Teoria EDOs, Apuntes de Ingeniería Aeroespacial

¡Descarga Teoria EDOs y más Apuntes en PDF de Ingeniería Aeroespacial solo en Docsity!

C`alcul III

Equacions Diferencials Ordin`aries

Apunts de classe

Mari Carme Leseduarte

Ramon Quintanilla

2 ´Index

• ´Index
  • 1 Generalitats sobre EDO’s
    • 1.1 Equacions diferencials
    • 1.2 Solucions de les equacions diferencials
    • 1.3 L’equaci´o y′ = ay
    • 1.4 Problema de Cauchy o de valors inicials
    • 1.5 Exist`encia i unicitat de solucions
    • 1.6 EDO d’una fam´ılia o feix de corbes
    • 1.7 Interpretaci´o geom`etrica de y′ = f (x, y).
    • 1.8 Traject`ories ortogonals
  • 2 Equacions de primer ordre
    • 2.1 Equacions immediates
    • 2.2 Equacions amb variables separables
      • 2.2.1 Equacions reductibles a variables separables
    • 2.3 Equacions homog`enies
      • 2.3.1 Equacions reductibles a homog`enies
    • 2.4 Equacions exactes
  • 2.5 Factor integrant. Equacions reductibles a exactes 4 ´Index
    • 2.5.1 M´es coses sobre factors integrants
  • 2.6 Equacions lineals de primer ordre
    • 2.6.1 Resoluci´o per factors d’integraci´o
    • 2.6.2 Sobre la soluci´o general de les equacions lineals
    • 2.6.3 Resoluci´o pel m`etode de variaci´o de les constants
    • 2.6.4 Equacions reductibles a lineals
  • 2.7 Equacions reductibles a equacions de primer ordre
    • 2.7.1 Cas 1: No apareix la y (la variable dependent)
    • 2.7.2 Cas 2: No apareix la x (la variable independent)
• 3 Aplicacions
  • 3.1 Creixement de poblacions. Desintegraci´o de subst`ancies
    • 3.1.1 Creixement de poblacions
    • 3.1.2 Desintegraci´o de subst`ancies
  • 3.2 Buidat de dip`osits
  • 3.3 Escalfament i refredament
  • 3.4 Mescles
  • 3.5 Problemes din`amics amb massa variable
  • 3.6 Fugida de la terra
• 4 Equacions lineals d’ordre n
  • 4.1 Equacions diferencials lineals
    • 4.1.1 Problema de valor inicial
    • 4.1.2 Sobre la soluci´o general de l’equaci´o lineal
  • 4.2 Dependencia i independencia lineal de funcions
  • 4.3 Solucions de les equacions lineals
    • 4.3.1 Soluci´o general de l’homog`enia
  • 4.4 Equacions lineals homog`enies a coeficients constants
  • 4.5 Equacions lineals no homog`enies
    • 4.5.1 Metode de variaci´o de les constants o dels parametres
• Calcul III. Equacions Diferencials Ordinaries. Apunts de classe - 4.5.2 M`etode dels coeficients indeterminats
• 5 Resoluci´o d’EDO’s mitjan¸cant s`eries de funcions
  • 5.1 Series de potencies
  • 5.2 Resoluci´o per s`eries d’EDO’s de primer ordre
  • 5.3 Resoluci´o per s`eries d’EDO’s lineals de segon ordre
  • 5.4 Solucions entorn de punts ordinaris
  • 5.5 Punts singulars. S`eries de Frobenius
• 6 Transformada de Laplace
  • 6.1 Definici´o i exemples
  • 6.2 Propietats de la transformada de Laplace
    • 6.2.1 Condicions per a l’exist`encia de la transformada de Laplace
    • 6.2.2 L´ımit d’una transformada
  • 6.3 La transformada inversa de Laplace
  • 6.4 Teorema de translaci´o i fraccions simples
  • 6.5 Aplicacions a les equacions diferencials
    • 6.5.1 Transformades de les derivades
    • 6.5.2 Resoluci´o de sistemes d’equacions diferencials
  • 6.6 Derivades d’una transformada
  • 6.7 Funci´o salt unitari
  • 6.8 Funci´o impuls. Delta de Dirac
    • 6.8.1 Transformades de la funci´o impuls i de la delta de Dirac
  • 6.9 Convoluci´o
    • 6.9.1 Transformada d’una integral
    • 6.9.2 Equacions integrals
  • 6.10 Transformada d’una funci´o peri`odica
• 7 Metodes Numerics
  • 7.1 Introducci´o
  • 7.2 M`etode d’Euler
  • 7.3 M`etode de Taylor

C`alcul III. Equacions diferencials 7

Generalitats sobre EDO’s

1.1 Equacions diferencials

Fins ara ens hem acostumat a treballar amb equacions num`eriques de l’estil

3 x^2 − x + 1 = 0, tanα = α, x^2 + 1 = 0,

t + 1 2

− 4 t = 3 + t, · · ·

S´on expressions que estableixen una relaci´o entre n´umeros i funcions, de manera que les inc`ognites o solucions s´on n´umeros. Aquestes equacions poden tenir una, dues, tres, ..., infinites o cap soluci´o.

La materia que ens ocupa aquest curs es dedica a l’estudi d’equacions on les incognites o solucions no s´on n´umeros, sin´o funcions i on apareixen derivades de la funci´o incognita. Per exemple:

y′^ + y = 0, y′^ + sin y = x,

y′′^ + y′y = tan x, y′′′^ + (y′)^2 + y = ex, ∂u ∂x

∂u ∂y

∂^2 u ∂x^2

∂u ∂t

8 Generalitats sobre EDO’s

Observaci´o. En les quatre primeres equacions que hem considerat la incognita depen d’una sola variable independent. Per aixo en diem equacions diferen- cials ordinaries (EDO). En canvi, si intervenen m´es d’una variable, es tracta d’equacions diferencials en derivades parcials (EDP), com ara les dues ´ultimes anteriors. Aquestes, per`o, no s´on objecte de la nostra assignatura.

A continuaci´o donem una definici´o formal d’EDO.

Definici´o 1.1 Una expressi´o del tipus

F

x, y, y′, y′′, y′′′^ · · · , y(n)

que relaciona la variable independent x, la funci´o inc`ognita y i les seves deri- vades y′^ =

dy dx

, y′′^ =

d^2 y dx^2

, · · · , y(n)^ =

dny dxn s’anomena una equaci´o diferencial ordin`aria d’ordre n.

En general, la variable independent i la funci´o corresponent es poden representar per qualsevol altra lletra.

Observem que en diem equaci´o diferencial ordinaria (EDO) d’ordre n perque l’ordre m´es gran de totes les derivades que apareixen ´es precisament n. Vegem-ne alguns exemples:

(a) y′^ = ky (ordre 1)

(b) m

d^2 y dx^2

= mg − b

dy dx

(ordre 2)

(c) 4x′′^ − x = 0 (ordre 2) (d) y(4)^ + x^2 y′′^ − xy = sin x (ordre 4) (e) F (t, x, x′, x′′, x′′′) = 0 (ordre 3)

(f) ez^

d^5 z dt^5

d^2 z dt^2

= ln t

dz dt

• t^2 (ordre 5)

(g)

d^2 dx^2

(x sin y) + xn(y′)n^ = y′′′^ (ordre 3)

(h)

dm(xy^2 ) dx

• sin(x^2 y^2 ) = y^2 (ordre m)

10 Generalitats sobre EDO’s

1.2 Solucions de les equacions diferencials

Ens plantegem dues q¨uestions:

• Qu`e s’ent´en per soluci´o d’una EDO?
• Com trobar totes les solucions d’una EDO?

La primera q¨uesti´o la resoldrem a continuaci´o, mentre que la segona formara part de tots els metodes que estudiarem als altres cap´ıtols. Tanmateix, des d’aquesta primera secci´o ja anirem resolent algunes EDO’s elementals que es poden integrar directament.

Definici´o 1.3 Es diu que una funci´o y = y(x) ´es una soluci´o de l’equaci´o diferencial F

x, y, y′, y′′, y′′′^ · · · , y(n)

si substituint la funci´o inc`ognita i les seves derivades corresponents, l’equaci´o es transforma en una identitat, ´es a dir,

F (x, y(x), y′(x), y′′(x), y′′′(x) · · · , y(n)(x)) = 0.

Exemples 1.4 :

(a) Sigui l’EDO y′′^ + y = 0.

• y = sin x n’´es soluci´o. En efecte,

y′^ = cos x y′′^ = − sin x.

Aleshores y′′^ + y = − sin x + sin x = 0 i se satisf`a l’equaci´o per a tot x.

• y = A sin x + B cos x tamb´e ´es soluci´o de la mateixa equaci´o. Tenim

y′^ = A cos x − B sin x y′′^ = −A sin x − B cos x.

Per tant,

y′′^ + y = −A sin x − B cos x + A sin x + B cos x = 0, ∀x.

C`alcul III. Equacions diferencials 11

(b) Sigui l’EDO y(y′)^2 + (x − y)y′^ − x = 0.

• y = x + c ´es soluci´o de l’EDO. La derivada val y′^ = 1. Aleshores

y(y′)^2 + (x − y)y′^ − x = (x + c) · 1 + (x − x − c) · 1 − x = 0, ∀x

i se satisf`a l’equaci´o.

• x^2 + y^2 = k tamb´e n’´es soluci´o. Notem que x^2 + y^2 = k no ens d´ona una soluci´o expl´ıcita y = y(x). El que farem sera derivar impl´ıcitament respecte d’x l’equaci´o x^2 +y^2 = k. Nom´es cal derivar una vegada perque l’EDO t´e ordre 1. Obtenim

2 x + 2yy′^ = 0 =⇒ y′^ =

−x y

Ara comprovarem que se satisf`a l’EDO. Efectivament,

y(y′)^2 +(x−y)y′^ −x = y

−x y

+(x−y)

−x y

−x =

x^2 y

x^2 y

+x−x = 0.

(c) Sigui l’EDO y′′^ + 2y′^ − 3 y = 0. Veurem que y = c 1 ex^ + c 2 e−^3 x^ ´es soluci´o de l’EDO. Hem de derivar la funci´o dues vegades.

y′^ = c 1 ex^ − 3 c 2 e−^3 x y′′^ = c 1 ex^ + 9c 2 e−^3 x

D’aix`o tenim

y′′^ + 2y′^ − 3 y = c 1 ex^ + 9c 2 e−^3 x^ + 2c 1 ex^ − 6 c 2 e−^3 x^ − 3 c 1 ex^ − 3 c 2 e−^3 x^ = 0,

i per tant la nostra funci´o n’´es soluci´o.

Definici´o 1.5 La gr`afica d’una soluci´o d’una EDO s’anomena una corba inte- gral o corba soluci´o de l’EDO.

Definici´o 1.6 Una soluci´o particular d’una EDO ´es una soluci´o qualsevol. La soluci´o general ´es el conjunt de totes les solucions.

C`alcul III. Equacions diferencials 13

hem despla¸cat la recta y = 4x cap amunt c unitats. Analogament, els valors del parametre c < 0 s’apliquen a les rectes que hi ha per sota de y = 4x, o sigui que hem corregut la recta y = 4x cap avall c unitats.

Per exemple, la soluci´o particular que passa pel punt (2, 5) ´es la corba y = 4x − 3, que correspon a c = −3.

y’= (^) 4

(2,5)

Les grafiques de totes aquestes corbes omplen el pla (si les dibuixem totes no hi veurem res, tot sera negre de la tinta).

Podem donar una orientaci´o a cada corba soluci´o en el sentit en que creix la x, ´es a dir, en el sentit en que s´on recorregudes les corbes, tal com les hem representat en les figures anteriors.

Exercicis

(a) Trobeu una soluci´o de la forma y = Axb, on A i b s´on constants, per a l’equaci´o y′^ = y^2 /^3. (b) Comproveu que les funcions de la forma y = (C − x)−^1 s´on solucions de l’equaci´o y′^ = y^2.

1.3 L’equaci´o y′^ = ay

El nostre objectiu ´es l’estudi de l’equaci´o

y′^ = ay,

14 Generalitats sobre EDO’s

on a ´es una constant. Aquesta equaci´o ´es molt important perque modela gran quantitat de problemes que apareixen en les diferents branques de la ciencia. D’al- tra banda, aquesta equaci´o pot ´esser resolta de forma elemental. Per tot aixo sera un bon exemple per introduir–nos dins els conceptes basics de la teoria de les equacions diferencials ordinaries.

Si prenem una funci´o de la forma y = keax, obtenim y′^ = akeax. Per tant, totes aquestes funcions s´on soluci´o de la nostra equaci´o diferencial. Ens preguntem, per`o, si totes les seves solucions s´on d’aquesta forma.

Suposem que una funci´o y = f (x) ´es tamb´e soluci´o de y′^ = ay. Considerem la nova funci´o z(x) = f (x)e−ax^ i derivem–la respecte x:

z′(x) = f ′(x)e−ax^ − af (x)e−ax^ = e−ax

f ′(x) − af (x)

Com que f (x) ´es soluci´o de l’equaci´o, es compleix f ′(x) = af (x) i, per tant, z′(x) = 0. D’aqu´ı es dedueix que z(x) ´es constant:

z(x) = c =⇒ f (x)e−ax^ = c =⇒ f (x) = ceax.

Podem concloure, doncs, que qualsevol soluci´o de la nostra equaci´o ´es d’aquesta forma.

Aix´ı podem afirmar que la soluci´o general de l’equaci´o y′^ = ay ´es y = keax. Es tracta d’una fam´ılia uniparametrica d’exponencials. Donarem una orientaci´o a les corbes en el sentit en que s´on recorregudes quan creix la x.

Podem preguntar–nos per la soluci´o que passa pel punt (x 0 , y 0 ) del pla XY. A cada punt (x 0 , y 0 ) li correspon un ´unic valor de k (que vol dir una ´unica corba). En efecte, obtenim la k corresponent exigint, en la soluci´o obtinguda abans, que y sigui y 0 quan x valgui x 0 :

y 0 = keax^0 =⇒ k =

y 0 eax^0

=⇒ k = y 0 e−ax^0 ,

i aquesta k ´es ´unica per a cada parella (x 0 , y 0 ).

Resumint, poden afirmar que per cada punt del pla passa una i nom´es una soluci´o de l’equaci´o y′^ = ay.

Per dibuixar el retrat de fases hem de distingir el signe de a.

16 Generalitats sobre EDO’s

Cas 3: a = 0. L’equaci´o diferencial s’ha convertit en y′^ = 0. En aquest cas, la soluci´o general ´es y = k. S´on rectes.

• Per a k = 0 ´es l’eix y = 0.
• Per a k > 0 s´on rectes horitzontals que omplen el semipl`a superior.
• Per a k < 0 s´on rectes horitzontals que omplen el semipl`a inferior.

k =

k <

k >

y

x

Exercici. Comproveu que qualsevol soluci´o de l’equaci´o y′^ = −y compleix

x→lim+∞ y(x) = 0.

1.4 Problema de Cauchy o de valors inicials

De vegades no ens interessa determinar la soluci´o general d’una EDO, sin´o una soluci´o particular, que satisfa la condici´o y(x 0 ) = y 0. Aixo es coneix com Problema de Cauchy o Problema de valors inicials. La corba soluci´o ´es la que passa pel punt (x 0 , y 0 ).

Notaci´o: la condici´o y(x 0 ) = y 0 tamb´e es pot escriure y|x=x 0 = y 0.

Exemple 1.9 Resolem el problema de Cauchy seg¨uent { y′^ = 3y y(0) = − 5

Utilitzem la soluci´o general de l’equaci´o y′^ = 3y coneguda de la secci´o anterior: y = ke^3 x. Per`o en aquest cas no necessitem totes les solucions.

C`alcul III. Equacions diferencials 17

Ara la pregunta ´es: quina soluci´o passa pel punt (0, −5)? O dit d’una altra manera, per a quin valor de k es compleix y(0) = −5?

Donant els valors x = 0 i y = −5 surt −5 = k · e^0 , d’ on k = −5 i, llavors, la soluci´o particular que vol´ıem ´es

y = − 5 e^3 x.

(0,−5)

x

y

Altres vegades, la soluci´o particular demanada ve donada per una condici´o del tipus y → a quan x → +∞, o semblant.

Exemple 1.10 Resolem el problema { y′^ = 3 e−^2 x y → 1 quan x → +∞.

Es tracta d’una EDO d’ordre 1. L’escrivim en forma adequada separant les varia- bles. La soluci´o general s’obt´e a partir de

dy dx

= 3 e−^2 x^ =⇒ dy = 3 e−^2 x^ dx =⇒

dy =

3 e−^2 x^ dx + C

i ´es y =

e−^2 x^ + C.

Imposem la condici´o y → 1 quan x → +∞. Tenim

1 = lim x→+∞

y(x) = lim x→+∞

e−^2 x^ + C

= 0 + C = C.

Per tant, C = 1 i la nostra soluci´o particular ´es y = −

e−^2 x^ + 1.

1.5 Exist`encia i unicitat de solucions

En aquesta secci´o ens plantegem les preguntes seg¨uents. Per cada punt del pla passa alguna soluci´o? Hi passa una ´unica soluci´o?

C`alcul III. Equacions diferencials 19

A continuaci´o presentem un resultat que ens d´ona condicions suficients per a l’exis- tencia i la unicitat de les solucions. El teorema seg¨uent tracta equacions de primer ordre que es poden escriure en forma normal o estandard, aix`o ´es y′^ = f (x, y).

Teorema 1.12 Exist`encia i unicitat. Sigui l’EDO y′^ = f (x, y), on f (x, y) t´e un cert domini D ⊂ R^2. Suposem que

• f (x, y) ´es cont´ınua en D i

∂f ∂y

(x, y) ´es cont´ınua en D.

Aleshores, per a cada (x 0 , y 0 ) ∈ D existeix una ´unica soluci´o de l’equaci´o tal que y(x 0 ) = y 0 (i.e. satisf`a la condici´o inicial o Problema de Cauchy)

Geom`etricament significa que per cada punt (x 0 , y 0 ) ∈ D hi passa una ´unica cor- ba integral (soluci´o ´unica al Problema de Cauchy). (^ x^^0 ,^ y^0 )

x

y

D

Exemple 1.13 Sigui l’EDO y′^ = sin(x + 2y) + xe−y. Clarament

f (x, y) = sin(x + 2y) + xe−y^ i

∂f ∂y

= 2 cos(x + 2y) − xe−y

s´on cont´ınues en R^2. El teorema d’exist`encia i unicitat ens assegura que per cada punt d’R^2 hi passa una ´unica soluci´o.

Insistim en el fet que el teorema d´ona condicions suficients per a la l’existencia de soluci´o ´unica; pero aquestes condicions no s´on necess`aries. Efectivament, pot existir soluci´o ´unica sense satisfer–se alguna de les dues condicions del teorema; ´es

a dir, encara que f (x, y) no sigui cont´ınua, o amb

∂f ∂y

no cont´ınua, o b´e cap de les

dues.

20 Generalitats sobre EDO’s

Exemple 1.14 Estudiem l’EDO y′^ =

y^4

. Considerem els punts de la forma (x 0 , 0).

Aqu´ı, ni f , ni

∂f ∂y

no s´on cont´ınues. En canvi, per cada punt (x 0 , 0) passa una ´unica

corba integral, que ´es y = 5

5(x − x 0 ). En efecte, podem trobar aquesta soluci´o integrant directament:

dy dx

y^4

y^4 dy =

dx + C =⇒

y^5 5

= x + C.

D’on y^5 = 5x + k. Ara, imposant que la corba que passi per (x 0 , 0), tenim k = − 5 x 0. Finalment, obtenim l’´unica soluci´o

y = 5

5(x − x 0 ).

1.6 EDO d’una fam´ılia o feix de corbes

El nostre proxim objectiu ´es posar de manifest la visi´o geometrica de les equa- cions diferencials. En concret, veurem la gran relaci´o existent entre els feixos de corbes planes uniparametrics (que depenen d’un ´unic parametre) i les equacions diferencials de primer ordre.

Exemples 1.15 Mostra de feixos de corbes.

(a) La fam´ılia de circumferencies del pla centrades en l’origen: x^2 + y^2 = c. (b) El feix de rectes del pla que passen per l’origen: y = mx. (c) El feix de circumferencies tangents a l’eix d’ordenades en l’origen:

(x − a)^2 + y^2 = a^2.

(d) La fam´ılia d’exponencials y = keax.

De moment, el problema b`asic que hem plantejat ´es el de resoldre una EDO; ´es a dir, donada una equaci´o diferencial, volem determinar una fam´ılia o feix de corbes que en sigui soluci´o. Molt sovint tindrem que a una

• EDO d’ordre 1 li correspon com a soluci´o general una fam´ılia de corbes d’ par`ametre,