¡Descarga Cálculo de Derivadas: Ejercicios Resueltos y Aplicaciones - Prof. Perez y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
SEMANA 5
I. Usando ladefinición de derivada , calcular laderivada de las siguientes funciones :
a ¿ f
x
= x
2
− 4 x + 5
f
'
( x )=lim
h → 0
f ( x + h )− f ( x )
h
( x + h )
2
− 4 ( x + h ) + 5 −( x
2
− 4 x + 5 )
h
x
2
2
− 4 x − 4 h + 5 − x
2
h
h
2
h
h ( h + 2 x − 4 )
h
¿ lim
h→ 0
h + 2 x − 4 = 2 x − 4 ∴ f
'
( x )= 2 x − 4
b ¿ f
x
=( 3 x − 2 )
3
f
'
( x )=lim
h → 0
f ( x + h )− f ( x )
h
[
27 x
3
3
− 8 + 81 h x
2
− 54 x
2
2
x − 54 h
2
- 36 x + 36 h − 108 hx − 27 x
3
2
− 36 x + 8
]
h
27 h
3
2
2
x − 54 h
2
h
h
27 h
2
2
1
x − 54 h
1
h
¿ lim
h→ 0
27 h
2
2
1
x − 54 h
1
2
∴ f
'
x
= 81 x
2
− 108 x + 36
c ¿ f ( x )=
2
x − 7
f
'
( x )=lim
h → 0
f
x + h
− f ( x )
h
√
x + h
− 7 −√ x − 7
h
×
√
x + h
− 7 +√ x − 7
√
( x + h )− 7 +
x − 7
x + h − 7 − x + 7
h ( √
( x + h )− 7 +
x − 7 )
h
h (
√
( x + h )− 7 +
x − 7 )
√
( x + h )− 7 +
x − 7 )
=lim
h → 0
x − 7 +
x − 7
x − 7
∴ f
'
( x ) =
x − 7
d ¿ f ( x )= √
X
2
− 4 X + 5
f
'
( x )=lim
h → 0
f ( x + h )− f ( x )
h
√
( x + h )
2
− 4 ( x + h )+ 5 − √
X
2
− 4 X + 5
h
√
( x + h )
2
− 4 ( x + h )+ 5 − √
X
2
− 4 x + 5
h
×
√
( x + h )
2
− 4 ( x + h ) + 5 + √
x
2
− 4 x + 5
√
( x + h )
2
− 4 ( x + h ) + 5 + √
x
2
− 4 x + 5
x
2
2
2
h ¿ ¿
h + 2 x − 4
√
( x + h )
2
− 4 ( x + h ) + 5 + √
x
2
− 4 x + 5
lim
h → 0
2 ( x − 2 )
√
X
2
− 4 X + 5
x − 2
√
X
2
− 4 X + 5
∴ f
'
( x ) =
x − 2
√
X
2
− 4 X + 5
e ¿ f ( x )=
3
x − 1
f
'
( x )=
3
√
( x + h )− 1 −
3
x − 1
h
×
3
√
(( x + h )− 1 )
2
3
√
( ( x + h )− 1 ) ( x − 1 )+
3
√
( x − 1 )
2
3
√
(( x + h )− 1 )
2
3
√
( x + h )− 1
( x − 1 )+
3
√
( x − 1 )
2
x + h − 1 − x + 1
h (
3
√
(( x + h )− 1 )
2
3
√
( ( x + h ) − 1 ) ( x − 1 )+
3
√
( x − 1 )
2
3
√
(( x + h )− 1 )
2
3
√
( ( x + h )− 1 ) ( x − 1 )+
3
√
( x − 1 )
2
3
√
( x − 1 )
2
3
√
( x − 1 ) ( x − 1 )+
3
√
( x − 1 )
2
3
√
( x − 1 )
2
∴ f
'
( x ) =
3
√
( x − 1 )
2
- Unamosca vuela de izquierda y derecha siguiendo latrayectoria de la parábola y = 7 − x
2
al divisar una araña en el suelo se queda suspendida en el aire a una altura de 6 m. Determinela
distancia que separaa los insectos , sabiendo que dichadistancia está representada por el
segmento de la recta que es tangente a la curva en el punto donde se encuentra lamosca.
( x ; 0 )
y = 7 − x
2
x ; 6
→ 6 = 7 − x
2
→ x = 1
m = y
'
(1;6)
y
'
=− 2 x → m =− 2
Ecuación de la recta tangente: y − 6 =− 2 ( x − 1 )
Hallamos x en el punto ( x ; 0 ) :
0 − 6 =− 2 ( x − 1 ) → − 6 =− 2 x + 2
x = 4
D istancia que separa alos insectos :
D =
√
( x
2
− x
1
2
+( y
2
− y
1
2
D =
√
2
2
→ D =
45 → D = 3
- Dada la función f ( x ) =
5 + 2 x
x
, halle ( x + 2 ). f ( 2 ) + 6 xf ' ( 2 )
f ( 2 ) =
f
'
( x )=
( x )(
5 + 2 x
5 + 2 x )
x
2
x
5 + 2 x
5 + 2 x )
x
2
− 5 − x
5 + 2 x
x
2
− 5 − x
x
2
5 + 2 x
f
'
2
( x + 2 ). f ( 2 )+ 6 x f
'
( 2 )=( x + 2 )
(
)
+( 6 x )
(
)
3 x + 6
7 x
− 4 x + 6
=− 2 x + 3
- Dada la función f ( x ) =
√ 5 − 8 x
3
2 x − 7
, determine los valores de m si :( m
2
+ 4 ) f
= 12 mf ' (
f
3
3
f
'
x
3
2 x − 7 )( 1 / 2 ) (− 8 )
5 − 8 x
f
'
(
− 1
2
)
3
( m
2
+ 4 ) f
= 12 m f
'
( m ¿¿ 2 + 4 )
12 m
− 3 m
2
13 m
→ 3 m
2
3 m
2
- 13 m + 12 = 0 → ( 3 m + 4 ) ( m + 3 )= 0 → m
1
; m
2
- Si f
x + 2
= 2 x
2
x + 1
= f
x − 2
, hallar g ' ( 4 )
z = x + 2 ; x = z − 2
f ( z )= 2 ( z − 2 )
2
'
( z )= 4 ( z − 2 )
g ' ( x + 1 )= f ' ( x − 2 ) ; x = 3
g
'
= f
'
f
'
→ f
'
=− 4 → g
'
x
