Test Hipótesis Estadísticas, Ejercicios de Estadística

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Capítulo 10

Capítulo 10

Test de Hipótesis

Test de Hipótesis

Contraste de Hipótesis

Contraste de HipótesisContraste de Hipótesis

Contraste de Hipótesis

Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si

cierta propiedad supuesta para una población es cierta propiedad supuesta para una población es

compatible con lo observado en una muestra de ella. compatible con lo observado en una muestra de ella.

Tipos de Hipótesis: Tipos de Hipótesis:

 Hipótesis Alternativas Hipótesis Alternativas

 Hipótesis Anidadas Hipótesis Anidadas

Alternativas: Hipótesis A Alternativas: Hipótesis A

v/s Hipótesis B, donde A y v/s Hipótesis B, donde A y

B no pueden cumplirse B no pueden cumplirse

simultáneamente.

simultáneamente.

Anidadas: Hipótesis A y B, Anidadas: Hipótesis A y B,

donde A es un caso especial donde A es un caso especial

de B. de B.

Elementos de una Prueba de Hipótesis

Elementos de una Prueba de Hipótesis

1.- Hipótesis Nula (H

0

), Hipótesis Alternativa.

2.- Estadística de Prueba (Discrepancia).

3.- Región de Rechazo (Región Crítica).

4.- Regla de Decisión.

Definiciones

Definiciones

Prueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla

 (Procedimiento) para decidir si rechazamos una

hipótesis H

0

.

Estadística de Prueba: Es una función de la muestra.

Interesa que contenga el máximo de información sobre

H

0

. Es en base a la información contenida en esta función

que decidiremos respecto de la aceptación o rechazo de

H

0

.

Región Crítica: Define los valores del estadístico de

Prueba para los cuales se contradice H

0

.

Definiciones

Definiciones

Nivel crítico p: Se define el nivel crítico p del contrate

como la probabilidad de obtener una discrepancia mayor

o igual que la observada en la muestra bajo H

0

.

donde:

: valor observado

p : depende de la muestra

0

p d d / H

 Pr 

d

Consideremos H

0

:   

0

v

/

s

H

1

:   

1

Sea : Estado de Naturaleza  = 

0

 

1

: Espacio de Información  = C  C

C

Regla de Decisión: x  C  H

0

es F

x  C

C

 H

0

es V

Error tipo I: Rechazar H

0

(cuando es verdadero)

Error tipo II: Aceptar H

0

(cuando es falso)

P(Error tipo I) = P



( C ) =  ,   

0

P(Error tipo II) = P



(C

C

) =  ,   

1

Fijada la región crítica C podemos definir:



C

:  0,1  

C

() = P



(C) Función Potencia

Test de Comparación de Medias

Test de Comparación de Medias

Supuesto: Independencia

1

E X  

2

1 1

X N  , 

2

2 2

Y N  ,   

"

E Y  

2

1

Var X  

2

2

Var Y  

Caso Normal: Estadística de Prueba

2

2

2

1

2

1

1 2

n n

X Y

Z

 

 



  



1 2

1 2

1 1

n n

S

X Y

t

P



  



 



i

conocidos



i

desconocidos

pero iguales

donde

• Para el caso de 

i

desconocidos y distintos no hay

solución exacta.

Región crítica C se modifica

   

2

1 1

1 2

2

2 2

2

1 1

 

  



n n

n S n S

S

P

2

2

2

1

2

1

0

1 2

n

S

n

S

X Y

t

n n







1 2

1 1 2 2

w w

wt w t

t







'

1

2

1

1

n

S

w 

2

2

2

2

n

S

w 

( 1 )

1 1 2 1

 



t t n



( 1 )

2 1 2 2

 



t t n



Solución

Solución

 = P

Ho

( C )

= P

Ho

( 3 , 4 ) = 2/6 = 1/

 = P

H

( C

C

)

= P

H

( 1 , 2 , 5 , 6 ) = 1 - 2/5 = 3/



C

() = P



(C) = 1 -  = 2/

Resumen Resumen

Hipótesis Estadística de Prueba

1 2 1 2

   v / s   

2

2

2

1

con   

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

 



  

n n

P

t

n n

n n

S

X X  

2

2

2

1

2

2

2

1

   v / s   

0 1

p  p v / s p  p

 1 1  2

2

2

1

1 2

n  n 

F

S

S

,

desconocid as

1 2 1 2

   v / s   

2

2

2

1

con   

2

2

2

2

1

2

1

1 2

1 2

1 2

 



  

n n

P

t

n

S

n

S

S

X X  

desconocid as

1

0 0

0

N ,

np p

X np





Problema

Problema

Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta

química. Antes y después de su instalación una m.a.

respectiva arrojó la siguiente información del porcentaje

de impurezas:

Antes Después

¿ El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de

impurezas significativamente?

8

10117

125

1

2

1

1







n

S

y

,

,

9

94 73

10 2

2

2

2

2







n

S

y

,

,

Nivel de significancia =0,05 t

0,975(15)gl

= 2,

Región crítica C = ] - ; -2,131 ]  [ 2,131 ;  [

t

0

 C

C

 Se acepta H

0

Es decir, el dispositivo nuevo no reduce

significativamente el porcentaje de impurezas.

Región crítica C = ] 0 ; 0,204 ]  [ 4,53 ;  [

F

0

 C

C

 Se acepta H

0

: 

1

2

= 

2

2

0 1 2 1 1 2

H :    v / s H :   

:

0

Bajo H

 1 1  2

2

2

1

0

1 2

1068

94 73

101 17

 

  

n n

F

S

S

F

,

,

,

,

  0 , 05 0 204

0 025 78

,

, ( , )

F  4 53

0 975 7 8

,

, ( , )

F 