TEORÍA DE GRAFOS
Matemática 2 online. Cátedra Zorzoli 1
Contenidos:
•Elementos principales de un grafo.
•Grafos: simples, planos y conexos.
•Matrices de incidencia y adyacencia.
•Recorridos eulerianos.
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teoria sobre los grafos parte 1
Tipo: Apuntes
2022/2023
1 / 12
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TEORÍA DE GRAFOS
Contenidos:
• Elementos principales de un grafo.
• Grafos: simples, planos y conexos.
• Matrices de incidencia y adyacencia.
• Recorridos eulerianos.
Un grafo es una terna ordenada por medio de la cual se establecen relaciones entre los diferentes
elementos que constituyen un sistema o conjunto. Son muy utilizados en la vida cotidiana cuando
queremos representar en una forma acotada y sencilla las relaciones entre los objetos.
Un grafo G se indica de la siguiente manera: G = ( V , A ;𝝋)
Conjunto de Vértices o nodos.
Conjunto de Aristas que relacionan los nodos.
Relación existente entre Vértices y Aristas.
Teoría de Grafos
Grafo G
A
B
C
D
E
a
c
d
b
e
f
El grafo G está formado por:
5 vértices
7 aristas
g
A
a
E
D
F
b
B
C
c
d
h
f
e
g
i
G
j
1) ¿Qué elementos lo componen?. Enumeralos e indicá el grado de cada uno de sus vértices.
Vértices A, B, C, D, E, F, G = 7
Aristas a, b, c, d, e, f, g, = 10
h, i, j
Grado de los Vértices
A B C D E F G
Grado de un vértice: estará
dado por el número de
aristas que inciden en él.
2) ¿Se trata de un grafo simple?
A
a
E
D
F
b
B
C
c
d
h
f
e
g
i
G
j
Un grafo es simple cuando no existen múltiples
aristas entre cada par de vértices y/o no contiene
bucles o lazos. Dicho de otra forma, es un grafo
que no contiene lazos ni aristas múltiples.
Este grafo no es simple porque posee una arista múltiple
entre los vértices A y D y además tiene un lazo en el
vértice F.
3) ¿Es un grafo plano?
Un grafo es plano cuando puede ser dibujado sin
que sus aristas se crucen.
La condición necesaria y suficiente para que un
grafo sea plano , es que no contenga como subgrafo
al grafo K 3,
ni al grafo K 5
. (Teorema de Kuratowski).
Este grafo es plano porque, como se puede observar, sus aristas solo
se cruzan en sus vértices.
4) ¿Es conexo?
Un grafo es conexo cuando desde cualquier
vértice es posible llegar, por medio de una
cadena a otro vértice.
Este grafo es conexo , porque desde cualquier
vértice es posible llegar a cualquier otro a través
de una cadena
A
a
E
D
F
b
B
C
c
d
h
f
e
g
i
G
j
5) ¿Podrías construir sus matrices de adyacencia y de incidencia?
A B C D E F G
a b c d e f g h i j 1 0 0 0 0
Incidencia
Matriz que tiene 𝑛 filas y 𝑘 columnas, donde cada fila
corresponde a una arista y cada columna a un vértice.
En el lugar de cruce de la fila con la columna se escribe
un 1 si la arista incide en el vértice y un 0 si no hay
incidencia. En el caso de encontrarnos con un lazo se
colocará un 2 para indicar que la arista se conecta dos
veces con el mismo vértice.
Cada fila suma
Grado de los
vértices
Matriz de incidencia
A
a
E
D
F
b
B
C
c
d
h
f
e
g
i
G
j
6) ¿Admite recorridos eulerianos?
Un grafo admite recorrido euleriano cuando se lo puede recorrer pasando una única vez por cada arista.
✓ Recorrido euleriano general: el vértice donde se inicia el recorrido coincide con el de finalización y en este
caso todos los vértices del grafo son de grado par.
✓ Recorrido euleriano restringido: el vértice donde se inicia el recorrido no coincide con el de finalización y en
este caso el grafo tiene solo dos vértices de grado impar. En estos vértices es donde comienza y finaliza el
recorrido.
Este grafo no admite recorridos eulerianos porque
posee 4 vértices de grado impar.
Al incorporar la arista que une los
vértices E y G (color verde, porque
no pertenece al grafo original) el
grafo obtenido admite recorrido
euleriano restringido.
Ejercicio 2
a) Confeccioná el grafo asociado a la estructura circulatoria de la vivienda
Estructura circulatoria
D
L-C
C-CD
H
Ext.
T
B
D
B
C-CD
H
T
L-C
Ext.
D
L-C
C-CD
H
T
B
D
L-C
C-CD
H
T
B
Grafo de vecindades interior
Grafo de vecindades completo