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Derivadas de Funciones Compuestas: Ejercicios Resueltos, Diapositivas de Matemáticas

Centro de Altos Estudios Nacionales (CAEN)Matemáticas

derivadas analisis mamatico cajamarca

Tipo: Diapositivas

2022/2023

Subido el 22/04/2023

anthony-efrain-asuncion-gutierrez
anthony-efrain-asuncion-gutierrez 🇵🇪

3 documentos

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DERIVADA DE LA FUNCION DE LA FORMA
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1Dr. César Garrido Jaeger
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Vista previa parcial del texto

¡Descarga Derivadas de Funciones Compuestas: Ejercicios Resueltos y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

DERIVADA DE LA FUNCION DE LA FORMA

( )

g x

y  f x

Para calcular la derivada de la función primero se toma logaritmo en

ambos miembros es decir

( )

g x

y  f x

ln ln( ( )) ( ).ln( ( ))

( )

y f x g x f x

g x

  Ahora derivamos implícitamente

( ).ln( ( )) ( ).

f x

f x

g x f x g x

y

y 

Despejando y 

( ).ln( ( )) ( ).

f x

f x

y y g x f x g x

( ) ( ).ln( ( )) ( ).

( )

f x

f x

y f x g x f x g x

g x

EJEMPLOS Hallar

𝑑𝑦 𝑑𝑥

si: 𝑦 = 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

SOLUCIÓN

Tomando logaritmo a 𝑦 = 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

se tiene 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙 𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

Derivando se tiene

𝑦′ 𝑦

′

𝑦′ 𝑦

′

′

𝑦′ 𝑦

1 𝑥

′

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥

′

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥

OBSERVACIÓN. Si en la ecuación de la tangente despejamos 𝑓′(𝑥 0 ) obtenemos

′

Cuando 𝑦 = 𝑦 0 , es decir , si 𝑦 − 𝑦 0 = 0 ⇒ 𝑓

′

Y Cuando 𝑥 → 𝑥 0 , esto es , si (𝑥 − 𝑥 0 ) = 0 , entonces : 𝑓′(𝑥 0 ) → ∞

Para tales casos tenemos las siguientes definiciones

TANGENTE HORIZONTAL. La gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene una tangente horizontal en el

punto (𝑥 0 , 𝑦 0 ) siempre que 𝑓

′

𝑥 0 = 0 cuando 𝑦 − 𝑦 0 = 0

TANGENTE VERTICAL. La gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene una tangente vertical en el punto

(𝑥 0 , 𝑦 0 ) siempre que |𝑓

′

𝑥 0 | → ∞ cuando 𝑥 → 𝑥 0

Si en las ecuaciones I y II hacemos 𝑦 = 0 , obtenemos respectivamente:

′ 𝑥 0. 𝑥 − 𝑥 0 ⇒ 𝑥^ =^ 𝑥 0 −^

Entonces las coordenadas 𝑇 y 𝑀 son: 𝑇^ 𝑥 0 −^

𝑦 0 𝑓′^ 𝑥 0 , 0 y 𝑁(𝑥 0 + 𝑦 0. 𝑓 ′ 𝑥 0 , 0 )

Luego si:

⇔ 𝑆𝑡 =^

′ 𝑥 0 − 𝑥 0 ⇔ 𝑆𝑛 = 𝑦 0. 𝑓′(𝑥 0 ) 𝑡 = 𝑑 𝑇, 𝑃 0 = (^) 𝑥 0 −^ 𝑥 0 +^

2

  • 𝑦 0 − 0 2 =

2

  • (𝑦 0 ) 2 = 𝑆𝑡 2
  • (𝑦 0 ) 2 = 𝑡 =

. 1 + [𝑓

′ 𝑥 0 ] 2

𝑛 = 𝑑(𝑁, 𝑃 0 ) = [ 𝑥

0 −^ 𝑥 0 −𝑦 0 𝑓′(𝑥 0 ]

2

  • 𝑦 0 − 0 2 = [ 𝑦 0. 𝑓′(𝑥 0 ] 2
  • 𝑦 0 2 ⇔ 𝑛 = 𝑆𝑛 2
  • (𝑦 0 ) 2 ⇔ 𝑛^ =^ 𝑦 0 1 +^ [𝑓 ′ 𝑥 0 ] 2

ANGULO ENTRE DOS CURVAS. Se llama ángulo entre dos curvas 𝑦 = 𝑓 1 𝑥 , 𝑦 = 𝑓 2 (𝑥),

en su punto de intersección 𝑃 0 (𝑥 0 , 𝑦 0 ) , el ángulo 𝜃 formado por las tangentes a dichas

curvas en el punto 𝑃 0. Entonces:

′ 2

′ 1

′ 1

′ 2

EJEMPLOS Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 𝑥

5

5

en el punto 𝑃( 1 , 1 )

SOLUCIÓN Calculamos la derivada es decir:

5

  • 𝑦 5 − 2𝑥𝑦 = 0 ⇒ 5 𝑥 4
  • 5 𝑦 4

. 𝑦′ − 2 (𝑥𝑦)′ = 0 ⇒ 5 𝑥 4 + 5 𝑦 4 . 𝑦′ − 2 (𝑥𝑦 ′ + 𝑦) = 0 ⇒ 5 𝑥 4

  • 5 𝑦 4 . 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 ′ − 2𝑦 = 0 ⇒ 5 𝑦 4 . 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 ′ = − 5 𝑥 4
  • 2𝑦 ⇒ 𝑦 ′ 5 𝑦 4 − 2𝑥 = − 5 𝑥 4

+ 2𝑦 ⇒ 𝒚′^ =^

−𝟓𝒙 𝟒 +𝟐𝒚 𝟓𝒚 𝟒 −𝟐𝒙 Entonces 𝑚𝐿 𝑡

𝑃( 1 , 1 )

− 5 ( 1 ) 4

  • 2 ( 1 ) 5 ( 1 ) 4 − 2 ( 1 )

− 5 + 2 5 − 2

Entonces 𝐿𝑡: 𝑦 − 1 = − 𝑥 − 1 ⇒ 𝐿𝑡: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 Como^ 𝐿𝑡 ⊥^ 𝐿𝑛 ⇒^ 𝑚𝐿𝑛 =^1 Entonces 𝐿𝑛: 𝑦 − 1 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝐿𝑛:^ 𝑥^ −^ 𝑦^ =^0

EJEMPLOS Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 𝑦

2

3

2

𝑦 + 1 en el punto de abscisa 2 situado en el cuarto cuadrante.

SOLUCIÓN Calculamos el punto de tangencia definida por la curva

2 = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 𝑦 + 1 ⇒ 𝑦 2 − 𝑥 3

  • 2 𝑥 2 𝑦 − 1 = 0 ⇒ 2 𝑦.^ 𝑦′^ −^3 𝑥 2
  • 2 (𝑥 2 𝑦)′ = 0 ⇒ 𝑦 ′ =

2 ) Para 𝑥 = 2 ⇒ Para 𝑦 2 = 8 − 8y + 1 ⇒ (^) 𝑦 2

  • 8𝑦 − 9 = 0 ⇒ 𝑦 = − 9 ∨ 𝑦 = 1 Como 𝑃 está en el cuarto cuadrante, 𝑦 = − 9 ⇒ 𝑃( 2 , − 9 ) Derivando implícitamente tenemos: Para el punto 𝑃 2 , − 9 ⇒ (^) 𝑚𝑡 = ቤ

𝑃( 2 ,− 9 )

2 )

Por lo tanto la ecuación es: 𝑦 + 9 = − 42 5