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Tipos de movimientos
Movimiento rectil´ıneo y uniforme
x(t) = At + B v(t) = A a(t) = 0 (1)
Movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado
x(t) =
ao 2
t^2 + At + B v(t) = aot + A a(t) = ao (2)
Movimiento circular uniforme
~r(t) = ro cos(ωt + αo)ˆı + ro sin(ωt + αo)ˆ (3)
donde ro es el radio del movimiento y ω es la velocidad angular que en este movimiento es una constante.
~v(t) = −roω sin(ωt + αo)ˆı + roω cos(ωt + αo)ˆ (4)
pudiendo comprovar que
|~v| =
√ ~v(t) · ~v(t) = roω (5)
~a(t) = −roω^2 cos(ωt + αo)ˆı − roω^2 sin(ωt + αo)ˆ = −ω^2 ~r(t) = −
|~v|^2 r o^2
~r(t) = −(v/ro)^2 ~r(t) (6)
y podemos calcular el m´odulo de la aceleraci´on y obtener.
a = |~a| = −
|~v|^2 r^2 o
|~r(t)| =
v^2 ro
= roω^2 (7)
con
at = ~a ·
~v |~v|
y la aceleraci´on solo tiene componente normal, siendo esta igual a la aceleraci´on total. Notar que, que en este movimiento ~r(t) · ~v(t) = 0 y tambi´en ~v(t) · ~a(t) = 0. En un movimiento circular medido desde el centro del circulo la posici´on siempre es perpendicular a la velocidad. Recordar que la velocidad es un vector tangente a la trayectoria, y la tangente a un circulo siempre es perpendicular a la posici´on, si esta se toma desde el centro. En cambio la segunda igualdad ~v(t) · ~a(t) = 0 no se cumple en todo movimiento circular, solo en este caso, pues la aceleraci´on es aqu´ı un vector paralelo a la posici´on en todo momento.
Movimiento circular uniformemente acelerado
~r(t) = ro cos(
γ 2
t^2 + ωot + αo)ˆı + ro sin(
γ 2
t^2 + ωot + αo)ˆ (9)
donde ro es el radio del movimiento y ω(t) = γt + ωo es la velocidad angular que en este movimiento no es constante.
~v(t) = −ro(γt + ωo) sin(
γ 2
t^2 + ωot + αo)ˆı + ro(γt + ωo) cos(
γ 2
t^2 + ωot + αo)ˆ (10)
teniendo que el m´odulo de la velocidad es
|~v| =
√ ~v(t) · ~v(t) = ro(γt + ωo) = roω(t) (11)
~a(t) = −ro[γ sin(
γ 2
t^2 + ωot + αo) + (γt + ωo)^2 cos(
γ 2
t^2 + ωot + αo)]ˆı (12)
+ro[γ cos(
γ 2
t^2 + ωot + αo) − (γt + ωo)^2 sin(
γ 2
t^2 + ωot + αo)]ˆ (13)
que se puede escribir como
~a(t) = −(γt + ωo)^2 ~r(t) +
γ γt + ωo
~v(t) (14)
teniendo
|~a(t)|^2 = a(t)^2 = r^2 o (γt + ωo)^4 + r^2 o γ^2 (15) Las componentes tangencial y normal son las siguientes. Primero la tangencial
at = ~a ·
~v |~v|
= roγ (16)
donde en el ´ultimo paso se ha necesitado un poco de algebra y hemos usado que para este movimiento ~r · ~v = 0. Y por ´ultimo podemos encontrar la aceleraci´on normal
an =
√ a^2 − a^2 t =
√ (γt + ωo)^4 r^2 o + r^2 o γ^2 − r^2 o γ^2 = (γt + ωo)^2 ro (17) Pod´eis comprovar que haciendo el c´alculo siguiente se obtiene lo mismo
an =
|~a × ~v| |~v|
= (γt + ωo)^2 ro (18)
Y por ´ultimo, una aclaraci´on de nomenclatura, como hemos dicho mucha gente llama γt + ωo como ω(t). ω(t) es la velocidad angular que en este caso crece linealmente con el tiempo, y en le movimiento circular uniforme es simplemente una constante. Utilizando esta nomenclatura queda que an = ω^2 ro. Notar que es la misma ecuaci´on que en el movimiento circular uniforme, pero hay que darse cuenta que aqu´ı ω no es una constante, es una funci´on del tiempo ω(t) = γt + ωo. Ir con cuidado y no confundiros por la notaci´on.
en m^2 /s^3. Ahora ya podemos calcular el vector aceleraci´on tangencial
~at =
~a · ~v |~v|^2
~v = −(120/180)(6, 0 , 12) = (− 4 , 0 , −8) (25)
cuyo m´odulo es |~at| =
42 + 8^2 = 8.94 m/s^2. Calculemos ahora el vector aceleraci´on normal. Primero tenemos que calcular un par de productos vectoriales
~a × ~v = (0, 0 , −10) × (6, 0 , 12) = − 10 ˆk × (6ˆı + 12ˆk) = −60(kˆ × ˆı) − 120(ˆk × ˆk) = (0, − 60 , 0) (26)
con las unidades correspondientes. Aqu´ı hemos utilizado las reglas del producto vectorial kˆ × ˆk = 0 y ˆk × ˆı = ˆ. Ahora tenemos que hacer el producto vectorial de la velocidad con este vector recordar que el producto vectorial no es conmutativo, as´ı pues el orden importa a la hora de tener en cuenta los signos. Tenemos
(~v × (~a × ~v)) = (6, 0 , 12) × (0, − 60 , 0) = (6ˆı + 12ˆk) × (−60ˆ) = − 360 ˆk + 720ˆı = (720, 0 , −360)(27)
con unidades de velocidad al cuadrado por aceleraci´on y donde, recuerdo, ˆı × ˆ = ˆk, ˆk × ˆ = −ˆı. Y juntando los trozos tenemos
~an =
|~v|^2
(~v × (~a × ~v)) =
en m/s^2. Cuyo modulo es 4.47 m/s^2. As´ı pues tenemos que
~a = (0, 0 , −10) = (− 4 , 0 , −8) + (4, 0 , −2) (29)
El primer t´ermino de la suma ´es el vector aceleraci´on tangencial y el segundo el vector aceleraci´on normal. Sus m´odulos respectivos nos dan el m´odulo de la aceleraci´on tangencial y normal respecti- vamente. Notar que el primero es paralelo al vector velocidad y el segundo, en cambio es ortogonal. Esto ´ultimo lo pod´eis comprovar multiplicando escalarmente el vector velocidad con el vector acel- eraci´on normal (4, 0 , −2) · (6, 0 , 12) = 0 Recordar que los m´odulos no suman, suman los vectores, por tanto al suma de los m´odulos normal y tangencial no es igual al m´odulo de la aceleraci´on. En un problema es mejor y mucho m´as f´acil y directo hacer lo siguiente para encontrar las com- ponentes intr´ınsecas de la aceleraci´on. Calcular primero el vector tangencial igual que hemos hecho hasta aqu´ı, en nuestro caso (− 4 , 0 , −8), y entonces utilizar
~a = ~at + ~an ⇒ ~an = ~a − ~at = (0, 0 , −10) − (− 4 , 0 − 8) = (4, 0 , −2) (30) Es mucho m´as directo, pero si lo hacemos as´ı, no hubieseis practicado tanto producto vectorial. Y acabamos con una ´ultima definci´on, la del radio de curvatura de una trayect´oria definido como
R =
|~v|^2 |~an|
por si acaso lo preguntan.
