¡Descarga Ejercicios Resueltos de Cálculo Integral: Aplicaciones y Métodos de Integración - Prof. Pe y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TRABAJO DE DIAPOSITIVAS
Hallamos la pendiente: en x = 1
f ´
x
= 4 x
3
− 6 x
2
− 6 x + 8
f ´ ( 1 ) = 4 ( 1 )
3
2
f ´ ( 1 ) = 4 − 6 − 6 + 8
f ´ ( 1 ) = 0
En forma de ecuación seria: y = 0
Calculamos los puntos de intersección:
x
4
− 2 x
3
− 3 x
2
( x − 1 )
2
( x + 2 ) ( x − 2 )= 0
x
1
= 1 ; x
2
=− 2 ; x
3
EL ÁREA SERA: (Se usa signos negativos para indicar su posición respecto al eje x).
∫
− 2
1
x
4
− 2 x
3
− 3 x
2
dx − ∫
1
2
x
4
− 2 x
3
− 3 x
2
dx
[
x
5
x
4
x
3
4 x
2
− 4 x
]
[
x
5
x
4
x
3
4 x
2
− 4 x
]
[
(
)
]
[
(
)
]
[
]
[
]
u
2
RPTA: El área de la región limitada por la gráfica de f(x) y la recta tangente
en x = 1 es de
19.2 u
2
COMPROB
ACIÓN EN
GRAFICAMOS:
lim
x→ ∞
[
1 + x
2
]
= 0 → A. H = 0
f ( x )=
1 + x
2
; Dom ( f ) = R
EL ÁREA SERA:
∫
− ∞
∞
(
1 + x
2
)
dx = lim
a → − ∞
[
∫
a
0
(
1 + x
2
)
dx
]
+lim
b → ∞
[
∫
0
b
(
1 + x
2
)
dx
]
lim
a → − ∞
[
arctan ( x ) ]
a
b→ ∞
[
arctan ( x ) ]
b
lim
a → − ∞
[
arctan ( 0 )−arctan (− ∞ ) ]
b → ∞
[
arctan ( ∞ ) −arctan ( 0 ) ]
lim
a → − ∞
[
0 −arctan (− ∞ ) ]
b → ∞
[
arctan ( ∞ )− 0 ]
[
(
− π
)
]
[
π
]
= π u
2
RPTA: El área de la región D es π u
2
RESOLUCIÓN:
f ( x )=− 24 x
2
COMPROB
ACIÓN EN
x y
1
RESOLUCIÓN:
Tenemos que:
∫
1
3
f ( x ) dx → f ( 3 )− f ( 1 )=
u
2
Hallamos:
g ( x )=
(
5 x
)
∫
2 x − 1
2 x + 1
f ( t ) dt , calcule g ´ ( 1 ).
g ´ ( x )=
× 0 +
5 x
[
f ( 2 x + 1 ) − f ( 2 x − 1 ) ]
g ´ ( 1 )=
2 [ f ( 3 )− f ( 1 )] → g ´ ( 1 ) =
[
]
→ g ´ ( 1 )= 4
RPTA:
g ´ ( 1 )= 4
DESARROLLAR LAS SIGUIENTES INTEGRAL IMPROPIAS Y DETERMINAR DE
QUE TIPO SON:
i ¿ ∫
− ∞
x
3
e
− x
2
dx
lim
a → − ∞
[
∫
a
0
x
3
e
− x
2
dx
]
b →∞
[
∫
0
b
x
3
e
− x
2
dx
]
lim
a → − ∞
[
( e
u
u − e
u
]
− a
2
b →∞
[
( e
u
u − e
u
]
− b
2
lim
a → − ∞ [
(
− 1 + a
e
a
2
e
a
2
) ]
b →∞ [
(
1 − b
e
b
2
e
b
2
) ]
[
]
[
]
j ¿ ∫
1
dx
r ( r
2
3 / 2
lim
b → ∞
[
∫
1
b
dx
r ( r
2
3 / 2
]
→ lim
b → ∞ [
x
r ( r
2
3 / 2
]
b
lim
b → ∞
[
b
r ( r
2
3 / 2
r ( r
2
3 / 2
]
b
[
r ( r
2
3 / 2
]
k ¿ ∫
− ∞
( arctanx )
4
1 + x
2
dx
lim
a → − ∞
[
∫
a
0
( arctanx )
4
1 + x
2
dx
]
+¿ lim
b → ∞
[
∫
0
b
( arctanx )
4
1 + x
2
dx
]
lim
a → − ∞
[
( arctanx )
5
]
a
+¿ lim
b → ∞
[
( arctanx )
5
]
b
DIVERGENTE
CONVERGENTE
lim
b → + ∞
[
[
x
x
2 / 3
]
| x
1 / 3
|
x
1 / 3
]
b
lim
b → + ∞
[
[
x
x
2 / 3
]
1 / 3
| × 3 ln| 1 |+
x
1 / 3
]
b
lim
b → + ∞
[
[
x
1 / 3
]
x
1 / 3
]
b
lim
b → + ∞
[
[
b
1 / 3
]
b
1 / 3
([
1 / 3
]
1 / 3
]
[
]
RESPUESTA:
a ¿ y = 4 − x
2
, y = x + 2
CONVERGENTE
x y
2 4
x y
EL ÁREA ENTRE LAS FUNCIONES ES: (Halle los puntos de intersec. Con la gráfica)
∫
− 2
1
( 4 − x
2
−( x + 2 )) dx →
∫
− 2
1
(− x
2
− x + 2 ) dx
[
− x
3
x
2
]
[
3
2
(
3
2
) ]
[
(
)
]
=4,5 u
2
COMPROBACIÓN EN GEOGEBRA
c ¿ y 1
√
x + 4 ; y
2
√
1 − x + 1 ; x − 5 y
3
RESOLUCIÓN:
x ≥ − 4 x ≤ 1 y =
4 + x
INTERSECCIÓN:
Entre
y
1
y
2
√
x + 4 )
2
√
1 − x + 1 )
2
→ x + 4 = 1 − x + 2 √
1 − x + 1
→ 2 x + 2 = 2 √
1 − x → ( x + 1 )
2
√
1 − x )
2
→ x
2
2
Entre
y
1
y
3
( 5 √ x + 4 )
2
=( 4 + x )
2
→ 25 x + 100 = 16 + 8 x + x
2
x
2
− 17 x − 84 = 0 x = 4 I (4,0)
x y
√
√ 3
x y
x y
√
√
EL ÁREA ENTRE LAS FUNCIONES ES:
∫
− 4
0
(
√
x + 4 −
(
4 + x
))
dx +
∫
0
1
[
√
1 − x + 1 )−
(
4 + x
)
dx
]
∫
− 4
0
√
x + 4 − 4 − x ) dx +
∫
0
1
[ 5 √
1 − x + 5 − 4 − x ] dx
[
∫
− 4
0
(
√
( x + 4 )
3
− 4 x −
x
2
)
dx + ∫
0
1
[
√
( 1 − x )
3
x
2
]
dx
]
[
√
x + 4
3
− 4 x −
x
2
]
[
√
1 − x
3
x
2
]
[
]
[
]
→ 4,5 u
2
COMPROBACIÓN EN GEOGEBRA
A. H =lim
x→ ∞
[
1 + x
2
]
PUNTOS DE
INTERSECCIÓN:
Entre
y
1
y
2
1 + x
2
= x → 2 = x + x
3
→ ( x − 1 ) ( x
2
+ x + 2 ) = 0
x = 1 → I ( 1 ; 1 )
Entre
y
1
y
3
1 + x
2
=− x → 2 =− x − x
3
→ −( x + 1 ) ( x
2
− x + 2 )= 0
x =− 1 → I (− 1 ; 1 )
Entre
y
2
y
3
x =− x → x = 0 → I ( 0 ; 0 )
EL ÁEREA LIMITADA POR LAS 3 FUNCIONES ES:
∫
− 1
0
[
1 + x
2
]
∫
0
1
[
1 + x
2
− x
]
x y
x y
X y
[
2 arctan
x
x
2
]
[
2 arctan
x
x
2
]
[
(
− 2 π
)
]
[
2 π
]
π − 1
π − 1
=( π − 1 ) u
2
COMPROBACIÓN EN GEOGEBRA
lim
b → 0
−¿
∫
− 2
a
e
x
√
1 − e
2 x
dx
u = e
x
du = dx
¿
lim
b → 0
−¿
∫
− 2
a
u
√
1 − u
2
dx → lim
b → 0
−¿
[
arcsen ( e
x
) ]
a
− 2
¿
¿¿
lim
b → 0
−¿
[
arcsen ( e
a
)− arcsen
(
1
e
2
) ]
¿
π
− arcsen
(
e
2
)
b ¿ ∫
− 1
x
− 1 / 2
1 + e
√
x
dx Df : x ∈ R −{− 1 }
∫
− 1
0
x
− 1 / 2
1 + e
√
x
dx + ¿ ∫
0
x
− 1 / 2
1 + e
√
x
dx ¿
lim
a → − 1
+¿
∫
a
0
x
− 1 / 2
1 + e
√ x
dx +¿ lim
b →∞
∫
0
b
x
− 1 / 2
1 + e
√ x
dx ¿ ¿
lim
a → − 1
+¿
[ 2 (−ln| 1 + e
√ x
|+√ x ) ]
0
a
+lim
b→ ∞
[ 2 (−ln| 1 + e
√ x
|+√ x ) ]
b
0
¿
INDETERMINADA
c ¿ ∫
0
4
√
1 + 2 x
x
dx Df : x ∈ R −{ 0 }
lim
a → 0
+¿
∫
0
4
√ 1 + 2 x
x
dx ¿
lim
a → 0
+¿
[−ln|√ 1 + 2 x + 1 |+ ln|√ 1 + 2 x − 1 |+ 2 √ 1 + 2 x ]
4
a
¿
lim
a → 0
+¿
[−ln| √
1 + 8 + 1 |+ln| √
1 + 8 − 1 |+ 2 √
1 + 8 ] ¿
− lim
a → 0
+¿
[−ln| √
1 + 2 a + 1 |+ln| √
1 + 2 a − 1 |+ 2 √
1 + 2 a ]¿
[−ln| 4 |+ ln| 2 |+ 6 ]−¿
DIVERGENTE
−ln( 4 ) + ln ( 2 ) + 6 + ln ( 2 )−ln¿ ¿
SIN DEFINIR
d ¿ ∫
− ∞
− 2
arctanx
x + 1
2
dx
lim
a → − ∞
∫
a
− 2
arctanx
( x + 1 )
2
dx →
u = arctanx
du =
dx
1 + x
2
dv =
dx
( x + 1 )
2
v =
( x + 1 )
− arctanx
( x + 1 )
∫
dx
( x + 1 )
2
( x + 1 )
integración por partes
∫
dx
( x + 1 )
2
( x + 1 )
ln| x
2
arctanx +
ln| x + 1 |
Entonces nos queda:
lim
a → − ∞
[
− arctanx
( x + 1 )
ln| x
2
arctanx +
ln| x + 1 |
]
a
Debido a esa única expresión da infinito todo depende de ella:
(
ln| a
2
)
e ¿ ∫
0
3
e
3 x
dx
lim
a → 0
+¿
∫
a
3
1
e
3 x
− 1
dx
u = 3 x
1
3
du = dx
→ lim
a → 0
+¿ 1
3
∫
a
3
1
e
u
− 1
dx ¿
¿¿
→ lim
a → 0
3
∫
a
3
e
u
e
u
− 1
− 1 d u
t = e
u
− 1
dt = e
u
du
¿
lim
a → 0
+¿
[
1
3
ln
| e
3 x
− 1
| − x
]
3
a
¿
[
ln| e
9
− 1 |− 3 −
(
ln| e
3 a
− 1 |− a
) ]
DIVERGENTE
DIVERGENTE
lim
b → + ∞
∫
0
b
dx
√ x ( x + 1 )
u = √
u
du =
dx
√
u
→ lim
b → + ∞
∫
0
b
2 dx
u
2
lim
b → + ∞
[
2 arctan ( √
x )
]
b
→ lim
b → + ∞
[
2 arctan (
√
b )−( 2 arctan ( √
0 ) )
]
[
2 ×
π
]
= π
i ¿ ∫
− 1
2
2 x
3
ln
x
2
dx
[
x
4
ln ( x ) −
x
4
]
[
4
ln ( 2 )−
4
(
4
ln (− 1 ) +
4
) ]
[
16 ln ( 2 )− 4 −ln (− 1 )−
]
a ¿ ∫
0
1
dx
3
√
1 − x
lim
b → 1
−¿
∫
0
b
dx
3
√ 1 − x
→ lim
b→ 1
−¿
[
− 3
2
( 1 − x )
2 / 3
]
b
0
¿
¿ ¿
lim
b → 1
−¿
[
− 3
2
( 1 − b )
2 / 3
−
− 3
2
( 1 − 0 )
2 / 3
]
→
[
0 −
− 3
2
]
=
3
2
¿
CONVERGENTE
CONVERGENTE
DIVERGENTE
b ¿ ∫
− 2
0
x
x + 2
dx
lim
a → − 2
+¿
∫
a
0
x
x + 2
dx→ lim
a→ − 2
+¿
[
x + 2 − 2 ln| x + 2 | ]
0
a
¿¿ ¿
lim
a → − 2
+¿
[
( 2 − 2 ln| 2 |)−( a + 2 − 2 ln| a + 2 |) ]
¿
SIN DEFINIR
c ¿ ∫
0
1
1 / x
x
2
dx
lim
a → 0
+¿
∫
a
1
5
1 / x
x
2
dx → lim
a → 0
+¿
[
− 5
1 / x
ln ( 5 )
]
1
a
¿¿
lim
a → 0
+¿
[
− 5
1
ln ( 5 )
− 5
1 / 0
ln ( 5 )
]
sin DEFINIR ¿
d ¿ ∫
0
1
e
−
3
√ x
3
√
x
2
dx
lim
a → 0
+¿
∫
a
1
e
−
3
√ x
3
√ x
2
dx→ lim
a→ 0
−
3
√ x ]
1
a
¿ ¿¿
lim
a → 0
+¿
[− 3 e
−
3
√ 1
−
3
√ a
] → − 3 e
− 1
e ¿ ∫
2
3
ln ( x − 2 ) dx
lim
a → 2
+¿
∫
2
3
ln ( x − 2 ) dx→ lim
a→ 2
[
xln ( x − 2 )− 2 ln( x − 2 )− x + 2 ]
3
a
¿
¿¿
lim
a → 2
+¿
¿¿
CONVERGENTE
DIVERGENTE
DIVERGENTE
