topologia pdf, Apuntes de Física

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Un curso de Topolog´ıa

Demetrio Stojanoff

August 7, 2009

´Indice

• I Topolog´ıa General
• 1 Teor´ıa de conjuntos.
  • 1.1 Generalidades
  • 1.2 Relaciones: funciones y equivalencias
  • 1.3 Funciones
  • 1.4 Ordenes, principios, lemas y axiomas
  • 1.5 Cardinales
  • 1.6 Conjuntos Numerables
• 2 Espacios topol´ogicos
  • 2.1 Definiciones b´asicas
  • 2.2 Cerrados, l´ımites y clausuras
  • 2.3 Bases y sub-bases
    • 2.3.1 Topolog´ıa inducida
  • 2.4 Clases de ET’s
    • 2.4.1 Numerabilidad
    • 2.4.2 Separaci´on
    • 2.4.3 Herencias
  • 2.5 Continuidad b´asica
  • 2.6 Ejercicios
• 3 Conexos
  • 3.1 Definiciones y caracterizaciones
  • 3.2 Arcoconexos
  • 3.3 Componentes
  • 3.4 Espacios localmente conexos
  • 3.5 Ejercicios
• 4 Redes, filtros y convergencia
  • 4.1 Redes y subredes
  • 4.2 Convergencia
  • 4.3 Sucesiones en espacios N
  • 4.4 EM’s completos
  • 4.5 Filtros versus Redes
  • 4.6 Ejercicios
• 5 Funciones continuas
  • 5.1 Continuidad b´asica bis
  • 5.2 M´etricas y topolog´ıas
  • 5.3 Productos y cocientes
    • 5.3.1 Topolog´ıa inicial
    • 5.3.2 Topolog´ıa producto
    • 5.3.3 Topolog´ıa final
    • 5.3.4 Cocientes
  • 5.4 M´etricas uniformes en C(X, Y ), con Y un EM
  • 5.5 Existencia de muchas funciones continuas
    • 5.5.1 Lema de Urysohn
    • 5.5.2 Teorema de Tietze
    • 5.5.3 Embbedings
    • 5.5.4 Metrizaci´on de Urysohn
  • 5.6 Ejercicios
• 6 Compactos
  • 6.1 Definiciones y caracterizaciones
  • 6.2 Primeras propiedades de los compactos
  • 6.3 El Teorema de Tychonoff
  • 6.4 Compactos en EM’s
    • 6.4.1 EM’s generales
    • 6.4.2 Continuidad uniforme
    • 6.4.3 Dentro de Rn
  • 6.5 Compactificaciones
    • 6.5.1 Alexandrov: Un punto
    • 6.5.2 Stone Cechˇ
  • 6.6 Ejercicios
• 7 Compacidad local
  • 7.1 Espacios localmente compactos
  • 7.2 Teoremas de Baire
  • 7.3 Convergencia compacto abierta
  • 7.4 Particiones de la unidad
  • 7.5 Paracompactos
  • 7.6 Arzela Ascoli´
  • 7.7 Ejercicios
• 8 Algunos ejemplos
  • 8.1 Primeros ejemplos
  • 8.2 Rs y la m´aquina de hacer contraejemplos
• II Teor´ıas m´as espec´ıficas
• 9 Grupos topol´ogicos
  • 9.1 Definiciones y ejemplos
  • 9.2 Propiedades b´asicas
  • 9.3 Subgrupos y cocientes
  • 9.4 Grupos LKH abelianos
    • 9.4.1 El grupo dual
    • 9.4.2 Los tres ejemplos m´as famosos
    • 9.4.3 Algunas cosas m´as
    • 9.4.4 Compactaci´on de Bohr
  • 9.5 Ejercicios
• 10 Espacios vectoriales
  • 10.1 EVT’s
  • 10.2 Espacios localmente convexos.
    • Existencia de muchas funcionales continuas 10.3 Hahn Banach:
  • 10.4 Krein-Milman
  • 10.5 Topolog´ıas d´ebiles en espacios normados y ELC’s
  • 10.6 Alaoglu
  • 10.7 Una caracterizaci´on de la reflexividad
• 11 Homotop´ıa
  • 11.1 Homotop´ıa de curvas
  • 11.2 El grupo fundamental
  • 11.3 Revestimientos
  • 11.4 Levantes
  • 11.5 Productos
  • 11.6 Retractos por deformaci´on
  • 11.7 Equivalencias homot´opicas
  • 11.8 El teorema de Seifert-van Kampen, versi´on
  • 11.9 El teorema de Seifert-van Kampen tutti
    • 11.9.1 Productos libres de grupos
    • 11.9.2 El teorema de Seifert-van Kampen

Parte I

Topolog´ıa General

Notaciones b´asicas

Para no aburrir, no enumeraremos las definiciones de los s´ımbolos m´as usuales de la teor´ıa. A continuaci´on va una lista, donde solo definimos si sale bien cortito:

• A ⊆ B si todo x ∈ A cumple que x ∈ B. Se pone A ⊆ B si uno sabe que A 6 = B.
• A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
• A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
• A \ B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.
• A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (la diferencia sim´etrica).
• {A} = {x : x = A} es el “singuelete” cuyo ´unico elemento es A. En forma similar, {A, B} es el “doblete” y se sigue con las definiciones “por extensi´on”.
• A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}. Esto es el producto cartesiano de A y B. Los pares ordenados (x, y) se pueden definir ad hoc, a partir de singueletes y dobletes. Pero no entraremos en detalles.
• P(A) = {B : B ⊆ A} es llamado partes de A. Si A es conjunto, entonces P(A) es un conjunto, y todo B ⊆ A es conjunto, por lo que B ∈ P(A). Observar que A se puede modelar dentro de P(A) como los singueletes de elementos de A.
• Denotaremos P 0 (A) = {B ∈ P(A) : B 6 = ∅} al conjunto de partes no vacias de A.

En topolog´ıa se necesitan usar las uniones e intersecciones de a muchos. Esto hay dos maneras usuales de escribirlo. Una de ellas es definir ⋃ A = { y : y ∈ X para alg´un X ∈ A} ,

lo que vendr´ıa a representar la uni´on de todos los elementos de A. En otras palabras, uno forma la clase A de todos los conjuntos que quiere unir, y denota tal uni´on como

A.

An´alogamente se define

A.

La otra notaci´on, que es la m´as usual, necesita el concepto de familias de conjuntos: Dada una clase I, una familia de conjuntos {Ai}i∈I es lo que uno se imagina. Su definici´on se puede formalizar usando funciones, sobre todo en el caso en que todos los Ai vivan dentro de un ambiente X, v´ıa tomar una f : I → P(X) y definir Ai = f (i). Ah´ı uno puede considerar ⋃

i∈I

Ai = {x : x ∈ Ai para alg´un i ∈ I} y , an´alogamente ,

i∈I

Ai.

Si bien todo el mundo son conjuntos o clases, para no generar mucha confusi´on en los niveles en los que uno labura, en genral usaremos letras may´usculas (tipo A, B, X, Y ) para los conjuntos en un nivel fijo; letras min´usculas para sus elementos (onda a ∈ A, o x ∈ X \ Y ) y letras griegas o may´usculas it´alicas para clases formadas por algunos de nuestros conjuntos medios (por ejemplo, la clase C = {A : les pasa algo } o τ = {A ⊆ X : A es abierto }).

Ejercicio 1.1.1. Verificar las siguiente propiedades algebr´aicas de las operaciones de con- juntos: Sean {Ai}i∈ I y {Bj }j∈J dos familias de conjuntos, y sea X otro conjunto.

1. (De Morgan) X \

i∈ I

Ai =

i∈ I

X \ Ai y X \

j∈J

Bj =

j∈J

X \ Bj.

2. X ∩

i∈ I

Ai =

i∈ I

X ∩ Ai y X ∪

j∈J

Bj =

j∈J

X ∪ Bj.

3. Dados conjuntos A y B, se tiene que

A ∪ B = B ⇐⇒ A ⊆ B ⇐⇒ A ∩ B = A. N

1.2 Relaciones: funciones y equivalencias

Estas cosas ya se vieron muchas veces, pero las repasamos r´apidamente para fijar notaciones.

Definici´on 1.2.1. Sean A y B dos clases.

1. Una relaci´on entre A y B es una clase R ⊆ A × B. A veces se abrevia xRy para decir que (x, y) ∈ R.
2. Si A = B, un tal R se llamar´a una relaci´on en A.
3. Una relaci´on R ⊆ A × B es una funci´on si cumple que

(a) Para todo x ∈ A existe un y ∈ B tal que (x, y) ∈ R. (b) El tal y es ´unico: si (x, y) ∈ R y tambi´en (x, z) ∈ R, entonces y = z.

La notaci´on usual en tal caso es poner que la funci´on es una f : A → B dada por f (x) = y, donde el par (x, y) ∈ R. Observar que la relaci´on R que define a f es lo que usualmente se conoce como el gr´afico de f. En efecto, R = {(x, f (x) ) : x ∈ A}. Otra notaci´on usual es

BA^ = {R ⊆ A × B : R es funci´on } = { todas las funciones f : A → B }.

4. La relaci´on R en A es un orden si cumple que

(a) R es reflexiva: La diagonal ∆A = { (x, x) : x ∈ A} ⊆ R. O sea que todo xRx. (b) R es antisim´etrica: si xRy y tambi´en yRx, entonces x = y. (c) R es transitiva: xRy y tambi´en yRz, entonces xRz.

Cuando R es un orden, se la suele reescribir como ≤ , o versiones similares.

5. Una R ⊆ A × A es relaci´on de equivalencia si es reflexiva, sim´etrica (o sea que xRy =⇒ yRx) y transitiva.

1.3.2. Axioma de elecci´on: (Se abrevia AdE) Sea A 6 = ∅. Entonces existe una funci´on

e : P 0 (A) → A tal que e(B) ∈ B para todo B ∈ P 0 (A).

En otras palabras, que se puede elegir simult´aneamente un elemento e(B) de cada uno de los los subconjuntos no vac´ıos B ⊆ A. Observar que elegir de a uno (o de a finitos) no necesita ning´un axioma. La gracia es poder hacerlo de un saque para todos los subconjuntos al mismo tiempo. A tales funcioines e se las llama funciones de elecci´on para A. N

Volviendo a lo anterior, si uno tiene una funci´on g : B → A, entonces

g es sobre ⇐⇒ g−^1 ({x}) 6 = ∅ para todo x ∈ A.

Por lo tanto si existe una g sobre, podemos definir f : A → B por la f´ormula

f (x) = e

g−^1 ({x})

para cada x ∈ A ,

donde e es una funci´on de elecci´on para A. Es claro por su construcci´on que g ◦ f (x) = x para todo x ∈ A (en particular que f es inyectiva). Pero para probar esto se necesita usar el AdE, para encontrar elementos de todas las contraim´agenes a la vez (aun sabienedo que todas ellas son no vac´ıas).

1.3.3. Productos de a muchos: Sea I un conjunto de ´ındices, y tomemos una famila {Xα}α∈ A de conjuntos. Definimos su producto cartesiano como el conjunto ∏

α∈ A

Xα =

f : A →

α∈ A

Xα : f es una funci´on, y xα = f (α) ∈ Xα , ∀ α ∈ A

Como es usual, en vez la notaci´on de funciones, se usar´a la de A-uplas: Se identifica a un elemento f ∈

α∈ A

Xα con {xα}α∈ A = {f (α)}α∈ A. Usted podr´ıa decirme que esta definici´on

incluye la de A × B (necesaria para poder hablar de funciones) que ya hab´ıamos hecho, y de otra forma. La respuesta es: Y si, que le vamos a hacer. Ahora la cambiamos.

Objetos usuales asociados a los productos son las proyecciones πβ :

α∈ A

Xα → Xβ dadas por

πβ ({xα}α∈ A) = xβ o bien πβ (f ) = f (β) , para f = {xα}α∈ A ∈

α∈ A

Xα y β ∈ A.

Con respecto a estos productos, usaremos sistem´aticamente un suave abuso de notaci´on: Si para cada α ∈ A tenemos sendos subconjuntos Yα ⊆ Xα , asumiremos que ∏

α∈ A

Yα ⊆

α∈ A

Xα. (1.3)

El abuso consiste en que identificamos una

f : A →

α∈ A

Yα con la misma f : A →

α∈ A

Xα ,

siempre que sus valores caigan en el primer codominio. Con la notaci´on {xα}α∈ A la cosa parece m´as legal, y seguiremos esa idea para simplificar notaciones.

Un hecho interesante, que influye en la pol´emica de si aceptar o no al AdE, es que este axioma se puede reformular en t´erminos de productos cartesianos de la siguiente forma: Dada una familia de conjuntos {Xα}α∈ A , vale que

si Xα 6 = ∅ para todo α ∈ A =⇒

α∈ A

Xα 6 = ∅. (AdE 2)

En efecto, una implicaci´on es clara: para producir un elemento f ∈

α∈ A

Xα , basta tomar

f (α) = e(Xα), i ∈ I, donde e es una funci´on de elecci´on para el conjunto X =

α∈ A

Xα. Lo

interesante es que se puede probar el AdE general a partir de este nuevo AdE 2. Esto lo proponemos como ejercicio al lector puntilloso (es una sopa de letras, pero no tiene mucha dificlultad). Observar que el AdE 2 parece obvio, mientras que el AdE anterior parece m´as jugado. Y lo ´unico que cambia es la manera de denotar las cosas para enunciarlos. N

1.3.4. Equivalencias y particiones: Hay tres conceptos en teor´ıa de conjuntos que son escencialmente el mismo:

1. Dar una relaci´on de equivalencia ∼ en una clase X.
2. Dar una partici´on de X: Esto es una familia {Ci}i∈ I en P(X) tal que ⋃

i∈ I

Ci = X y Ci ∩ Cj = ∅ si i 6 = j.

A veces la notacion familiar trae problemas. Otra manera de decirlo es dar una clase C ⊆ P(X) con elementos disjuntos dos a dos, que cubren a X, o sea que

C = X.

3. Dar una funci´on suryectiva P : X → Y.

Dada ∼ , para cada a ∈ X definimos su clase de equivalencia como a = {x ∈ X : x ∼ a}. Estas forman una partici´on de X (si las contamos una sola vez a cada una de las clases, en tanto subconjuntos de X). Luego uno elige (tenemos el AdE) un sistema de represntantes A ⊆ X: i.e, todo x ∈ X es equivalente a un a ∈ A, pero dos elementos distintos de A no pueden ser equivalentes. Luego uno puede subindicar propiamente la partici´on de X que consiste en las clases de equivalencia {a}a∈A. Se define el espacio cociente

X/∼ = {a : a ∈ A} ⊆ P(X) , y la proyecci´on Q : X → X/∼ , dada por Q(x) = x ,

que es suryectiva. Y se tiene una funci´on al rev´es, g : X/∼ → A ⊆ X dada por g(a) = a, para cada a ∈ A. Ella cumple que Q ◦ g = IX/∼.

Si empezamos con una P : X → Y , se define que x 1 ∼ x 2 cuando P (x 1 ) = P (x 2 ), y nos queda una relaci´on de equivalencia. Adem´as existe un funci´on g : Y → X (inyectiva) tal que P ◦ g = IY. Definiendo A = g(Y ), tenemos un sistema de representantes para ∼, cuyas clases son a = P −^1 ({y}), para a = g(y), y ∈ Y. As´ı que X/∼ = {P −^1 ({y}) : y ∈ Y }, que se identifica naturalmente con el conjunto Y. M´odulo esa identificaci´on (o biyecci´on), recuperamos a P como la proyecci´on Q asociada a ∼. N

Definici´on 1.4.3. Un orden ≤ en un conjunto X se llama orden inductivo si se cumple lo siguiente: Dado un A ⊆ X tal que el orden ≤ restringido a A es total, entonces existe una CS de A en X. N

1.4.4. Lema de Zorn: (Se abrevia LdZ) Todo conjunto no vac´ıo e inductivamente ordenado tiene al menos un elemento maximal. N

Dec´ıamos que el AdE (enunciado por Zermelo en 1904), el PBO de Cantor y el Lema de Zorn (propuesto por Zorn en 1935, pero ya usado por Kuratowsky en 1922) son equivalentes entre s´ı. De hecho, Zermelo us´o su AdE para probar lo que Cantor hab´ıa enunciado mucho tiempo antes (o sea, el PBO). En otro momento haremos una prueba detallada de estas equivalencias. Mientras tanto, ver el libro de Pedersen [3]. En todo lo que sigue aceptaremos su validez, y los usaremos alegremente.

Hay muchas m´as versiones de este tipo de apuestas a como se comportan las cosas infinitas. No las mencionaremos aqui, porque no suelen usarse. Observar que el PBO permite hacer lo que suele llamarse “inducci´on transfinita”, que es hacer algo parecido a la inducci´on en conjuntos no numerables. Pero como dijimos antes, en la pr´actica se usa para ese tipo de pruebas del LdZ, y a veces uno abrevia diciendo “sale Zorneando” o “por Zorn”.

Veamos un ejemplo. Probaremos que todo espacio vectorial V 6 = { 0 } tiene una base. Para mostrarlo consideremos el conjunto C = {A ⊆ V : A es LI }, ordenado por inclusi´on. Luego (C, ⊆) es no vac´ıo e inductivamente ordenado. En efecto, dado un A ⊆ C totalmente ordenado, es f´acil ver que A =

A es LI (porque las combinaciones lineales deben ser finitas), por lo que A ∈ C y es claramente una CS para A. El LdZ dice entonces que hay elementos maximales en C, o sea familias LI maximales, que son bases.

Sin embargo, a´un en el caso numerable, faltar´ıa un enunciado espec´ıfico para justificar proce- sos “recursivos” infinitos, cosa que usaremos repetidamente en distintas pruebas de este texto (sugerimos detectarlas). Son de la siguiente pinta: para cada n ∈ N, podemos encontrar un conjunto An+1 que cumple algo, pero cuya construcci´on depende escencialmente de qui´en era el conjunto An que encontramos antes (por ejemplo, que cada An tenga n elementos, pero pidiendo que cada An ⊆ An+1 ⊆ X fijo). El tema es poder concluir que existe toda la sucesi´on {An}n∈N que cumple lo que quer´ıamos para cada n ∈ N.

Al respecto, digamos que cualquier formalizaci´on de estos m´etodos es muy pastosa y que, pedag´ogicamente, oscurece m´as que lo que aclara. Baste decir que este tipo argumentos son muy convincentes, y que se puede enunciar una formalizalizaci´on de los mismos que es tambi´en equivalente a los axiomas antes mencionados (sugerimos ver los excelentes Ap´endices del libro de Nagy [4]). As´ı que, en lo que sigue, aceptaremos ese tipo de argumentos sin mayor justificaci´on.

1.5 Cardinales

Diremos que dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal si existe una funci´on biyectiva f : A → B. Esto define una relaci´on de equivalencia en la clase U de todos los conjuntos.

Los n´umeros cardinales (o cardinales a secas) son las clases de equivalencia, que consisten en todos los conjuntos con una “cantidad de elementos” igual a ese cardinal. Denotaremos esto por Card (A) = #A = |A| = α, lo que significa que A es de la clase α.

Esto no est´a del todo bien (ni U ni las clases en cuesti´on son conjuntos). Pero la relaci´on est´a bien definida, esas clases son intuitivamente convincentes, y la notacion |A| = α es muy pr´actica. As´ı que seguimos por este camino.

Los cardinales finitos los denominamos con el n´umero de elementos. Para empezar, tenemos que |∅| = 0. Observar que si uno define los n ∈ N como 0 = ∅,

1 = {∅} = { 0 } , 2 = { 0 , 1 } = {∅ , {∅} } , ..... , n + 1 = n ∪ {n} = { 0 , 1 ,... , n} , ....

Entonces resulta que, en N, la relaci´on ≤ equivale a ∈. Y adem´as, cada n´umero n ∈ N es un representante de su clase cardinal. Por ello los elegimos como representantes (y nombres) de su clase. Ahora s´ı, diremos que un conjunto A es finito si existe alg´un n ∈ N tal que |A| = n, o sea que exista una funci´on a : n → A biyectiva, que realize a A = {a 0 ,... , an− 1 }. Si no hay tal cosa, diremos que A es infinito. Agreguemos dos nombres de cardinales infinitos:

|N| = ℵ 0 y |R| = c.

El orden entre cardinales de define como sigue: Diremos que |A| ≤ |B| si existe un C ⊆ B tal que |A| = |C|. Obviamente esto equivale a que exista una f : A → B que sea inyectiva y, por un resultado visto antes, a que exista una g : B → A que sea sobre. Es f´acil ver que esta relaci´on entre cardinales es reflexiva y transitiva. El famoso teorema de Cantor Bernstein dice que es, adem´as, antisim´etrica y por ende un orden entre los cardinales. El teorema se traduce a lo siguiente:

Teorema 1.5.1 (Cantor Bernstein). Dados conjuntos A y B, si existen sendas funciones inyectivas f : A → B y g : B → A, entonces existe una h : A → B biyectiva.

Demostraci´on. Ejercicio (Ver el libro de Kelley [1]). 

En realidad, tambi´en vale que este orden es total, porque puede probarse que dados dos conjuntos A y B, siempre existe una funci´on inyectiva f : A → B o una g : B → A. Esto es un lindo ejercicio de Zornificaci´on que proponemos a los lectores.

La gracia de esta teor´ıa, es que haya cardinales m´as infinitos que otros. Esto fue el resultado de Cantor que di´o inicio a la teor´ıa de conjuntos. El prob´o que ℵ 0 < c (o sea que no puede haber una f : N → R suryectiva). Su prueba (que sigui´o a una larga serie de pruebas err´oneas) usa lo que desde entonces es llamado el “argumento diagonal” de Cantor. Una abstracci´on de ese argumento da lugar al siguiente resultado m´as general:

Teorema 1.5.2 (Cantor). Sea A 6 = ∅. Entonces se tiene que

|A| < |P(A)|.

Demostraci´on. Observar que N es biyectable con 2N = { n´umeros pares } v´ıa la funci´on N 3 n 7 → f (n) = 2n ∈ 2 N. Es f´acil ver que esta propiedad se puede transladar a cualquier conjunto B con |B| = ℵ 0. Tomando ahora cualquier conjunto infinito A, por el Teo. 1.6. tenemos un tal B dentro de A. Luego definiendo una funci´on como la identidad en A \ B y como la biyecci´on anterior entre B y una mitad de B, obtenemos la biyecci´on de A con una parte propia que busc´abamos. Por otra parte, es claro que los conjuntos finitos no pueden tener esa propiedad. Una prueba formal podr´ıa hacerse por inducci´on, o m´as bien por buena ordenaci´on. Porque la ´unica parte propia de un singuelete es el vac´ıo. 

Enumeraremos ahora varias propiedades de los conjuntos numerables que se usar´an intensa- mente en el resto del texto:

1. Producto de numerables es numerable: Dados A y B numerables, entonces tambi´en se tiene que |A × B| ≤ ℵ 0.
2. Uni´on nuerable de numerables es numerable: Dada una sucesi´on {An}n∈N de conjuntos numerables, se tiene que

n∈N

An

3. Partes finitas de un numerable es numerable: Dado un conjunto A, definamos

PF (A) = {B ∈ P(A) : |B| < ∞}.

Si empezamos con un A numerable, entonces tambi´en

∣PF (A)

Las pruebas se basan en el hecho de que se puede construir una biyecci´on entre N y N × N. M´as f´acil a´un, dos inyecciones para ambos lados. Una es obvia. La otra puede ser

f : N × N → N dada por f (n, m) = 2n 3 m^.

Este resultado se translada para obtener 1. Y de ah´ı de deduce f´acilmente 2. En efecto, fijando sendas funciones sobre fn : N → An (que se pueden elegir todas de un saque por el AdE), tomamos la funci´on sobre

F : N × N →

n∈N

An dada por F (n, m) = fn(m).

Tambi´en se deduce de 1. (por inducci´on) que si A es numerable, entonces |An| ≤ ℵ 0 , para todo n ∈ N. Despu´es se puede ver que

∣ (^) {B ∈ P(A) : 0 < |B| ≤ n}

∣ (^) ≤ |An|. En efecto,

basta mandar cada n-upla (a 1 ,... , an) al conjunto B = {a 1 ,... , an}. Esa flecha da sobre. As´ı, 3. se deduce de 2.

Cap´ıtulo 2

Espacios topol´ogicos

Definir una topolog´ıa en un conjunto X es darle una familia τ ⊆ P(X) de subconjuntos abiertos. Este s´olo hecho ser´a suficiente para desarrollar gran parte del an´alisis b´asico en X, permitiendo definir nociones como

• Conjuntos cerrados.
• Clausuras, interior y borde de subconjuntos.
• Entornos de un punto.
• Convergencia (de redes, las sucesiones no alcanzan).
• Funcions continuas (que son las f lechas de la categor´ıa de espacios topol´ogicos).
• Compacidad, conexidad, etc.

Este tipo de objetos y propiedades son las llamadas propiedades topol´ogicas de (X, τ ). Esta teor´ıa es la abstracci´on m´axima de las propiedades b´asicas del an´alisis, y es tan general que se confunde con la misma teor´ıa de conjuntos. Hay topolog´ıa en todas las ramas de la matem´atica. Las convenciones, definiciones y resultados b´asicos de la topolog´ıa fueron desarrollados en las primeras d´ecadas del siglo XX, y fueron mejor´andose hasta los m´ınimos detalles hasta estos d´ıas. Por eso, hoy en d´ıa estan tan “decantados” que la mayor´ıa de las demostraciones son, o bien cuasi-triviales, o bien algo m´as complicadas pero ya no es posible mejorarlas o simplificarlas. Lo m´as importante de la teor´ıa es que desarrolla un lenguaje unificado que es com´un a todos los matem´aticos, y que resulta un abc de las herramientas de trabajo en todas las ramas de la matem´atica. El desconocimiento de este lenguaje (o m´as bien esta pauta de concepci´on de los objetos y sus propiedades) es lo que suele incomodar a los especialistas de otras ciencias al tener que encarar problemas matem´aticos, y sobre todo al tener que iteractuar con matem´aticos al respecto. Las definiciones, nombres y lineamientos de esta teor´ıa son fuertemente convencionales, en el sentido de que podr´ıan haberse hecho de muchas otras maneras. Pero la versi´on que

Observaci´on 2.1.3. Si (X, d) es un espacio m´etrico, es f´acil ver que el sistema de conjuntos τd = {A ⊆ X : A es d-abierto } es una topolog´ıa en X. Pensando al rev´es, si τ es una topolog´ıa para X, diremos que el espacio topol´ogico (X, τ ) es metrizable si existe alguna distancia d en X tal que τ = τd.

La mayor´ıa de los espacios topol´ogicos son metrizables. Sin embargo, hay dos razones impor- tantes para que las teor´ıas topol´ogica y m´etrica se desarrollen separadamente (o en paralelo). Por un lado, existen importantes ejemplos en la matem´atica de espacios topol´ogicos no metrizables (pocos pero buenos). Por otro lado, las dos teor´ıas hacen incapi´e en aspectos bien diferenciados entre s´ı, hasta el punto de que es usual hablar de propiedades topol´ogicas (como las enumeradas al principio del cap´ıtulo) y de propiedades m´etricas. Como ejem- plo de estas ´ultimas, podemos mencionar propiedades como “ser acotado”, ser “completo”, di´ametro, sucesiones de Cauchy, etc. Todas estas son puramente m´etricas y no tienen un correlato topol´ogico. N

A continuaci´on seguiremos introduciendo lenguaje topol´ogico:

Definici´on 2.1.4. Sea (X, τ ) un ET y fijemos un punto x ∈ X.

1. Diremos que un conjunto

A ⊆ X es un entorno de x si existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A.

A se llamar´a entorno abierto de x si se tiene que x ∈ A y el mismo A ∈ τ.

2. Denotaremos por O(x) = {A ⊆ X : A es entorno de x} al f iltro de entornos de x. Llamaremos Oa(x) = {A ⊆ O(x) : A es entorno abierto de x} = O(x)∩τ. Cuando haga falta especificar el espacio o la topolog´ıa en cuesti´on, escribiremos OX (x) o tambi´en Oτ (x). Lo mismo para Oa(x).
3. Dado un conjunto Y ⊆ X denotaremos por

Y ◦^ = {x ∈ Y : Y ∈ O(x)} = {x ∈ Y : Y es entorno de x} , (2.1)

al interior de Y. Los elementos x ∈ Y ◦^ se llamar´an puntos interiores de Y. N

Proposici´on 2.1.5. Sea (X, τ ) un ET y sean A, B ⊆ X. Entonces

1. A◦^ es abierto.
2. Si A ⊆ B, entonces A◦^ ⊆ B◦.
3. A es abierto si y s´olo si A = A◦, o sea si A es entorno de todos sus puntos.
4. (A◦)◦^ = A◦.
5. A◦^ es el mayor abierto contenido en A.
6. (A ∩ B)◦^ = A◦^ ∩ B◦^.

Demostraci´on. Sea x ∈ A◦, y sea U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A. Por la definici´on de ser entorno, vemos que todos los otros y ∈ U tambi´en cumplen que A ∈ O(y). Es decir que U ⊆ A◦. De ah´ı podemos deducir que

A◦^ =

{U ∈ τ : U ⊆ A}. (2.2)

Es claro que esta igualdad sirve para demostrar los primeros 5 items del enunciado. Como A◦^ ∩ B◦^ ⊆ A ∩ B y es abierto, el ´ıtem 5 asegura que A◦^ ∩ B◦^ ⊆ (A ∩ B)◦. La otra inclusi´on tambi´en se deduce de la Ec. (2.2). 

2.2 Cerrados, l´ımites y clausuras

Sea (X, τ ) un ET. Los subconjuntos cerrados de X ser´an los complementos de los conjuntos abiertos. Es decir, F ⊆ X es cerrado si y s´olo si X \ F ∈ τ. Usando la Def. 2.1.1 y las leyes de De Morgan (Ejer. 1.1.1), tenemos las siguientes propiedades:

• Intersecciones arbitrarias de cerrados son cerradas.
• Uniones finitas de cerrados son cerradas.
• ∅ y X son cerrados.

Usando estos hechos, podemos definir la noci´on de clausura de un subconjunto, que es la dual de la noci´on de interior (comparar con la Ec. (2.2) ):

Definici´on 2.2.1. Sea (X, τ ) un ET y sea A ⊆ X. El conjunto

A =

{F ⊆ X : F es cerrado y A ⊆ F } (2.3)

se denomina la clausura de A. Los elementos x ∈ A se llamar´an puntos l´ımite de A. N

Veamos ahora la versi´on dual de la Prop. 2.1.5, cuya prueba dejamos como ejercicio.

Proposici´on 2.2.2. Sea (X, τ ) un ET y sean A, B ⊆ X. Entonces

1. A es cerrado.

2. Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B

3. A es cerrado si y s´olo si A = A.

A

= A.

5. A es el menor cerrado que contiene a A.
6. A ∪ B = A ∪ B. 

La dualidad mencionada se manifiesta mejor en la siguiente f´ormula: