Tipos de estimaciones , Apuntes de Estadística

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E STIMACIÓN

Estimación

• La inteligencia y la crueldad Contenidos
• Estimación Puntual
• Estimación por intervalos
  • Ejemplo: ¿quién es el más listo?
  • ¿Cómo se hace la estimación por intervalos?
  • Intervalo de confianza rápido: - Nota final
    • intervalos para proporciones
      • El tamaño muestral
      • ¿Y cuándo el tamaño de muestra es pequeño?
    • Sobre inteligencia y crueldad
    • Intervalos de confianza en el SPSS

Estimación Estimación Puntual

ESTIMACIÓN PUNTUAL

• Estimación puntual se refiere a calcular la cantidad en la muestra que mejor estima la

cantidad que nos interesa en la población.

• El proceso para llegar a los mejores estimadores puede ser un poco complicado cuando se trata

de cosas complejas pero para los problemas más comunes las respuestas ya son conocidas.

Para la media de la población se usa la media de la muestra

Para la desviación típica de la población se usa la cuasidesviación típica (la que se obtiene

dividiendo por n-1 en lugar de n)

Para la proporción en la población, la proporción en la muestra

• Se utilizan esos estimadores porque cumplen una serie de propiedades (son insesgados,

eficientes, consistentes, etc.)

• Lo más importante que hay que recordar de los valores calculados es que no estamos

seguros de que el valor calculado en una muestra sea el verdadero valor de la población

sino que es una aproximación.

• A continuación veremos algunas cosas sobre esa aproximación

Estimación Estimación por intervalos

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

• La estimación por intervalos es necesaria porque cuando queremos saber el valor de algo

en una población (una media o proporción generalmente) necesitamos hacerlo mediante

una muestra

• Una muestra sólo nos permite aproximarnos al valor de la población
• Esa aproximación viene en la forma de “más o menos” el valor de la población estará dentro de

este intervalo

• A continuación veremos un ejemplo y la forma de calcular esos límites del intervalo

Estimación Estimación por intervalos/¿Cómo se hace la estimación por intervalos?

¿Cómo se hace la estimación por intervalos?

• Como vimos en la sección anterior y como vemos en la tabla del informe PISA, una

estimación como la media está afectada por un error

• Recordar que en la sección anterior vimos que el error se calculaba a partir de la desviación típica

en la muestra y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. En la tabla del informe PISA, no

obstante, el valor ya está calculado.

• Puesto que la media está afectada por error, tenemos que pensar que el valor calculado es “más

o menos” y que tenemos que calcular ese más y ese menos

• Una forma (incorrecta) de calcular ese más y menos es sumar y restar a la media de la

muestra el error típico. Por ejemplo, en España eso sería:

• Haciendo esto vemos que la media de la población de estudiantes en España podría ser tanto un

poco más como un poco menos de 485 pero ¿qué confianza tenemos de que esté entre esos dos

valores?

La respuesta la tenemos en la sección anterior. Como vimos, la distribución muestral de la media

seguía la distribución normal por lo que podemos utilizar sus propiedades para calcular el

porcentaje de muestras que estarían en un intervalo de ese tamaño

485  2 4 =  482 6 ; 487 4 

Estimación Estimación por intervalos/¿Cómo se hace la estimación por intervalos?

• La respuesta es (mirando en las tablas de la distribución normal) que un 68% de las medias

estarían dentro de un intervalo de una desviación típica arriba y otra abajo

Así, podemos decir que tenemos una confianza del 68% de que la media de los estudiantes de

España en el informe PISA en matemáticas en el año 2003 está dentro del intervalo (482,6;

487,4)

• ¿Es el 60% de confianza suficiente confianza?

Existe un consenso que un 68%no es suficiente y que debemos hacer intervalos más grandes que nos den una

confianza del 95% o el 99% de que la media de la población está dentro de él

Esto se consigue multiplicando por 1,96 el error típico para conseguir intervalos de confianza del 95% o por

2,575 para conseguir intervalos de confianza del 99%

• ¿De dónde salen esos dos números (1,96 y 2,575)? Obviamente, de la distribución normal

485  1.96  2.4 480

·

=   29 489;  74 

485  2.575  2.4 =  478 82 491 ;  18 

Estimación Estimación por intervalos/Intervalo de confianza rápido:/¿Quién es el más listo ahora?

Contenidos 58

¿Quién es el más listo ahora?

•Usando los intervalos de confianza

anteriores vemos que las posiciones de los

países pueden matizarse bastante

-Para comparar dos países hay que tener en

cuenta quelas medias de sus poblaciones están

dentro de un intervalo

Por ejemplo, ¿está Polonia por encima de España?

Mirando la puntuación directa sí pero si calculamos

el intervalo al 95% de Polonia tenemos...

Y si comparamos el valor más bajo de Polonia con el

más alto de España vemos que los intervalos se

solapan y que es posible que el valor en la población

de España podría ser mayor que el de Polonia si

queremos una confianza del 95%

De hecho, los símbolos ^ y su opuesto indican qué

países están realmente por encima de España, cuáles

en el mismo grupo y cuáles por debajo.

La competencia matemática es la aptitud de un individuo para identificar y comprender el papel que

desempeñan las matemáticas en el mundo, alcanzar razonamientos bien fundados y utilizar y participar en las

matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.

Rendimiento medio en matemáticas

• Los alumnos españoles de 15 años muestran un rendimiento en matemáticas 15 puntos por debajo del promedio de la OCDE, fijado en 500 puntos. Esta diferencia es estadísticamente significativa. El

rendimiento de los alumnos de Castilla y León y del País Vasco es significativamente superior al del conjunto de España.

Media E.T. S. Media E.T. S. 1 Hong Kong-China* 550 (4,5) ^ 21 Eslovaquia 498 (3,3) - 2 Finlandia 544 (1,9) ^ 22 Noruega 495 (2,4) - 3 Corea 542 (3,2) ^ Cataluña 494 (4,7) - 4 Holanda 538 (3,1) ^ 23 Luxemburgo 493 (1,0) - 5 Liechtenstein* 536 (4,1) ^ 24 Polonia 490 (2,5) - 6 Japón 534 (4,0) ^ 25 Hungría 490 (2,8) - 7 Canadá 532 (1,8) ^ 26 España 485 (2,4) - 8 Bélgica 529 (2,3) ^ 27 Letonia* 483 (3,7) - 9 Macao-China* 527 (2,9) ^ 28 Estados Unidos 483 (2,9) - 10 Suiza 527 (3,4) ^ 29 Rusia* 468 (4,2) v 11 Australia 524 (2,1) ^ 30 Portugal 466 (3,4) v 12 Nueva Zelanda 523 (2,3) ^ 31 Italia 466 (3,1) v 13 República Checa 516 (3,5) ^ 32 Grecia 445 (3,9) v 14 Islandia 515 (1,4) ^ 33 Serbia* 437 (3,8) v 15 Dinamarca 514 (2,7) ^ 34 Turquía 423 (6,7) v 16 Francia 511 (2,5) ^ 35 Uruguay* 422 (3,3) v 17 Suecia 509 (2,6) ^ 36 Tailandia* 417 (3,0) v 18 Austria 506 (3,3) ^ 37 México 385 (3,6) v Castilla y León 503 (4,0) ^ 38 Indonesia* 360 (3,9) v 19 Alemania 503 (3,3) ^ 39 Túnez* 359 (2,5) v 20 Irlanda 503 (2,4) ^ 40 Brasil* 356 (4,8) v País Vasco 502 (2,8) ^ Promedio OCDE 500 (0,6) E.T. Error típico S. Significatividad de la diferencia con España ^ más alta v más baja Los países con asterisco no son miembros de la OCDE

Resultados

Estimación Estimación por intervalos/Nota final

Nota final

• El intervalo calculado anteriormente utiliza 1.96 para calcular un intervalo de confianza del

95% porque asume que el tamaño de muestra en cada país o comunidad es superior a 100

• Para tamaños de muestra más pequeños hay que usar otros valores tomados de la

distribución t. Como un ejemplo aquí tenéis algunos valores

• gl significa grados de libertad, la regla general es un poco difícil de explicar pero en este caso se

utiliza n-

• Se puede ver que a partir de un tamaño de muestra de 20 para 95% de confianza y de 50 para

99% de confianza la diferencia está en el segundo decimal, lo cual no tiene importancia práctica

(se puede utilizar 1,96 o 2 para una confianza del 95% como aproximación rápida si no tenéis el

ordenador cerca)

gl 95% 99%

Estimación intervalos para proporciones/El tamaño muestral

El tamaño muestral

• Un problema que se plantea a menudo es calcular el tamaño de la muestra para tener un

error muestral de cierto tamaño

• Eso es fundamental para plantear el presupuesto de un trabajo y saber a cuántos hay que

entrevistar o cuantos datos hay que recoger

• El error muestral es el error típico multiplicado por el valor de z para el nivel de confianza

deseado (en la práctica 1,96 o redondeando 2)

• No confundir el error muestral con el error típico
• Generalmente en las encuestas se informa del error muestral

Estimación intervalos para proporciones/El tamaño muestral

• Si jugáis un poco con los números veréis que el error típico máximo es precisamente

cuando los porcentajes son 50%-50%. Por eso, cuando se planea una encuesta o estudio

en el que se va a calcular la proporción y se quiere calcular el tamaño de la muestra se hace

el cálculo con ese porcentaje.

• Si se quiere un intervalo que tuviera un tamaño de haríamos:

En proporción, 2,5% es 0,025, esto es el error muestral

El 0,025 lo dividimos por 1,96 para obtener el error típico que queremos (redondeando el

resultado es 0,0125)

Ahora hacemos:

Despejando n tenemos:

 2 5

0 50 0 50

n

------------------------------ = 0 0125

n

0 5 0 5

 0 0125 

2

= -------------------------^ = 1600

Estimación Sobre inteligencia y crueldad

SOBRE INTELIGENCIA Y CRUELDAD

• Hemos empezado el tema con un ejemplo acerca de la inteligencia.
  • Si usamos el SPSS podemos calcular el intervalo de confianza de la inteligencia de los que

aparecían en la tabla. Los resultados se muestran abajo:

• Parece bastante claro que este grupo de sujetos tenían una inteligencia promedio superior a 100

Descriptivos

Estadístico Error estándar

IQ Media 128.0000 1.

95% de intervalo de

confianza para la media

Límite inferior 123.

Límite superior 132.

Media recortada al 5% 128.

Mediana 129.

Varianza 79.

Desviación estándar 8.

Mínimo 106.

Máximo 143.

Rango 37.

Rango intercuartil 10.

Asimetría -.594.

Curtosis .749.

Estimación Sobre inteligencia y crueldad

• ¿Qué significa eso?
  • ¿Todos los nazis eran inteligentes?
  • ¿Los nazis con poder eran inteligentes?
  • ¿El grupo de nazis juzgados era inteligente?

Las afirmaciones anteriores van desde algo más general a algo más particular, es importante reflexionar hasta

qué punto nuestras conclusiones pueden generalizarse o no, y qué hace falta para ello

• ¿Todos los nazis eran inteligentes?: No parece posible hacer esa generalización, la muestra de los

juzgados en Nuremberg es muy específica ya que todos ellos eran personas que ocuparon

cargos de importancia

• ¿Los nazis con poder eran inteligentes? Si consideramos la muestra de los juzgados como

representativa de los nazis con poder y pensamos que hay una “población” de nazis con esas

características entonces podemos calcular intervalos de confianza tal y como hemos hecho. En

ese caso, el intervalo de confianza nos indica los márgenes dentro de los cuales estará el valor

medio de la inteligencia de esa “población” de nazis con poder

• ¿El grupo de nazis juzgados era inteligente? Si nuestro interés no es generalizar o preguntarnos

acerca de una “población”, entonces calcular intervalos de confianza no es necesario, la media

de la inteligencia de esos nazis es la que es.

Estimación Intervalos de confianza en el SPSS

• El resultado se muestra abajo. Es una tabla que incluye cosas que no usamos pero el intervalo de

confianza está en segundo lugar. La edad de los encuestados está alrededor de los 45.

Descriptivos

Estadístico Error estándar

Edad del encuestado Media 45.63.

95% de intervalo de

confianza para la media

Límite inferior 44.

Límite superior 46.

Media recortada al 5% 44.

Mediana 41.

Varianza 317.

Desviación estándar 17.

Mínimo 18

Máximo 89

Rango 71

Rango intercuartil 28

Asimetría .524.

Curtosis -.786.

Estimación Intervalos de confianza en el SPSS

• Este análisis es más interesante si usamos la opción de añadir un factor