valores de voltaje en las resistencias no existen muchos cambios respecto a sus valores, puesto que al realizar un análisis por mallas estableciendo la corriente en la misma dirección para ambos casos, la ley de voltajes de kirchhoff será aplicada de igual manera cambiando los valores de fuente, por esto mismo las únicas diferencias se evidencia en algunas cifras decimales. IX.CONCLUSIONES Se observa la aplicación de la linealidad en el teorema de superposición pues la respuesta del circuito a un determinado número de entradas es la suma de las mismas, lo que se usa en el teorema en el momento de sumar los datos de corriente obtenidos en los dos casos. El teorema de superposición presenta la facilidad de solucionar el circuito a través de cualquier método, facilitando así la obtención de sus datos y de igual manera el modo de cómo comparar y corroborar los resultados obtenidos. También mostrando cómo los principios partiendo de la ley de ohm muestran la linealidad de un circuito. REFERENCIAS [1] Universidad del Rosario. (2012). Capítulo 4 Teorema de redes. Facultad de ciencias exactas Ingeniería y Agrimensura. Recuperado 10 de noviembre de 2021, de https://www.fceia.unr.edu.ar/tci/utiles/Apuntes/Cap%204% 0-%202012%20TEO.pdf [2] Belliski, G. (s. f.). Electrotecnia I. Universidad nacional de mar del plata. Recuperado 3 de noviembre de 2021, de http://www3.fi.mdp.edu.ar/dtoelectrica/files/electrotecnia1/e 1_teoria_thevenin_norton_reciprocidad_millman.pdf [3]Gallego Vazquez, J. R. (2008). Teoremas fundamentales de circuitos electricos. Repositorio de la universidad tecnologica de pereira. Recuperado 10 de noviembre de 2021, de http://repositorio.utp.edu.co/dspace/bitstream/handle/11059/ 1042/6213192G166.pdf?sequence=1&isAllowed=y [4] 3q8 8 (educacion.es) - http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esofisicaqu imica/3quincena11/3q11_contenidos_5d.htm [5] Leyes de Kirchhoff — MecatrónicaLATAM (mecatronicalatam.com) - https://www.mecatronicalatam.com/es/tutoriales/teoria/leyes- de-kirchhoff/ [6] Fundamentos de circuitos electricos.pdf - Recuperado el 10 de noviembre de 2021 [7] Instrumentos digitales (uco.es) - http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_03/tema_ 03_02.pdf [8] Fundamentos de circuitos electricos.pdf - Recuperado el 10 de noviembre de 2021 [9]Instrumentos digitales (uco.es) - http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_03/tema_ 03_02.pdf
