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PRINCIPIOS DE TERMODINÁMICA
INTRODUCCION.-
Lo que se expone a continuación es una
serie de clases que tratan de sentar las bases y los
aspectos más importantes de una rama de la
Termodinámica, esencial en el estudio de la vida:
la Bioenergética. Sin embargo, para situar la
exposición en su contexto, es preciso hacer un
repaso sobre los conceptos más básicos que se
utilizan en el planteamiento de la Bioenergética y
que constituye el leguaje que se empleará en lo
sucesivo. El esquema adjunto representa los
bloques más importantes en los que se constituye
el Tema.
La Termodinámica puede definirse
como el estudio de las transformaciones entre
las diversas formas que adopta la ENERGIA y
del intercambio de éstas entre los sistemas.
TERMODINTERMODINÁÁMICAMICA ENEN BIOMEDICINABIOMEDICINA
BIOENERGÉTICA
BIOENERGBIOENERGÉÉTICATICA
Conceptos
previos
Primer principio:
CONSERVACIÓN
DE LA ENERGÍA
Primer principio:
CONSERVACIÓN
DE LA ENERGÍA
Ejemplos y
aplicaciones
Segundo principio:
AUMENTO
DE ENTROPÍA
Segundo principio:
AUMENTO
DE ENTROPÍA
Conceptos
previos
Ejemplos y
aplicaciones
ENERGIA
Así pues, asociando el concepto de energía a la capacidad para producir trabajo o, lo que es equivalente, la capacidad
para producir cambios (¿qué mejor podría caracterizar la vida ?), encontramos que en el mundo de la Biología y en
particular en el cuerpo humano, se dan manifestaciones de casi todas las formas conocidas de energía: energía química,
mecánica, eléctrica, térmica, etc...
Pero lo más importante en las manifestaciones de la energía en los seres vivos son las maneras en que unas formas de
energía se transforman en otras. Es evidente, por tanto que la descripción de las leyes que regulan estas transformaciones
es capital.
EQUILIBRIO
VARIABLES DE ESTADO
Ecuación de estado
ENERGÍA INTERNA
SISTEMAS
TERMODINÁMICOS
Algunos conceptos previos
SISTEMAS TERMODINAMICOS
Usaremos la palabra sistema para identificar
un conjunto de moléculas, tejidos, órganos, etc, es
decir, conjuntos de elementos materiales en los cuales
se produce un proceso determinado. Llamaremos
entorno o ambiente al resto de elementos en los que
no se da el proceso. Por lo tanto, el universo está
constituido termodinámicamente por nuestro sistema
más el entorno.
ENERGÍA INTERNA
Todos los sistemas físicos que queramos
imaginar y en particular los sistemas biológicos, poseen
almacenada una cierta cantidad de energía, manifestada
de diversas formas debidas a las peculiaridades de su
estructura y sus componentes. Ya se mencionaron más
arriba las formas más usuales de energía manifestada en
los seres vivos. Esta energía total almacenada, que
constituye lo que podría considerarse como el
"patrimonio energético" del sistema, es muy difícil de
calcular o medir a poco que el sistema sea mínimamente
complejo. Lo que a nosotros nos interesará más bien
son los cambios que se dan en alguna o algunas
componentes de esta energía interna, que designaremos
por U.
ENERGÍA INTERNA
SISTEMA
ENERGÍA INTERNA
ENERGÍA INTERNA
VARIABLES TERMODINÁMICAS
Para poder describir un sistema es preciso
representarlo por ciertos atributos medibles que pueden
variar en el transcurso de un proceso. Por ejemplo para
describir un gas, podemos utilizar el volumen que
ocupa, la temperatura que tiene y la presión que ejerce
sobre las paredes del recipiente que lo contiene, así
como la composición del mismo. Estas magnitudes, que
pueden cambiar con el tiempo, reciben el nombre de
variables termodinámicas.
Un sistema está en un estado determinado
cuando se pueden especificar los valores que adoptan
las variables ( variables de estado ). Cuando podamos
expresar una de ellas en función de las demás, la
denominamos función de estado. Las variables de
estado se caracterizan porque sus valores no dependen
del camino que se ha seguido para llegar a dicho estado.
Como consecuencia, las variables de estado de un
sistema pueden ser concebidas como los "niveles" de las
magnitudes que representan dentro del sistema y pueden
representarse matemáticamente por funciones
diferenciables. Más adelante se verán ejemplos de
variables termodinámicas en general y variables o
funciones de estado en particular.
EQUILIBRIO
Se dice que un sistema está en equilibrio cuando las variables que definen el sistema no varían con el tiempo.
PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA
La primera de las leyes que gobiernan las transformaciones de la energía es un principio universal y en su forma
más general establece que la energía total del Universo es constante. Las diversas formas de energía que se manifiestan
en el Universo pueden transformarse unas en otras, siendo la suma de todas ellas invariable.
Para nuestros propósitos este enunciado del primer principio es excesivamente general, por lo que precisaremos
de una formulación más específica referida a los sistemas que estemos estudiando. Sea, por tanto un sistema capaz de
intercambiar energía con el entorno o con otros sistemas. El primer principio establece que:
La variación de energía interna de un sistema es igual a la
suma de calor y de trabajo intercambiados con el entorno.
∆ U = ± Q ± W
absorbido o desprendido. Por su lado se define también el julio , el cual surgió como unidad de trabajo. Cuando en los
tiempos de desarrollo de la Termodinámica se demostró que el calor era una forma de energía, se estableció la equivalencia
entre la caloría y el julio: 1 caloría = 4,18 julios. La caloría ha sido hasta fecha muy reciente la unidad más
frecuentemente usada. Sin embargo, en estos apuntes se empleará el julio (J) sistemáticamente.
Cuando sea conveniente por razones de simplificación de la notación, se utilizará un punto sobre las variables
para indicar su tasa o variación temporal. Por ejemplo:
Q "
#Q
#t
Ejemplos de aplicación inmediata en el corazón:
I.1. Se desea conocer el rendimiento ε del corazón como máquina, es decir la relación entre el trabajo producido y la
energía interna gastada. Esta última se mide indirectamente mediante el consumo de oxígeno: 23 ml/min y el equivalente
consumo calorífico de oxigeno en el músculo cardiaco, que resulta ser de 20,5 kJ/litro O 2
a) Escribir la ecuación necesaria que relaciona las
variables termodinámicas en este proceso (con sus
signos).
b) Suponiendo que todo el trabajo que desarrolla el
corazón se emplea en mantener la sangre en circulación,
calcular la tasa de calor desprendido,
Qy el rendimiento
ε.
Datos : la diferencia de presión hidrostática media que
debe mantener el corazón es de unos 100 mmHg y el
volumen que mueve éste es de unos 6 l.min
Sol.- a) Se trata aquí el corazón como sistema abierto y
por tanto se usa la ecuación de conservación de la
energía:
dU/dt = -
Q-
W.
Los signos (-) son debidos a que el calor sale del músculo cardiaco y el corazón realiza trabajo contra el entorno (el sistema
vascular en este caso).
b) Hay que calcular el gasto de energía interna de forma indirecta, a partir de los datos de consumo diario de oxígeno:
23 ml O 2
/min = 33,12 l O 2
/día;
dU/dt = (- 33,1 litro O 2
/día).(20,5 kJ/litro O 2
) ≈ - 679 kJ/día (= 7,85 W).
Por otro lado, el trabajo realizado por unidad de tiempo (potencia):
W= F.Δs/Δt = (ΔP.A).Δs/Δt = ΔP.(A.Δs)/Δt = ΔP.Q s
(donde Q s
es el caudal, esto es, volumen por unidad de tiempo).
ΔP.Q
s
= 100 mmHg. 6 l/min ≈ 117 kJ/día (= 1,35 W).
El calor desprendido se calcula usando la ecuación descrita en a):
Q : - 679 kJ/día = - 117 kJ/día -
Q;
Q= - 562 kJ/día ( = 6.5 W).
El rendimiento vendrá dado por ε =
W/
U= 117/677 = 0,17 ; es decir, rendimiento ≈ 17%.
El rendimiento real del corazón es mayor, ya que no solo debe mantener la sangre en circulación sino que realiza
trabajo electroquímico necesario para mantener potenciales eléctricos en sus membranas después de cada ciclo de
despolarización-repolarización. Se discutirá más adelante. Ahora es muy importante recordar el concepto de
rendimiento.
I.2. Supongamos ahora que consideramos el proceso
que se da en el sistema constituido por el corazón más el
sistema vascular, tal como se representa en la figura.
Calcular en este caso los valores de
Qy de
W.
COMPONENTES DE LA ENERGÍA INTERNA
Energía, trabajo, calor,... parece que uno puede preguntarse que relación pueden tener todos estos conceptos
aparentemente tan abstractos con el estudio de los seres vivos y su salud. Vamos a ver ahora la importancia capital que
tiene en nuestra vida diaria y en nuestra salud tales conceptos.
Como queda indicado más arriba, es imposible conocer el nivel de energía interna de un sistema, por muy simple
que sea y tanto más en un sistema biológico. Pero más interesante que el nivel de energía interna lo constituyen los
cambios de dichos niveles cuando se da una transformación. En la mayoría de los problemas de interés biomédico, los
cambios en la energía interna más importantes son los debidos a las componentes química (metabolismo), ΔU M
y térmica,
ΔU
T
de la energía interna. Por tanto, para la mayoría de procesos biológicos se puede escribir la expresión de
conservación de la energía de la siguiente forma:
Δ U = Δ U
M
+ Δ U
T
= ± Q ± W
Nótese que esta expresión puede venir dada también en forma de tasas, es decir variaciones temporales de sus términos.
Veamos cada una de estas componentes en detalle:
Metabolismo, Δ U M
: Todos los seres vivos están formados por compuestos químicos cuyos enlaces están rompiéndose y
formándose continuamente. Cuando estamos en reposo total, sin hacer ningún trabajo externo, siguen dándose estos
cambios en la componente química de nuestra energía interna. Esto es lo que constituye el metabolismo basal , que en un
adulto normal viene a ser
!U
M
o
!t
= " 72 kcal.hr
" 1
= "301kJ. hr
" 1 = – 84 W.
El signo (–) indica que el nivel de energía química está disminuyendo: el metabolismo supone un gasto de energía; de ahí
la necesidad de alimentarse para reponer los enlaces químicos que se van perdiendo. Si además estamos efectuando una
actividad, el cambio total en el metabolismo viene dado por:
"U
M
= "U
M
o
+ ""U
M
, donde la doble delta, ∆ΔU M
representa dicho metabolismo extra.
Energía térmica, Δ U T :
La componente térmica de la energía interna consiste en la suma de energías de agitación que
poseen los componentes de un sistema. Recuérdese que en un gas, la energía térmica en la suma de las energías cinéticas
de las moléculas de dicho gas. En un sólido es la suma de las energías de vibración de las moléculas de dicho sólido. La
energía térmica por unidad de masa es lo que se conoce como temperatura, T. Conviene no confundir el concepto de
calor con el de energía térmica o el de temperatura, aunque en la vida cotidiana se suelen confundir. Se puede aumentar el
nivel de energía térmica (y por tanto la temperatura) de un sistema proporcionándole calor o bien proporcionandole
trabajo. Si un sistema tiene una masa m que está a una temperatura T 1
y se le proporciona una cantidad de calor Q, el
cambio de temperatura ΔT = T 2
– T
1
, que experimenta debido a un aumento de su nivel de energía térmica, viene dado por
la expresión:
"T = T
2
# T
1
Q
c $ m
donde c es una constante de proporcionalidad que depende de la naturaleza del sistema y que recibe el nombre de calor
específico.
Cuando el cambio de temperatura es infinitesimal, la expresión anterior tiene la forma:
dT =
"Q
c # m
, y en este
caso concreto δQ se puede escribir como una diferencial exacta, δQ = dQ = c.m.dT
Equilibrio térmico.
Dos sistemas a diferentes temperaturas y puestos en contacto térmico, tienden a igualar sus temperaturas hasta
conseguirse el equilibrio térmico. Supongamos dos sistemas con masas m 1
y m 2
, calores específicos c 1
y c 2
y a
temperaturas T 1
> T
2
, que entran en contacto térmico. El sistema a mayor temperatura cederá al otro una cantidad de calor
Q para que ambos acaben a la misma temperatura final T f
, que vendrá dada por: Q = – c 1
m 1
(T
i
– T
f
Por su parte, por el principio de conservación de la energía, el sistema 2 recibe la misma cantidad de calor, que vendrá
dada por: Q = + c 2
m 2
(T
2
– T
f
eliminando Q de ambas ecuaciones se obtiene la temperatura de equilibrio:
T
f
m
1
c
1
T
1
+ m
2
c
2
T
2
m
1
c
1
+ m
2
c
2
Ahora un poco de práctica:
I.3. Si se aplica 1 kcal a 80 gr. de agua a 20°C, ¿cual será la temperatura resultante?
I.4. Calcular cuantas calorías y julios son necesarios para llevar 50 gr. de hielo desde 0°C, hasta vapor a 100°C.
I.14. Un escalador de 70 Kg. sube una montaña de 1000 m, alcanzando la cima en 3 hr. a) Calcular el trabajo gravitatorio
realizado por el montañero. b) Suponiendo que el trabajo se hace a un ritmo constante durante las 3 hr, calcular la potencia
generada durante el ascenso. c) Suponiendo que el consumo medio de O 2
durante la escalada es de 2 L.min
corresponden a 40 kJ.min
- 1 ), y que la eficiencia del cuerpo del alpinista es del 20%, calcular el trabajo externo.
QUÍMICA DEL ORGANISMO.
Las reacciones químicas que dan sustento a la vida tienen lugar con máxima eficiencia a una temperatura
determinada, superior a la de su entorno. Por tanto, los seres vivos pierden energía térmica continuamente, y si el cuerpo
se enfriara, las reacciones químicas perderían eficacia. Unas especies de animales tratan de mantener su nivel térmico
exponiéndose al sol, mientras que los mamíferos y otros animales suplen con la componente metabólica de la energía, esta
pérdida. El siguiente ejercicio muestra la dependencia que se da entre el metabolismo de los animales y su forma o
tamaño.
I.15. Considérese un experimento en el que se mide el metabolismo basal de diversas especies de mamíferos, así como la
masa de cada animal, y construimos la tabla adjunta. Representar gráficamente los datos de la tabla y mediante un ajuste
lineal, determinar la forma analítica que expresa la dependencia del metabolismo basal con la masa del cuerpo. Comentar
los resultados.
CONTABILIDAD ENERGÉTICA
Existen muchos ejemplos y aplicaciones sencillos, sobre como aplicar el primer principio de la
Termodinámica para encontrar los balances de calor y energía en sistemas - o subsistemas- biológicos,
especialmente en el cuerpo humano (ver colección de ejercicios), en los que están implicadas
transferencias de calor y trabajo entre ellos. Esencialmente en todos ellos no se hace nada diferente de lo
que haría un contable de una entidad financiera con los "debe" y "haber" del dinero implicado en
operaciones comerciales.
Aunque las cuestiones que más nos interesan sobre el metabolismo se verán en el capítulo
siguiente, vamos a ver algunos aspectos muy útiles que son deducibles de una sencilla aplicación del
primer principio. Estas son cuestiones que tratan del origen del consumo de energía metabólica. Como
es sabido, este origen son los alimentos que se ingieren, los cuales son de tres tipos: carbohidratos (CH),
grasas y proteínas. Estos compuestos son usados como combustible por el organismo para el que es
necesario emplear una cierta cantidad de oxígeno y que da como resultado dióxido de carbono y
nitrógeno. Estas oxidación de los alimentos se emplea esencialmente en último término en producir
compuestos muy energéticos de mucho más fácil uso por parte del organismo como se verá más adelante.
La tabla adjunta proporciona las entalpías de oxidación de los alimentos, así como la cantidad de O 2
, CO
2
y nitrógeno implicados en las reacciones.
La segunda columna de esta tabla nos indica los valores de las energías liberadas por la combustión de 1g
de CH, 1g de grasa y 1g de proteína. La columnas 3 muestra los valores de oxígeno que son necesarios
para quemar 1g de CH o 1 g de grasa o 1g de proteína. Las columnas 4 y 5 muestran las cantidades de
CO
2
o de N 2
que se obtienen al quemar 1g de CH o 1g de grasa o 1g de proteína. La 6ª columna da el
cociente entre el dióxido de carbono obtenido y el oxígeno consumido para cada tipo de alimento. La
última columna indica el valor equivalente de la combustión de cada tipo de alimento en términos de la
combustión de oxígeno (cuanto oxígeno habría que quemar para tener la misma energía que cada tipo de
alimento). (El término “entalpía” se emplea aquí para significar lo que comúnmente se conocía
antiguamente como “calor de reacción”, pero su significado estricto se verá en el próximo capítulo). El
siguiente ejercicio ilustra estas ideas y sirve para hacer cálculos sencillos de consumo energético en
humanos.
I.16. Una persona adulta inhala 21,16 mol de oxígeno a lo largo de un período de 24h. La eliminación
asociada de dióxido de carbono y nitrógeno es de 16,95 mol y 5,76 g respectivamente. Esta persona ha
realizado un trabajo externo de 9 x 10
5 J durante ese período y su tasa metabólica basal es de 65W.
Deseamos calcular su gasto metabólico, el calor desprendido y su rendimiento.
Sol.: Necesitamos calcular qué cantidad x de carbohidratos (CH), qué cantidad y de grasas y qué
cantidad z de proteína ha consumido esta persona, de forma que la oxidación de estos alimentos haya
precisado un total de 21,16 mol de oxígeno. Para ello debemos expresar la siguiente ecuación:
21160 mmol/dia = x g de CH/dia x 33,3 mmol de O 2
/g de CH + y g de grasa/dia x 90,6mmol de O2/g de
grasa + z g de prot/dia x 43,3mmol de O 2
/g de prot.
Lo mismo se puede decir del CO 2
b) Transmisión de calor por convección.
En esta forma de transmisión un sistema a temperatura T 1
está sumergido en el seno de un fluido
a temperatura T 2
(T
1
> T
2
). El sistema hace aumentar la temperatura de las capas de fluido en contacto
con él, disminuyendo la densidad del fluido y obligándolo a desplazarse, con lo que nuevas capas de
fluido más frias entran en contacto con el sistema para un nuevo intercambio de calor y así sucesivamente
hasta que se llega al equilibrio térmico. Este movimiento del fluido se llama corriente de convección. La
tasa de intercambio de calor viene dada por:
Q = hA(T 1
" T
2
En este caso A es la superficie de contacto sistema-fluido y h ( coeficiente de convección ) es una
constante que depende de muchos factores, principalmente de la geometría de la superficie de
intercambio.
Otra forma de convección consiste en forzar externamente el movimiento del fluido. como es el
caso de los ventiladores, abanicos, radiadores de los coches, etc. Esta forma de convección es importante
en el papel que se atribuye a la sangre como elemento intercambiador de calor entre diversas partes del
organismo. Su cuantificación es mucho más difícil que en la convección simple por ser mucho más
dependiente de la geometría del sistema. Una de las formas más simples es la de un sistema que es
recorrido por un tubo por cuyo interior circula un fluido de calor específico c p
con caudal ω. En este
caso la tasa de intercambio de calor viene dada por:
Q = "#c p
(T
1
" T
2
). Esta forma se conoce como
convección forzada.
c) Transmisión de calor por radiación.
Por el mero hecho de tener temperatura, todos los cuerpos irradian energía en forma de ondas
electromagnéticas (infrarrojo). Un cuerpo cuya superficie de área A tiene una temperatura absoluta T
emite calor por radiación cuya tasa viene dada por la ley de Stefan :
Q = e"AT
4
En esta expresión, σ es la constante universal de radiación; e es un coeficiente de valor comprendido
entre 0 y 1 que indica lo buen radiador (e = 1) o mal radiador (e = 0) que es el sistema en cuestión.
Cuando dos cuerpos están intercambiándose calor y sus temperaturas T 1
y T 2
no difieren mucho (caso
normal entre sistemas biológicos), la tasa neta de calor intercambiado entre ambos puede calcularse con
una expresión aproximada del tipo:
Q = h rad
A(T
1
" T
2
en la que h rad
engloba los factores e, σ y T
3 que pueden tomarse como constantes.
En este fenómeno está basada una técnica de diagnóstico llamada termografía que permite la detección
de pequeñas variaciones de temperatura de zonas superficiales del cuerpo humano.
Nota: Para simplificar, se ha prescindido de los signos menos (-) que deberían llevar todas las
expresiones de
Q.
Ejemplos
I.17. En un experimento de fisiología humana, un hombre desnudo se coloca en una habitación en la que
el aire está quieto a una temperatura de 17°C y se encuentra que la temperatura de su piel está a 33°C. Se
sube la temperatura del aire a 34°C, encontrándose que la temperatura de su piel es ahora de 35°C.
Estimar la relación de pérdidas de calor en ambos casos, suponiendo que solo se pierde calor por
convección simple.
I.18. Consideremos dos animales diferentes de forma cilíndrica. El primero de 1 m de diámetro, 1 m de
longitud y 1 cm de grasa aislante. El segundo tiene un diámetro de 0,5 m, 6 m de longitud y 4 cm de
grosor en su capa de grasa. Ambos tienen una temperatura de 35°C y viven en clima ártico (0°C).
a) ¿Qué animal contiene más energía térmica?; b) ¿qué animal pierde calor más rápidamente?; c) Para
saber cual de los dos sobrevive mejor las condiciones árticas es necesario conocer la relación entre la
velocidad de pérdida de calor y su contenido en energía térmica; ¿cual de los dos pierde más calor
relativo?
I.19. Cuando una persona desnuda y en reposo esta sumergida en agua fría, pierde calor esencialmente
por convección.
a) Calcular la temperatura del agua para la cual este calor cedido es igual al valor del metabolismo en
reposo. Realizar el mismo cálculo suponiendo que la persona está en el aire.
b) ¿Que le sucede a esta persona si el agua está a 25°C? ¿y si está a 40°C? Explicar las respuestas
c) ¿Por qué sentirá más frío sumergido en agua a 25°C que estando en aire a 25°C?
d) Suponiendo que la temperatura de esta persona es uniforme y de 36°C, calcular el cambio de entropía
en la persona, del proceso descrito en el apartado a). (Para intentar resolver después de estudiar el
próximo capítulo).
I.20. Consideremos una persona tomando el sol en la playa. Esta persona está recibiendo radiación del
sol a un ritmo de 125 kJ.hr
- 1 . La superficie efectiva de su cuerpo es de 0.9 m
2 y su piel está a 32°C,
mientras que el ambiente se halla a 30°C. a) Encontrar la energía de radiación neta ganada por hora. b)
Si hay brisa a 4 m.s
, encontrar la pérdida de energía por convección. c) Si pierde 42 kJ.hr
por
respiración y su ritmo metabólico es de 334 kJ.hr
, ¿cuanto calor pierde por evaporación?
d) Transmisión de calor debido a evaporación.
En todos los animales superiores, incluyendo el hombre, tiene gran importancia el intercambio
de calor por evaporación al entorno de un fluido en contacto con el sistema. Esta forma de intercambio
calorífico se diferencia de las anteriores en que el sistema intercambia no solo calor sino también materia.
La tasa de intercambio calorífico depende indirectamente de las temperaturas de los dos sistemas a través
de sus respectivas presiones de vapor, p 1
y p 2
, es decir las presiones de evaporación del fluido a las
temperaturas T 1
y T 2
respectivamente:
Q = h vap
A(p 1
" p 2
A continuación se presenta una miscelánea de ejercicios y aplicaciones de todo lo visto hasta
aquí:
I.21. Para describir el efecto de abrigo de la ropa en el hombre o de las pieles de animales, se suele
utilizar el término "aislamiento térmico" como el inverso de la conductividad térmica, κ = 1/k. La piel
del zorro polar tiene un aislamiento térmico de unos 1,24 m.°K.W
- 1 . ¿A qué diferencia de temperatura
entre el interior y el exterior de la piel (de 1 cm de espesor) será igual la transferencia de calor al
metabolismo del zorro, que puede ser de unos 45 W.m
I.22. Estimar la pérdida de temperatura por evaporación, convección y radiación de un recién nacido en
los primeros momentos que siguen al nacimiento. Úsese la siguiente tabla de datos: peso: 2,3 kg; área
efectiva: 0,2 m
2 ; metabolismo basal: 8,4 kJ.kg
- 1 .hr - 1 ; temperatura ambiente: 22°C. Presión de vapor del
agua a 20°C : 11 mmHg; presión de vapor del agua a 35°C : 47 mmHg (ambas a 55% humedad).
Completar los datos necesarios en el apéndice.
I.23. Supongamos que aislamos el cuerpo de una persona de 70 kg de forma que no pueda emitir calor al
exterior, por ejemplo, sumergiéndole en un baño a 37°C. Calcular la tasa de incremento de temperatura
en dicha persona, la cual no está efectuando ningún trabajo externo.
I.24. a) Cuando es invierno y nuestra mano esta expuesta al aire ambiente (digamos, 0°C), notamos
sensación de frío. Sin embargo si sumergimos la mano en el agua quieta de un estanque, la sensación de
frío es mucho mayor, ¿por qué?;
b) Si el agua del estanque se pusiera en movimiento (por ejemplo, 1,5 km.hr
) mientras nuestra mano
está sumergida, notaríamos aún más sensación de frío, ¿por qué?;
I.25. Un excursionista de 1,8 m
2 de área se encuentra en una montaña llevando un abrigo fibroso de 1
cm de grosor. La temperatura de la superficie de su cuerpo está a 33°C y la del exterior es de 0°C.
Calcular la velocidad de conducción de calor a través de su ropa en watios, cuando: a) la conductividad
térmica de su ropa (seca) es de 0,04 Wm
- 1 °K - 1 ; b) tiene la ropa mojada y se puede considerar que la
conductividad térmica es la del agua.
I.26. Cuando dormimos (un tercio del día), usamos normalmente más aislamiento que el resto del
tiempo. Encontrar la pérdida de calor suponiendo el aislamiento de 1 cm de grasa y 1 cm de ropa durante
dos tercios del día y el aislamiento de 1 cm de grasa y 4 cm de mantas durante el tercio restante del día.
Suponer que las mantas son como la ropa en sus propiedades térmicas.
Sol.: a) Abordaremos el problema en forma general. Tanto de día como de noche, la diferencia de
temperatura de nuestro cuerpo con el exterior, obliga a que una cierta tasa de calor
Qatraviese la capa de
grasa y a continuación la capa de ropa (en ambos casos por conducción):
Emplear los siguientes datos: área efectiva de la mano: A = 0,05 m
2 ; coeficiente de convección simple
mano-aire: h = 63 kJ.m
.hr
.°C
; calor específico de la sangre: c = 4,2 kJ.litro
.°C
.
Tratamiento teórico y resolución.
Comenzaremos con una tabla de variables y parámetros a modo de nomenclatura:
v = velocidad de la sangre en cm.s
ω = caudal de la sangre en g.s
c = calor específico de la sangre en J.g
A = área de la mano en cm
2 ;
ρ = densidad de la sangre en g.cm
s = distancia entre los sistemas arterial y venoso en cm.
S = área de la sección de vaso sanguíneo equivalente en cm
2 ;
h = coef. de convección simple mano-aire en J.cm
k = conste. conductividad térmica media tejido biológico en J.cm
λ = perímetro de la sección de un vaso
sanguíneo expuesto a otro
en
En este modelo tenemos que hacer grandes simplificaciones. Según la primera vamos a suponer que el
lecho vascular de la extremidad en estudio consiste en un vaso de alimentación correspondiente al sistema
arterial por el que entra sangre que proviene del centro y por tanto sangre caliente (37°C). Este se
extiende a lo largo del eje x y termina en un conjunto de vasos delgados que corresponden al sistema
capilar, cuyo final esta en contacto con la piel. Estos conectan con el vaso de retorno que corresponde al
sistema venoso. Este vaso discurre paralelo al arterial a una distancia d y tiene un calibre igual que éste.
Consideraremos origen del eje x el punto de comienzo del miembro y llamaremos L a su longitud
efectiva.
Designaremos con T A
(x) y T V
(x) las distribuciones de temperaturas de la sangre arterial y venosa
respectivamente a lo largo del eje x. Te será la temperatura del exterior. Suponemos que el sistema está
funcionando en estado estacionario en períodos de tiempo suficientemente largos como para poder
ignorar el hecho de que el flujo sanguíneo es pulsátil.
Una primera aplicación del principio de conservación de la energía puede realizarse en una forma global,
observando que la diferencia de energía a cualquier altura x, que acarrean la sangre venosa y la arterial se
tiene que haber disipado al exterior en forma de calor. Y la forma de hacerlo es por medio de convección
simple. Es decir:
w
c
[T
A
(x) - T V
(x)] = h
A
(T
s
– T
e
) (b)
Esto nos proporciona una primera ecuación que nos relaciona las temperaturas de la sangre arterial y
venosa con las temperaturas de la piel (es decir, temperatura al final de los capilares) y la temperatura
exterior y con la velocidad de la sangre. Pero podemos llevar nuestro análisis más allá para estudiar
como varían las temperaturas de la sangre arterial y venosa a lo largo de la extremidad en estudio.
Veamos.
Llamaremos R a la tasa de transferencia de calor desde la arteria a la vena, a cualquier altura x, a través
del área dA = λ.
dx (véase figura), donde λ es la longitud del perímetro de las secciones de los cilindros
que están en contacto térmico. Está claro, según el mecanismo de conducción que:
R =
k" # dx
d
[T
A
(x) $ T
V
(x)] (r)
Por tanto R ha de representar la pérdida de energía desde un segmento dado (x) al siguiente (x+Δx), según
el principio de conservación de la energía, será (haciendo uso de la definición de derivada):
R =
Q
A
(x) "
Q
A
(x + dx) = "
d
Q
A
dx
dx^ , donde
Q
A
(x) "
dQ A
(x)
dt
es la tasa de calor por convección
forzada debido a la circulación de la sangre.
Dado que Q A
(x) = m.c.T A
(x), y que quien varía con el tiempo es la masa (y no T), podemos escribir:
Q
A
(x) = c
dm
dt
T
A
(x) = c
d("V)
dt
T
A
(x) = c
"d(S # x)
dt
T
A
(x) = "cS
dx
dt
T
A
(x) = "cSvT
A
(x) = c$T
A
(x)
d
Q
A
(x)
dx
= c"
dT
A
(x)
dx
= c"T'
A
(x)
En definitiva R =-cωT'A(x)dx. Combinando esta ecuación con la primera (r), se obtiene:
T'
A
(x) =
"k # $
cws
T
A
(x) " T V
[ (x)] %^ B^ T
V
(x) " T A
[ (x)]
(a)
donde B =
k "
c " w " s
Haciendo los mismos razonamientos se puede llegar a una expresión análoga para la sangre venosa:
T'
V
= B T
V
(x) " T
A
[ (x)]
(v)
Este resultado tiene varias consecuencias. En primer lugar implica que
dT
A
(x)
dx
dT
V
(x)
dx
Si integramos esta ecuación obtenemos para las distribuciones de temperaturas arterial y venosa:
T
A
(x) " T
V
(x) = const. = #T (t)
es decir, la diferencia de temperaturas a lo largo de la extremidad (eje x) es constante. Nótese que esta
ecuación se puede deducir directamente de la ecuación (b).
En segundo lugar, integrando las ecuaciones (a) y (v) en las que se ha utilizado el resultado (t), se obtiene:
dT
A
0
x
= B[T
V
(x) # T
A
(x)]
0
x
dx = B$ %T $ x
T
A
(x) # T
A
(0) = B$ %T $ x
T
A
(x) = T A
(0) - Δ T
B
x
T
V
(x) = T V
(0) - Δ T
B
x
Si la extremidad estudiada tiene una longitud L,
T
A
(L) = T
A
(0) - ΔT
B
L
T
V
(L) (= T
s
) = T
V
(0) - ΔT
B
L es la temperatura
al final de los capilares, es decir prácticamente
la de la piel.
Disponemos así de dos ecuaciones más que nos
permiten atacar el problema en forma más
desmenuzada y además nos dicen que la
disminución de temperatura a lo largo de la
extremidad es lineal y en ambos casos con la
misma pendiente B. Véase en la sección de
resolución, la parte numérica del este problema.
T (x) A
T (x) V
Temperatura
x
L
!T
Válvula de
control de flujo
(ARTERIOLAS)
Desprendimiento de
agua superficial
(SUDOR)
Sensor
(HIPOTALAMO)
PULMONES
Bomba doble
(CORAZON)
Productor de calor
(ORGANOS Y TEJIDOS)
Receptores térmicos
(PIEL)
REGULACIÓN TÉRMICA. CASO GENERAL.
I.29. Existe una considerable evidencia experimental de que ciertos sistemas fisiológicos emplean
combinaciones de intercambiadores a contracorriente internos (I.I.) y externos (I.E.) para regular la
temperatura de órganos internos donde se genera calor (p. ej., el cerebro) debido a la actividad metabólica.
La figura muestra un esquema en el que la sangre venosa enfriada en el I.E. se usa para pre-enfriar sangre
arterial que llega al órgano, mediante el I.I. De esta manera se disipa eficientemente el exceso de calor en
dicho órgano.
a) En el modelo idealizado de la figura, establecer las ecuaciones que describen los intercambios de calor
en cada uno de los elementos de la figura.
b) Si el metabolismo del órgano es de - 8,4 kJ.h
, el flujo sanguíneo es de 2,5 ml.s
, el exterior está a
20°C, la piel está a 30°C y la sangre arterial entra a 37°C, calcular la temperatura de la sangre venosa T V
y
el calor total disipado al ambiente.
c) Comparar los resultados obtenidos en b) con el caso en que no existiera el intercambiador interno.
Datos: área efectiva, 0,1 m
2 ; coeficiente de convección, 21 kJ.m
calor específico de la sangre, 4,2 kJ.litro
°C
Organo
T' A
I.E.
Te
Tp Tv
TA
T' V
I.I.
dUM/dt
Resolución: a) En cada uno de los elementos se toma y se cede una cierta cantidad de calor.
En el órgano se consume una cierta cantidad de energía metabólica dU M
/dt que se disipa como calor de
convección por la sangre: dU M
/dt = ω s
.c p
.(T'
V
- T'
A
En el I.E.: ω s
.c.(T' V
- T
p
) = h.A.(T p
– T
e
Y en el I.I.: ω s
.c p
.(T
V
– T
p
) = ω s
.c p
.(T
A
- T'
A
En total se tienen tres ecuaciones independientes y por tanto se pueden establecer tres incógnitas de entre
los parámetros que intervienen en ellas. Usualmente, dado que son las más difíciles de establecer
experimentalmente, se escogen como incógnitas T V
, T
V
y T A
b) Con los datos del problema, resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene T V
= 36,9°C,
el calor disipado al exterior es h.A.(T p
– T
e
) = 5 kcal.h
y el calor disipado interiormente es w s
.c p
.(T
A
- T'
A
) = 3 kcal.h
c) En este caso T' A
= T
A
y T V
= T
p
Esta última debería variar y por tanto considerarla como incógnita.
T
p
= 35,3°C, la piel estaría más caliente.
Para refrigerar el órgano deberían entrar ω s
.c s
.(T
A
– T
V
) = 311,5 kJ.h
- 1 y se disiparían al entorno h.A.(T p
T
e
) = 320 kJ.h
Como puede comprobarse, en este caso entrarían en juego mayores cantidades de calor.
