topologia texto, Apuntes de Matemáticas

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G. RUBIANO

Topolog´ıa general

[un primer curso]

G. RUBIANO

G. RUBIANO

vi, 284 p. : 3 il. 00 ISBN 978-958-719-442-

1. Topolog´ıa general Gustavo N. Rubiano O.

Topolog´ıa general, 3a. edici´on Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a Facultad de Ciencias, 2010

Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.

©c Edici´on en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´on Universidad Nacional de Colombia.

Diagramaci´on y dise˜no interior en LATEX: Gustavo Rubiano

Tercera edici´on, 2010

Impresi´on: Editorial UN Bogot´a, D. C. Colombia

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Contenido

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• 1. Conjuntos con topolog´ıa Pr´ologo IX
  • 1.1. Los reales —una inspiraci´on—
  • 1.2. Abiertos b´asicos (generaci´on de topolog´ıas)
  • 1.3. Vecindades
  • 1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio
• 2. Espacios m´etricos
  • 2.1. M´etrica
  • 2.2. Espacios unitarios o euclidianos
    • 2.2.1. Caracterizaci´on de los espacios euclidianos
  • 2.3. Topolog´ıa para una m´etrica
    • 2.3.1. M´etricas equivalentes
• 3. Bases y numerabilidad
  • 3.1. 2-contable
  • 3.2. 1-contable
• 4. Funciones —comunicaciones entre espacios—
  • 4.1. Funciones continuas
  • 4.2. La categor´ıa Top
  • 4.3. Propiedades heredables
• 5. Filtros, convergencia y continuidad vi CONTENIDO
  • 5.1. Filtros
    • 5.1.1. Base de filtro
  • 5.2. Ultrafiltros
  • 5.3. Sucesiones
• 6. Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–
  • 6.1. Homeomorfismos
  • 6.2. Invariantes topol´ogicos
• 7. Espacios de identificaci´on –cociente–
  • 7.1. Topolog´ıa cociente
    • 7.1.1. Descomposici´on can´onica por una funci´on
• 8. La topolog´ıa producto
  • 8.1. Definici´on sint´etica de producto entre conjuntos
  • 8.2. La topolog´ıa producto –caso finito–
  • 8.3. La topolog´ıa producto —caso infinito—
  • 8.4. Propiedades productivas
  • 8.5. La topolog´ıa producto —en los m´etricos—
  • 8.6. Continuidad para el producto
  • 8.7. Topolog´ıas al inicio y al final
    • 8.7.1. La topolog´ıa inicial
    • 8.7.2. La topolog´ıa final
• 9. Posici´on de un punto respecto a un conjunto
  • 9.1. Conjuntos cerrados y adherencia
    • 9.1.1. Operadores de clausura
    • 9.1.2. La adherencia es productiva
  • 9.2. Puntos de acumulaci´on
    • 9.2.1. Puntos aislados CONTENIDO vii
  • 9.3. Interior – exterior – frontera
  • 9.4. Subconjuntos densos
• 10.Compacidad
  • 10.1. Espacios compactos
  • 10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad
    • 10.2.1. Compacidad v´ıa cerrados
    • 10.2.2. Compacidad v´ıa filtros
    • 10.2.3. Compacidad v´ıa ultrafiltros
  • 10.3. Producto de dos compactos
  • 10.4. Teorema de Tychonoff
  • 10.5. Compacidad y sucesiones
  • 10.6. Compacidad para m´etricos
  • 10.7. Ordinales como ejemplo
  • 10.8. Compacidad local
    • 10.8.1. Compactaci´on
• 11.Espacios m´etricos y sucesiones —completez—
  • 11.1. Sucesiones de Cauchy
    • 11.1.1. Filtros de Cauchy
  • 11.2. Espacios de Baire
  • 11.3. Completez de un espacio m´etrico
  • 11.4. Espacios de funciones
• 12.Los axiomas de separaci´on
  • 12.1. T 0 , T 1 y T 2 o de Hausdorff
  • 12.2. Regulares, T 3 , Tychonoff
    • 12.2.1. Inmersi´on en cubos
    • 12.3. Normales, T viii CONTENIDO
    • 12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones
    • 12.5. Tietze o extensi´on de funciones
  • 13.Conexidad
    • 13.1. La conexidad como invariante topol´ogico
    • 13.2. Subespacios conexos maximales
    • 13.3. El conjunto C de Cantor
    • 13.4. Conexidad local
    • 13.5. Conexidad por caminos
  • Bibliograf´ıa
• ´Indice alfab´etico

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x CONTENIDO

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1 Conjuntos con topolog´ıa

1.1. Los reales —una inspiraci´on—

No hay nada m´as familiar a un estudiante de matem´aticas que el conjunto R de los n´umeros reales y las funciones f : R −→ R. Si ´unica- mente tuvi´eramos en cuenta la definici´on usual de funci´on de R en R, es decir, una colecci´on de pares ordenados (x, y) ∈ R × R donde cada elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja ordenada, estar´ıamos desperdiciando el concepto de intervalo que cono- cemos para los n´umeros reales y, a´un m´as, el hecho de que en R podemos decir qui´enes son los vecinos de un punto x ∈ R.

En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un ε > 0 son todos los y ∈ R tales que |x − y| < ε; es decir, el intervalo (x−ε, x+ε) es la vecindad b´asica de x con radio ε. Cuando a una funci´on de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad b´asica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definici´on ε, δ de continuidad empleada en el c´alculo.

Revisemos esta definici´on de continuidad. La funci´on f : R −→ R se dice continua en el punto c ∈ R si:

“Para cada n´umero positivo ε, existe un n´umero positivo δ tal que |f (x) − f (c)| < ε siempre que |x − c| < δ”.

Pero |f (x) − f (c)| < ε significa f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε); as´ı mismo, |x − c| < δ significa x ∈ (c − δ, c + δ); luego la definici´on entre comillas la podemos reescribir como

“Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal que si x ∈ (c − δ, c + δ) entonces f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε)”. Hablando en t´erminos de los intervalos abiertos como las vecindades

1

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1.1 Los reales —una inspiraci´on— 3

Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definici´on.

Definici´on 1.1. Una topolog´ıa^1 para un conjunto X es una familia

T = {Ui : i ∈ I}, Ui ⊆ X

tal que:

1. ∅ ∈ T, X ∈ T.

i∈F Ui^ ∈^ T^ para cada^ F^ subconjunto finito de I —F^ b^ I—.

i∈J Ui^ ∈^ T^ para cada^ J^ ⊆^ I.

Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para la uni´on arbitraria como para la intersecci´on finita. La condici´on 1 es consecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ´ındices I = ∅.

Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X, T) es por defini- ci´on un espacio topol´ogico. Brevemente lo notamos X cuando no es necesario decir qui´en es T. Los elementos de X son los puntos del espa- cio. Las condiciones en la definici´on anterior se llaman los axiomas de una estructura topol´ogica.

A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra  espacio significar´a espacio topol´ogico. Los complementos de los conjuntos abiertos se llaman conjuntos cerrados.

EJEMPLO 1.

Ru. En R definimos una topolog´ıa T conocida como la usual (el espacio es notado Ru) definiendo U ∈ T si U es uni´on de intervalos abiertos. O de manera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ U existe un intervalo (a, b) que contiene a x y est´a contenido en U.

(^1) Se le acu˜na la invenci´on de la palabra topolog´ıa al matem´atico alem´an de ascen- dencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro de escuela M¨uller.

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4 Conjuntos con topolog´ıa

EJEMPLO 1. Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que sea linealmente —totalmente— ordenado por una relaci´on ≤. Definimos T≤ la topolog´ıa del orden o la topolog´ıa intervalo sobre (X, ≤) tomando como abiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar como uni´on de intervalos de la forma

1. (x, y) := {t : x < t < y} —intervalos abiertos acotados—.
2. (x, →) := {t : x < t} —colas a derecha abiertas—.
3. (←, y) := {t : t < y} —colas a izquierda abiertas—.

 En el caso en que X no posea elementos m´aximo y m´ınimo, basta con- siderar tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por qu´e?—.

EJEMPLO 1. Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X^ —partes de X o

℘(X)—. Esta es la topolog´ıa discreta de X —permite que todo sea

abierto—. Es la topolog´ıa sobre X con la mayor cantidad posible de abiertos.

Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T = {∅, X}, conocida como la topolog´ıa grosera de X —pr´acticamente no permite la presencia de abiertos—. Es la topolog´ıa con la menor cantidad posible de abiertos.

N´otese que toda topolog´ıa T para X se encuentra entre la topolog´ıa grosera y la topolog´ıa discreta, i. e., {∅, X} ⊆ T ⊆ 2 X^.

EJEMPLO 1. Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos la topolog´ıa punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U , o, U = ∅.

La definici´on de esta topolog´ıa se puede extender a cualquier A ⊆ X y la notamos como IA.

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6 Conjuntos con topolog´ıa

EJEMPLO 1.

Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topolog´ıa (T, cof initos) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c^ es fini- to, o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertos se definan en t´erminos de cardinalidad— es interesante tener en cuen- ta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o infinito no contable. aTambi´en conocida como la topolog´ıa de Zariski en honor al matem´atico bielorruso Oscar Zariski (1899-1986).

EJEMPLO 1.

Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topolo- g´ıa (T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c^ es enumerable o contable —finito o infinito—, adem´as del ∅, por supuesto.

EJEMPLO 1.

Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos U ∈ Eωp si U c^ es finito, o p /∈ U.

La colecci´on T op(X) de todas las topolog´ıas sobre un conjunto X es un conjunto parcialmente ordenado por la relaci´on de inclusi´on: T 1 ≤ T 2 si T 1 ⊆ T 2 , caso en el cual decimos que T 2 es m´as fina que T 1. Por tanto, sobre T op(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos relativos a conjuntos ordenados. Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el conjunto de topolog´ıas definibles sobre X. Una pregunta natural y for- mulada desde el inicio de la topolog´ıa es: ¿cu´antas topolog´ıas existen sobre X? o ¿qui´en es el cardinal |T(n)|? La pregunta es dif´ıcil de con- testar y por ello se trata de un problema abierto; m´as a´un, para este problema de conteo no existe —a la fecha— ninguna f´ormula cerrada ni recursiva que d´e una soluci´on. Tampoco existe un algoritmo eficiente de computaci´on que calcule el total de T(n) para cada n ∈ N.

Para valores peque˜nos de n el c´alculo de |T(n)| puede hacerse a mano; por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimiento de T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, ex- isten 261492535743634374805066126901117203 posibles topolog´ıas para

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1.1 Los reales —una inspiraci´on— 7

n N´umero de topolog´ıas en T(n) 1 1 2 4 3 29 4 355 5 6. 6 209. 7 9.535. 8 642.779. 9 63.260.289. 10 8.977.053.873. 11 1816846038736192 12 519355571065774021 13 207881393656668953041 14 115617051977054267807460 15 88736269118586244492485121 16 93411113411710039565210494095 17 134137950093337880672321868725846 18 261492535743634374805066126901117203

Cuadro 1.1: N´umero de topolog´ıas para un conjunto de n elementos.

un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el mayor para el cual el n´umero de topolog´ıas es conocido.

Ejercicios 1.

1. ¿C´omo son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteri- ores?
2. Construya todas las topolog´ıas para X = {a, b, c}.
3. Muestre que, para un conjunto X, la intersecci´on de topolog´ıas sobre X es de nuevo una topolog´ıa.
4. Muestre que la uni´on de dos topolog´ıas sobre un conjunto X no necesariamente es una topolog´ıa.
5. En cada uno de los ejemplos dados en esta secci´on, revise la per- tinencia de la cardinalidad del conjunto X.

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1.2 Abiertos b´asicos (generaci´on de topolog´ıas) 9

m´as importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy grande —espacio 2–contable—.

¿C´omo reconocer que una colecci´on B de subconjuntos de X pueda ser base para alguna topolog´ıa? (^) K

Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topolog´ıa

para X si y solo si se cumple que

1. X =

{B : B ∈ B}, i. e., B es un cubrimiento de X.

2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B con x ∈ B ⊆ U ∩ V. Esto es, U ∩ V es uni´on de elementos de B para todo par U, V de B.

N´otese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado para

intersecciones finitas es una base.

Demostraci´on. ⇒) 1) Supongamos que B es base para una topolog´ıa T de X. Veamos que X =

{B : B ∈ B}; en efecto, dado x ∈ X existe U ∈ T tal que x ∈ U , y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —la otra inclusi´on es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , por ser B una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V est´an en T, y por tanto U ∩ V ∈ T—.

⇐) Construyamos una topolog´ıa T para la cual B es una base. Defin- imos U ∈ T si U es uni´on de elementos de B. Por supuesto tanto X como ∅ est´an en T —∅ por ser la uni´on de la familia vac´ıa—. Si tomamos la uni´on de una familia en T, ella finalmente es uni´on de elementos de B. Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V , por la definici´on de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos en U y V respectivamente; por la condici´on 2 sobre B, existe B tal que x ∈ B ⊆

BU ∩ BV

⊆ U ∩ V.

La topolog´ıa dada por el teorema anterior se conoce como la topolog´ıa generada por la base B y la notamos T = 〈B〉^3.

EJEMPLO 1.

Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topolog´ıa Ip del punto incluido es B = {{x, p} : x ∈ X}.

(^3) Una misma topolog´ıa puede ser generada por bases diferentes.

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10 Conjuntos con topolog´ıa

EJEMPLO 1.

Partici´on. Dada una partici´on R sobre un conjunto X —o lo que es igual una relaci´on de equivalencia R—, la colecci´on R junto con el conjunto ∅ es una base para una topolog´ıa sobre X. Un subconjunto de X es entonces abierto si es uni´on de subconjuntos pertenecientes a la partici´on.

EJEMPLO 1.

L´ınea de Khalinsky. En Z definimos la base

B = {{ 2 n − 1 , 2 n, 2 n + 1} : n ∈ Z}

{{ 2 n + 1} : n ∈ Z}.

En la topolog´ıa generada, cada entero impar es abierto y cada entero par es cerrado.

EJEMPLO 1.

Topolog´ıa a derecha. Para un conjunto (X, ≤) parcialmente ordenado, el conjunto de las colas a derecha y cerradas

x ↑ := [x, →) := {t : x ≤ t},

es una base para una topolog´ıa ya que

[x, →) ∩ [y, →) =

z

[z, →) para z ∈ [x, →) ∩ [y, →).

La topolog´ıa generada se nota Td y se conoce como la topolog´ıa a derecha —dualmente existe la topolog´ıa a izquierda—.

La anterior topolog´ıa es saturada o de Alexandroff^4 en el sentido que la intersecci´on arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. N´otese que las colas abiertas son tambi´en abiertos para esta topolog´ıa.

(a, →) =

b>a

[b, →).

(^4) En general una topolog´ıa se dice de Alexandroff o A–topolog´ıa si las intersec- ciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas inicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. N´otese que toda topolog´ıa finita es de Alexandroff.